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1、高一数学同步测试（ 7）反函数一、选择题：1设函数f(x) 12x1(1x0)，则函数 yf1(x)的图象是（）A. y B. y 1 C. y D. y 1 1 x 1 O x 1 1 1 O x O 1 x 2函数 y=11x(x1)的反函数是（）Ay=(x1)21，xRBy=(x1)21，xRCy=(x1)21，x1 Dy=(x 1)21，x 1 3若 f(x1)= x22x3 (x 1)，则 f1(4)等于（）A2B12C2D22 4与函数y=f(x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（）Ay= f(x) By= f-1(x) Cy =f-1(x) Dy =f-1(x) 5设
2、函数242,4fxxx，则1fx的定义域为（）A4,B0,C0,4D0,126若函数yfx的反函数是yg x，,0fabab，则( )g b等于（）AaB1aCbD1b7已知函数13axfxx的反函数就是fx本身，则a的值为（）A3 B1 C3 D18若函数fx存在反函数，则方程fxc c为常数（）A有且只有一个实数根B至少有一个实数根C至多有一个实数根D没有实数根9函数 f(x)=2212x(x 1)的反函数的定义域为（）A(， 0B(， ) C(1，1) D(， 1)(1， ) 10若函数 f(x)的图象经过点 (0， 1)，则函数f(x4)的反函数的图象必经过点（）A(1，4) B( 4
3、， 1) C(1， 4) D(1， 4) 11函数 f(x)x1(x0)的反函数 f1(x)（）Ax(x0)Bx1(x0)Cx(x0) Dx1(x0)12、点(2，1)既在函数 f(x)=abxa1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a，b)有（）A1 组B2 组C3 组D4 组二、填空题：13若函数 f(x)存在反函数f1(x)，则 f1f(x)=_ ； ff1(x)=_ _14已知函数yf(x)的反函数为f 1(x)x 1(x0)，那么函数f(x)的定义域为 _ _15设 f(x)=x2 1(x 2)，则 f1(4)=_ _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
4、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 16已知 f(x)f1(x)xmx12(x m)，则实数 m = 三、解答题：17 （1）已知 f(x) = 4x2x1，求 f1(0)的值（2）设函数y= f(x)满足f(x1) = x22x 3 (x 0)，求f1(x1)18判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数（1）2( )42()f xxxxR；（2）2( )42(2)f xxxx（3）1 (0)1,(0)xxyxx19已知 f(x)=13xax（1）求
5、y=f(x)的反函数y= f1 (x)的值域 ; （2）若 (2，7)是 y = f1 (x)的图象上一点，求y=f(x)的值域20已知函数2(1)2 (0)f xxx x，（1）求1( )fx及其1(1)fx；（2）求(1)yfx的反函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 21己知211xfxx(x1)，（1）求fx的反函数1( )fx，并求出反函数的定义域；（2）判断并证明1( )fx的单调性22给定实数 a，a
6、0，且 a1，设函数11axxyaxRx1,且试证明：这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形参考答案一、选择题：DCCDD ACCAC BA 二、填空题： 13.x，x，14.x 1，15.5，16.m 2 三、解答题：17.解析：（）设f1(0)=a，即反函数过(0， a)， 原函数过 (a，0)代入得：0=4a 2a1 ，2a(2a2)=0，得 a=1， f )0(1=1（）先求f(x)的反函数)2(1) 1(),3(2)(11xxxfxxxf18.解析：令( )0,yf x得到对应的两根：120,4xx这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数由2( )42f xxx2(2)2
7、x，得2(2)2xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2x，22,22xyxy，互换,x y得22,yx又由2( )42(2)f xxxx的值域可得反函数定义域为2,),反函数为1( )21,fxxx2,)由1(0)yxx得其反函数为1(1)yxx；又由1(0)yxx得其反函数为1(1)yxx综上可得，所求的反函数为1(1)1(1)xxyxx注：求函数( )yf x的反函数的一般步骤是：反解，由( )yf x解出1
8、( )xfy，写出y的取值范围；互换,x y，得1( )yfx；写出完整结论(一定要有反函数的定义域)求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数19.解析：（）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域反函数的值域为y|y1,yR （） (2，7)是 y=f1(x) 的图象上一点，(7，2)是 y=f(x)上一点,215215) 1(2132)(212327xxxxxxfaaf(x)的值域为 y|y220解析：22(1)21 1(1)1(0)f xxxxx，2( )1(1)f xxx，其值域为|0y y，又由21(1)yxx得1xy，1( )1(0)fxxx，1(1)
9、2(1)fxxx由2( )2 (0)yf xxx x，解得11(1)xyy(1)yf x的反函数为11yx(1)x说明：1(1)yfx并不是(1)yf x的反函数，而是1( )yf x的反函数题中有1(1)yfx的形式，我们先求出1( )yfx，才能求出1(1)yfx21.解析：2111(),1,101111yyxyxxyxyy设，即1( )fx的定义域为0,1；设1211121212122()01,01,()()0(1)(1)xxxxxxfxfxxx，1112()()fxfx，即1( )fx在1 ,0上单调递增名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
10、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 22、证法一 : 且则意一点是这个函数的图象上任设点,1,),(axyxP.11xaxy).,(),(xyPxyyxP的坐标为的对称点关于直线易知点由式得, 1) 1(1) 1(yyaxxxay即由此得 a=1，与已知矛盾，.01ya又由式得11yayx这说明点 P（y,x）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形 . 证法二 :先求所给函数的反函数:由),1,(11axRxaxxy得y(ax1)=x1，即(ay1)x=y1得代入所给函
11、数的解析式则假如,1,01ayay111axxa即axa=ax 1，由此得 a=1，与已知矛盾，所以ay10因此得到).1,( ,11)1,(11,1,11axRxaxxyaxRxaxxyayayyx且的反函数是且这表明函数其中由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数y=f 1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数)1,(11axRxaxxy且的图象关于直线y=x成轴对称图形 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -