《2022年高三数学高考二轮复习教案考案指数函数对数函数幂函数 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学高考二轮复习教案考案指数函数对数函数幂函数 .pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、函数概念与基本初等函数（指数函数、 对数函数、 幂函数）【专题要点】1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质 . 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【考纲要求】1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此
2、基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2结合具体函数，了解奇偶性的含义；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（2）通过具体实例， 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的
3、函数模型；【知识纵横】函数的三要素函数的表示法函数的性质反函数函数的应用初等函数基本初等函数：幂函数； 二次函数指数函数；对数函数对 数 函数指 数 函数映射函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页【教法指引】本节内容在高考中占有一定比重，而且二分法是新增内容，应引起重视， 同时对反函数的考查要求降低，本节多数题目将会以小题目出现，重点仍将是考查函数的性质，二分法，函数的定义域，以及函数的综合应用等知识点基本函数： 一次函数、二次函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（
4、单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势. 特别在 “函数” 这一章中， 数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现. 复习函数时要注意：1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图
5、象与性质，对数与形的基本关系能相互转化. 2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等. 3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、 二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题 . 4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏. 5. 利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.【典例精析】1.函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫复习函数的性质，可以从“ 数 ” 和“
6、形” 两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是：1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24
7、页法解决问题的能力函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面1掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力例 1、（ 2008 广东汕头二模）设集合A=x|x1 ，B=x|log2x0 ，则 AB=( ) Ax| x1 B x|x0 Cx|x-1 Dx|x1 【解
8、析】 :由集合 B 得 x1 , AB=x| x1 ，故选（ A） 。点评本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。例 2、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （）【解析】：选（B），在（ B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。点评 函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视例
9、 3、设11xfxx，又记11,1,2,kkfxfxfxffxk则2008fx（）A11xx；B11xx；Cx；D1x；【解析】 :本题考查周期函数的运算。1121111,11fxfxfxxfx，323423111,111ffxfxfxxfxf， 据 此 ，414211,1nnxfxfxxx，4341,1nnxfxfxxx，因2008为4n型，故选C. 点评本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的
10、思想。例 4、函数3( )sin1()f xxxxR，若( )2f a,则()fa的值为（）A.3 B.0 C.-1 D.-2 【解析】：3( )1sinfxxx为奇函数，又( )2f a( )11f a故()11fa即()0fa. 点评 本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。例 5、（ 2008 广东高考试题）设kR，函数111( )11xxf xxx， ，( )( )F xf xkx，xR，试讨论函数( )F x的单调性【解析】1,1,1( )( )1,1,kxxxF xf xkxxkxx21,1,(1)( )1,
11、1,21kxxFxkxx对于1( )(1)1F xkx xx，当0k时，函数( )F x在(,1)上是增函数；当0k时，函数( )F x在1(,1)k上是减函数，在1(1,1)k上是增函数；对于1( )(1)21F xk xx，当0k时，函数( )F x在1,上是减函数；当0k时，函数( )F x在211,14k上是减函数，在211,4k上是增函数。点评 在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便2.二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内
12、涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.
13、从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、 论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 例 6、设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明 . 【解析】： 在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数xxf的表达式，从而得到函数)(xf的表达式 . 证明：由题意可知)()(21xxxxaxxf. axxx1021，0)(21xxxxa，当时，xxf)(. 又)1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf，,011,0221axaxaxxx且1)(xxf，综上可知，所给问题获证.
14、 点评： 本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式.21xxxxay例 7、 设二次函数2( )f xxaxa， 方程( )0f xx的两根1x和2x满足1201xx（I）求实数a的取值范围；（II ）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小并说明理由【解析】法1：（）令2( )( )(1)g xf xxxaxa，则由题意可得01012(1)0(0)0agg，01132 232 2aaaa，或，032 2a故所求实数a的取值范围是(0 322)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页（II ）2(0)(
15、1)(0)(0)(1)2fffgga，令2( )2h aa当0a时，( )h a单调增加，当0322a时，20( )(32 2)2(32 2)2(1712 2)h ah112161712 2，即1(0)(1)(0)16fff法 2：（ I）同解法1（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2fffgga，由（ I）知032 2a，41122170a2又4 210a，于是221112(321)(421)(421)0161616aaaa，即212016a，故1(0)(1)(0)16fff法 3：（ I）方程( )0f xx2(1)0 xaxa，由韦达定理得121xxa，12x xa，于是12121
16、2121200010(1)(1)0(1)(1)0 xxxxx xxxxx，0132 232 2aaaa，或032 2a故所求实数a的取值范围是(0 322)，（II ）依题意可设12( )()()g xxxxx，则由1201xx，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)fffggx xxxxxxx2211221112216xxxx，故1(0)(1)(0)16fff点评 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页运算能力3
17、.指数函数与对数函数指数函数 ,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用. 例 8、已知函数( )log (21)(01)xaf xbaa，的图象如图所示，则ab，满足的关系是（）A101abB101baC101baD1101ab【解析】：由图易得1,a101;a取特殊点01log0,axyb11logloglog 10,aaaba101ab.选 A. 点评：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小例 9、（2007 全国高考试题）设1a，函数
18、( )logaf xx在区间2a a，上的最大值与最小值之差为12，则a（）A2B2C2 2D4【解析】：设1a，函数( )logaf xx在区间 ,2 aa上的最大值与最小值分别为log 2 ,log1aaaa，它们的差为12，1log 22a，a4，选 D。例 10、（2008 全国高考试题）若13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，则（）AabcBcabCbacDbca【解析】：由0ln111xxe，令xtln且取21t知bac4.反函数反函数在高考试卷中一般为选择题或填空题，难度不大。 通常是求反函数或考察互为反函数的两个函数的性质应用和图象关系主要利用方法为：反函数的概念及求解步骤
19、：由方程y=(x)中解出 x=(y)；即用 y 的代数式表示x.。改写字母 x 和 y， 得出 y=-1(x)； 求出或写出反函数的定义域，（亦即 y=(x)的值域） 。即反解互换求定义域互为反函数的两个函数的图象之间的关系，1O y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页互为反函数的两个函数性质之间的关系：注意： 在定义域内严格单调的函数必有反函数，但存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调，如y=1x。例 11、（ 2007 北京高考试题）函数( )3 (02)xf xx的反函数的定义域为（）(0)，(19，(
20、0 1)，9)，【解析】：函数( )3 (02)xf xx的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19，选 B。点评： 本题考查互为反函数的两个函数性质之间的关系，即：反函数的定义域为原函数的值域例 12、 （2008 湖南高考试题） 设函数( )yf x存在反函数1( )yfx,且函数( )yxf x的图象过点 (1,2),则函数1( )yfxx的图象一定过点. 【解析】由函数( )yxf x的图象过点 (1,2)得:(1)1,f即函数( )yf x过点(1, 1),则其反函数过点( 1,1),所以函数1( )yfxx的图象一定过点( 1,2).点评：本题考查互为反函数的两个函数的图
21、象之间的关系以及图象的平移5.抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点， 也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，（一）函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调
22、性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此， 只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等. （二）特殊化方法1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x 换成 x 等2、在求函数值时，可用特殊值代入3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法. 总之， 抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究
23、， 采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感. 例 13、 定义在R上的函数( )f x满足()( )( )2f xyf xf yxy（xyR，） ，( 1 ) 2f，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页则( 2)f等于（）A2 B3 C6 D9 解：令0(0)0 xyf，令1(2)2 (1)26xyff；令2,2xy得0(22)(2)( 2)8( 2)8(2)862fffff6.函数的综合应用函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题函数描述了
24、自然界中量的依存关系， 是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓， 掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键例 14、某单位用2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10 层、每层2000 平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为 560+48x（单位： 元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费
25、用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）【解析】：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得*2160 1000010800(56048 )56048(10,)2000yxxxxNxx则21080048yx，令0y，即210800480 x，解得15x当15x时，0y；当015x时，0y，因此，当15x时，y取得最小值，min2000y元. 答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15 层。点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题。利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法. 例 15、某商品每件成本9 元，售价为30 元，每
26、星期卖出432 件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，030 x）的平方成正比. 已知商品单价降低2 元时，一星期多卖出24 件（I）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（II ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、 导数的知识解决实际问题的能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页力【解析】：（）设商品降价x元，则多卖的商品数为2kx，若记商品在一个星期的获利为( )f x，则依题意有22( )(309
27、)(432)(21)(432)f xxkxxkx，又由已知条件，2242k ，于是有6k，所以32( )612643290720 30f xxxxx，（）根据（），我们有2( )1825243218(2)(12)fxxxxxx0 2，2 (2 12)，12 1230，( )fx0 0 ( )fx极小极大故12x时，( )f x达到极大值因为(0)9072f，(12)11264f，所以定价为301218元能使一个星期的商品销售利润最大点评： 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力7.函数的零点例 16、（ 2008 山东荷泽模拟题）函数xxxf1lg)
28、(的零点所在的区间是）A1 ,0B（ 1，10）C100,10D),100(解：因为f（1） 010，f（10） 11010，即 f（1）?f（ 10） 0，所以函数f（x）在区间（ 1,10）之间有零点。点评：如果函数f（x）在区间 a，b上连续，且f（a）?f（b） 0，则函数f（x）在区间（ a，b）上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。例 17、（ 2007 广东高考题）已知a 是实数，函数2( )223f xaxxa，如果函数( )yf x在区间 -1，1上有零点，求实数 a 的取值范围【解析】当a=0 时，函数为f (x)=2x -3 ，其零点x=23不在区间
29、 -1，1上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页当 a0 时，函数f (x) 在区间 -1， 1分为两种情况：函数在区间 1，1上只有一个零点，此时或12110)3(84aaa解得 1 a5 或 a=273函数在区间 1，1上有两个零点，此时208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得 a5 或 a0 ，1 ,0 xg x在0,1上递减，)0()()1(gxgg即mmxgmm11)(2121当mmmm212111，即22,0m时，mmxg11)(，此时1()1mT m
30、m，当mmmm212111，即,22m时，mmxg2121)(，此时12()12mT mm，综上所述，当22,0m时，)(mT的取值范围是1,1mm；当,22m时，)(mT的取值范围是12,12mm34 解：从途中观察的：当0150n时，图像通过(0,200)和(100,0)两点，则此时表达式为( )2200P nn当150200n时，图像右端点通过(200,200)左端点趋于点(150,50)，则此时表达式为( )3400P nn综上所述，得2200(0150)( )3400(150200)nnP nnn从不同角度剖析图像，可以得到不同地解释：（1）当售票为零时演唱场正常开放，要交付水电费、
31、器材费等200 元；（2）当100n时，可达到不赔不赚，当100n时，要赔本；（3）当100150n时，利润与售票呈直线上升，150n时，达到最大值100 元；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页（4）当15 01 6 7n时，利润没有150n时多， 即人数超过166 人时， 利润才能超过100元；（ 5）人数达到200 人时，利润可达到最大值200 元。35【解】（ 1）由已知1,0cabc，且12ba解得1,2,ab（3 分）2( )(1) ,fxx22(1) ,(0)( )(1) (0),xxf xxx22(2)( 2)(21) (21) 8FF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页