《2022年高三数学指数函数、对数函数与幂函数苏教版知识精讲 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学指数函数、对数函数与幂函数苏教版知识精讲 .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc 高三数学指数函数、对数函数与幂函数苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：指数函数、对数函数与幂函数教学目标：1、理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的图象、单调性与特殊点。2、理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数函数的概念；理解对数函数的图象、单调性与特殊点。3、了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3，121,yyxx了解幂函数的图象变化情况。4、能够运用函数的性质、指数函数和对数
2、函数的性质解决某些简单的实际问题。教学重点：指、对数函数的图解与性质。教学难点：指、对数函数的性质的运用。二.知识点归纳1.根式的运算性质：当 n 为任意正整数时，（na）n=a当 n 为奇数时，nna=a；当 n 为偶数时，nna=|a|=)0()0(aaaa。根式的基本性质：nmnpmpaa，（a0）。2.分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(QnbaabQnmaaQnmaaannnmnnmnmnm3.)10(aaayx且的图象和性质：a1 0a0 时，y1，当 x0 时，0y0 时，0y1 当 x1（6）x 轴为渐近线4.指数式与对数式的互化：logbaaNNb。5.重要公式：0
3、1loga，1log aa。对数恒等式NaNalog。6.对数的运算法则如果0,1,0,0aaNM，有log()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglognmaamMMn7.对数换底公式：aNNmmalogloglog（a 0，a 1，m 0，m 1，N0）。8.两个常用的推论：1loglogabba，1logloglogacbcba。bmnbanamloglog（a，b 0且均不为1）。9.对数函数的性质：a1 0a0（转化法）（3）af（x）=bg（x）f（x）logma=g（x）logmb（取对数法）（4）logaf（x）=logbg（x）logaf（x）=l
4、ogag（x）/logab（换底法）12.指数不等式与对数不等式的类型：（1）af（x）b讨论 a 是否大于 1（2）af（x）ag（x）讨论 a 是否大于1。（3）af（x）bg（x）f（x）logmag（x）logmb（取对数法m1）（4）logaf（x）logbg（x）logaf（x）logag（x）/logab（换底法）13.y=xa（其中 a 为常数），当 a0 时图象过点（0，0）与（1，1）；在),0上是增函数当 a0 时，图象过点（1，1），在),0上是减函数。【典型例题】例 1 计算：（1）121316324(124 22 3)27162(8)；（2）2(lg2)lg2 lg
5、50lg25；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)。解：（1）原式12133(1)246324(113)322 8213332113322211338811（2）原式22(lg2)(1 lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc(11)lg 22lg52(lg 2lg5)2（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg
6、23lg 23lg 2 5lg352lg36lg 24例 2 已知11223xx，求22332223xxxx的值。解：11223xx，11222()9xx，129xx，17xx，12()49xx，2247xx，又331112222()(1)3(71)18xxxxxx，223322247231833xxxx例 3 已知35abc，且112ab，求c的值。解：由3ac得：log 31ac，即log 31ca，1log 3ca；同理可得1log 5cb，由112ab得log 3log 52cc，log 152c，215c，0c，15c例 4 设1x，1y，且2log2log30 xyyx，求224T
7、xy的最小值。解：令logxty，1x，1y，0t由2log2log30 xyyx得2230tt，22320tt，(21)(2)0tt，0t，12t，即1log2xy，12yx，222244(2)4Txyxxx，1x，当2x时，min4T名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc 例 5 设a、b、c为正数，且满足222abc。（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。证明：（1）左边222l
8、ogloglog()abcabcabc abcabab22222222222()22loglogloglog 21abcaab bcabccababab；解：（2）由4log(1)1bca得14bca，30abc由82log()3abc得2384abc由得2ba由得3cab，代入222abc得2(43)0aab，0a，430ab由、解得6a，8b，从而10c例 6（1）若21aba，则logbba，logba，logab从小到大依次为；（2）若235xyz，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为；（3）设0 x，且1xxab（0a，0b），则a与b的大小关系是（）A.1ba B
9、.1ab C.1ba D.1ab（4）（全国 2理 4）以下四个数中的最大者是（A）（ln2）2（B）ln（ln2）（C）ln2（D）ln2（5）（山东理4）设11,1,32a，则使函数axy的定义域为R且为奇函数的所有 a 值为（A）1,3（B）1,1（C）1,3（D）1,1,3解：（1）由21aba得baa，故logbbalogba1logab（2）令235xyzt，则1t，lglg 2tx，lglg 3ty，lglg5tz，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc 2l
10、g3lglg(lg9lg8)230lg 2lg3lg 2 lg3tttxy，23xy；同理可得：250 xz，25xz，325yxz（3）取1x，知选B（4）0ln 21，ln（ln2）0，（ln2）2 ln2，而 ln2=21ln2ln2，最大的数是ln2，选 D。（5）答案：A 分析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。例 7 已知函数 f（x）53131xx，g（x）53131xx，（1）证明 f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间。（2）分别计算f（4）5f（2）g（2），f（9）5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数 f（x）和 g（x）的对所有不等于零的实数x 都
11、成立的一个等式，并加以证明。解：（1）f（x）的定义域为（，0）（0，）关于原点对称。又 f（x）=1133()5xx(-)53131xx=f（x），f（x）为奇函数。设 0 x1x2，则f（x1）f（x2）)xx11)(xx(515xx5xx3123113123113123123113110 xx312311，0 xx11312311，0)x(f)x(f21f（x）为（0，）增函数，又为奇函数，单调增区间为（，0），（0，）（2）计算得 f（4）5f（2）g（2）0，f（9）5f（3）g（3）0 由此可以概括出对所有不为零的实数x 都有 f（x2）5f（x）g（x）0 证明如下：5xx5xx
12、55xx)x(g)x(f 5)x(f31313131323220)xx(51)xx(5132323232名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc 说明：问题的结论是开放的，要我们去探求，利用从特殊到一般的方法得到结论，当然还要证明所得的结论是否正确。这是我们探求新问题常用的方法之一。例 8 已知函数2()1xxf xax(1)a，求证：（1）函数()f x在(1,)上为增函数；（2）方程()0f x没有负数根。证明：（1）设121xx，则1212121222()()11xxx
13、xf xf xaaxx121212121212223()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx，121xx，110 x，210 x，120 xx，12123()0(1)(1)xxxx；121xx，且1a，12xxaa，120 xxaa，12()()0f xf x，即12()()f xf x，函数()fx在(1,)上为增函数；另法：1a，(1,)x223()()ln01(1)xxxfxaaaxx函数()fx在(1,)上为增函数；（2）假设0 x是方程()0f x的负数根，且01x，则000201xxax，即00000023(1)31111xxxaxxx，当010 x时，0011x，03
14、31x，03121x，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc 而由1a知01xa式不成立；当01x时，010 x，0301x，03111x，而00 xa式不成立综上所述，方程()0f x没有负数根例 9 已知函数()log(1)xaf xa（0a且1a）求证：（1）函数()f x的图象在y轴的一侧；（2）函数()f x图象上任意两点连线的斜率都大于0。证明：（1）由10 xa得：1xa，当1a时，0 x，即函数()f x的定义域为(0,)，此时函数()f x的图象在y轴的右
15、侧；当01a时，0 x，即函数()f x的定义域为(,0)，此时函数()f x的图象在y轴的左侧函数()fx的图象在y轴的一侧；（2）设11(,)A xy、22(,)B xy是函数()fx图象上任意两点，且12xx，则直线AB的斜率1212yykxx，1122121log(1)log(1)log1xxxaaaxayyaaa，当1a时，由（1）知120 xx，121xxaa，12011xxaa，121011xxaa，120yy，又120 xx，0k；当01a时，由（1）知120 xx，121xxaa，12110 xxaa，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -
16、亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc 12111xxaa，120yy，又120 xx，0k函数()fx图象上任意两点连线的斜率都大于0【模拟试题】1.已知集合,16,9,4,1P，若Pa，Pb，则Pba，则运算可能是（）（A）加法（B）减法（C）除法（D）乘法2.已 知 集 合1,2,3A，1,0,1B，则 满 足 条 件(3)(1)(2)fff的 映 射:fAB的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7 3.某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不
17、那么发烫了。下面大致上能反映出小鹏这一天（0时 24 时）体温的变化情况的图是（）4.定义两种运算：ab22ab，2()abab，则函数2()(2)2xf xx为（）（A）奇函数（B）偶函数（C）奇 函数且为偶函数（D）非奇函数且非偶函数5.偶函 数()log|af xxb在(,0)上单调递增，则(1)f a与(2)f b的大小关系是（）（A）(1)(2)f af b（B）(1)(2)f af b（C）(1)(2)f af b（D）(1)(2)f af b6.如图，指出函数y=ax;y=bx;y=cx;y=dx的图象，则a，b，c，d 的大小关系是A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd
18、 D.ab1dlogy30，则下列不等式恒成立的是（）A.3/1xy 1/3B.yx)31(3x yC.x1)31(31y8.已知函数f（x）=lg（axbx）（a，b 为常数，a1b0），若 x（1，+）时，f（x）0恒成立，则（）A.a b 1 B.a b1 C.a b 1 D.a=b+1 9.如图是对数函数y=logax 的图象，已知 a取值3，4/3，3/5，1/10，则相应于，的a 值依次是10.已知 y=loga（2ax）在 0，1 上是 x 的减函数，则a 的取值范围是11.已知函数,),(DxxfyRy，且正数 C为常数对于任意的Dx1，存在一个Dx2，使Cxfxf21，则称函
19、数)(xfy在 D上的均值为C。试依据上述定义，写出一个均值为的函数的例子：_ 12.设函数 f（x）=lg34a21xx，其中 aR，如果当 x（，1）时，f（x）有意义，求 a 的取值范围。13.a为何值时，关于x 的方程 2lgx lg（x1）=lga 无解？有一解？有两解？14.绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3 元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4 元，每月可销售400 瓶；若每瓶售价每降低0.05 元，则可多销售40 瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15.已知定义域为 0，1 的函数
20、f（x）同时满足：（1）对于任意x0，1，总有 f（x）0；（2）f（1）=1（3）若01x，02x，121xx，则有)()()(2121xfxfxxf（）试求f（0）的值；（）试求函数f（x）的最大值；（）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x，都有 f（x）2x。16.设a、b为常数，FxbxaxfxfM;sincos)(|)(：把平面上任意一点（a，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc b）映射为函数.sincosxbxa（1）证明：不存在两个不同点对应于
21、同一个函数；（2）证明：当M)x(f0时，Mtxfxf)()(01，这里 t 为常数；（3）对于属于M的一个固定值)(0 xf，得),(01RttxfM，在映射 F 的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc 试题答案1.D2.D3.C4.A5.D 6.B 7.D 8.A 9.3，4/3，3/5，1/10，10.（1，2）11.9)(xf，xexf9)(，xaxfsin9)(（10a）12.a3/4 13.0a4 时，方程有
22、两解14.3.75，600，450 15.（I）令021xx，依条件（3）可得 f（0+0）f（0）+f（0），即 f（0）0 又由条件（1）得 f（0）0，则 f（0）=0（）任取1021xx，可知 1,0(12xx，则)()()()(1121122xfxxfxxxfxf，即0)()()(1212xxfxfxf，故)()(12xfxf于是当 0 x1 时，有 f（x）f（1）=1 因此，当 x=1 时，f（x）有最大值为1，（）证明：研究当1,21(x时，f（x）12x 当21,0(x时，首先，f（2x）f（x）+f（x）=2f（x），)2(21)(xfxf显然，当21,21(2x时，21)
23、1(21)212(21)21()(fffxf成立假设当21,21(1kkx时，有kxf21)(成立，其中k1，2，那么当21,21(12kkx时，111212121)21(21)212(21)21()(kkkkkfffxf可知对于21,21(1nnx，总有nxf21)(，其中 n=1，2，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -亿库教育网http:/www.eku.cc 亿库教育网http:/www.eku.cc 而对于任意21,0(x，存在正整数n，使得21,21(1nnx，此时xxfn221)(，当 x=0 时，f（0）=02x综上可知，满足条件的函数f
24、（x），对 x0，1，总有 f（x）2x 成立16.（1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即xbxabaFsincos),(与xdxcdcFsincos),(相同，即xdxcxbxasincossincos对一切实数x 均成立特别令 x=0，得 a=c；令2x，得 b=d 这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立故不存在两个不同点对应同一函数（2）当Mxf)(0时，可得常数a0，b0，使xbxaxfsincos)(000)()(01txfxf)sin()cos(00txbtxaxtatbxtbtasin)sincos(cos)sincos(0000由于tba,00为常数，设nmntatbmtbta,sincos,sincos0000则是常数从而Mxnxmxfsincos)(1（3）设Mxf)(0，由此得xnxmtxfsincos)(0（tbtamsincos00其中，tatbnsincos00）在映射 F 下，)(0txf的原象是（m，n），则 M1的原象是,sincos,sincos|),(0000Rttatbntbtamnm消去 t 得202022banm，即在映射F下，M1的原象|),(202022banmnm是以原点为圆心，2020ba为半径的圆名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -