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1、黄冈中学网校达州分校11.2 11.2 互斥事件有一个发生互斥事件有一个发生的概率的概率( (二）二）yyyy年年M月月d日星期日星期W黄冈中学网校达州分校教学目标：教学目标： 1掌握互斥事件和对立事件的概率计算掌握互斥事件和对立事件的概率计算 2提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逆向思维生的逆向思维教学重点：教学重点：1互斥事件的概率公式的应用互斥事件的概率公式的应用 2对立事件的概率公式的应用对立事件的概率公式的应用教学难点：教学难点：1两对立事件之间关系的分析两对立事件之间关系的分析 2较复杂的事件的概率的计算转化较复杂的事件的概率的计算
2、转化黄冈中学网校达州分校1.1.互斥事件的定义互斥事件的定义 不可能同时发生的两个事件叫做不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件互斥事件 一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An中的任何两个都是中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件互斥事件，那么就说事件A1，A2，An彼此互斥彼此互斥2.2.互斥事件有一个发生的概率互斥事件有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件如果事件A，B互斥，那么事件互斥，那么事件AB发生发生(即即A，B中有一个中有一个发生发生)的概率，等于事件的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和分别发生的概率的和.一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，
3、An彼此互斥，那么事件彼此互斥，那么事件A1+A2+.+An 发生发生(即即A1，A2，An中有一个发生中有一个发生)的概率，的概率，等于这等于这n个事件分别发生的概率的和，即个事件分别发生的概率的和，即 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)复复 习习黄冈中学网校达州分校 A A与与A A是互斥事件。事件是互斥事件。事件A A与与A A必有一个发生必有一个发生. .这种这种其中必有一个发生的互斥事件叫做其中必有一个发生的互斥事件叫做. .事件事件A A的对立事件通常记作的对立事件通常记作A A3.3.对立事件的概念对立事件的概念4.4.对立事件的概率间关系对立事件的概率间
4、关系P(A)P(A)P(AA)1P(A)1)AP(黄冈中学网校达州分校例例1 1在在2020件产品中，有件产品中，有1515件一级品，件一级品，5 5件二级品件二级品. .从从中任取中任取3 3件，其中至少有件，其中至少有1 1件为二级品的概率是多少？件为二级品的概率是多少？解：解：记从记从2020件产品中任取件产品中任取3 3件，其中恰有件，其中恰有1 1件二级品为件二级品为事件事件A A1 1，其中恰有其中恰有2 2件二级品为事件件二级品为事件A A2 2，3 3件全是二级品件全是二级品为事件为事件A A3 3. .这样，事件这样，事件A A1 1，A A2 2，A A3 3的概率的概率根
5、据题意，事件根据题意，事件A A1 1,A,A2 2,A,A3 3 彼此互斥，由互斥事件的概彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，率加法公式，3 3件产品中至少有件产品中至少有1 1件为二级品的概率是件为二级品的概率是125151320105()228CCP AC21515232030()228CCP AC3533202()228CP AC123123105 302137()( )( )( )228 228 228 228PA A APAPAPA 例例 题题 解解 析析黄冈中学网校达州分校例例1 1在在2020件产品中，有件产品中，有1515件一级品，件一级品，5 5件二级品件二级品. .从从中
6、任取中任取3 3件，其中至少有件，其中至少有1 1件为二级品的概率是多少？件为二级品的概率是多少？解法解法2 2：记从记从2020件产品中任取件产品中任取3 3件，件，3 3件全是一级产件全是一级产品为事件品为事件A A，那么，那么由于由于“任取任取3 3件，至少有件，至少有1 1件为二级品件为二级品”是事件是事件A A的的对立事件，根据对立事件的概率加法公式，得到对立事件，根据对立事件的概率加法公式，得到答：其中至少有一件为二级品的概率是答：其中至少有一件为二级品的概率是31532091()228CP ACA91137( )1( )1228228P AP A 1 3 72 2 8注：在求某些
7、稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：注：在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和二是先去求此事件的对立事件的概率。二是先去求此事件的对立事件的概率。黄冈中学网校达州分校解：解：设至少有两封信配对为事件设至少有两封信配对为事件A，恰好有两封信配对为，恰好有两封信配对为事件事件A1，恰有，恰有3封信配对为事件封信配对为事件A2，恰有，恰有4封信封信(也就是也就是5封封信信)配对为事件配对为事件A3,则事件则事件A等于事件等于事件A1+A2+A3，且，且A1、A2、A3事件为两两互斥事件事
8、件为两两互斥事件,所以所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)例例2 2 今有标号为今有标号为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5的五封信，另有同样标的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率率黄冈中学网校达州分校5封信放入封信放入5个不同信封的所有放法种数为个不同信封的所有放法种数为A55，其中正好有其中正好有2封信配对的不同结果总数为封信配对的不同结果总数为C52 2正好有正好有3封信配对的不同结果总数为封信配
9、对的不同结果总数为C53正好有正好有4封信封信(5封信封信)全配对的不同结果总数为全配对的不同结果总数为1，251551()(2)6P ACA 352551()12P ACA31()120P A 12331( )()()()120P AP AP AP A 例例2 2 今有标号为今有标号为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5的五封信，另有同样标号的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率黄冈中学网校达州分校例例3、 袋中装有
10、红、黄、白袋中装有红、黄、白3种颜色的球各种颜色的球各1只，从中每次任只，从中每次任取取1只，有放回地抽取只，有放回地抽取3次，求：次，求：(1)3只全是红球的概率，只全是红球的概率，(2)3只颜色全相同的概率，只颜色全相同的概率，(3)3只颜色不全相同的概率，只颜色不全相同的概率，(4)3只颜色全不相同的概率只颜色全不相同的概率解：有放回地抽取解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为次，所有不同的抽取结果总数为33：3只全是红球的概率为只全是红球的概率为1273只颜色全相同的概率为只颜色全相同的概率为31279 “3只颜色不全相同只颜色不全相同”的对立事件为的对立事件为“三只颜色全相同
11、三只颜色全相同”故故“3只颜色不全相同只颜色不全相同”的概率为的概率为18199“3只颜色全不相同只颜色全不相同”的概率为的概率为333623279A 若：红球若：红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？ 黄冈中学网校达州分校例例4、有、有4个红球，个红球，3个黄球，个黄球，3个白球装在袋中，小球的形个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？概率是多少？解：解：从从10个小球中取出两个小球的不同取法数为个小球中取出两个小球的不同取法数为C102“从中取出两
12、个红球从中取出两个红球”的不同取法数为的不同取法数为C42，其概率为，其概率为C42 C102 “从中取出两个黄球从中取出两个黄球”的不同取法数为的不同取法数为C32，其，其概率为概率为C32 C102 “从中取出两个白球从中取出两个白球”的不同取法数为的不同取法数为C32，其概率为，其概率为C32 C102 所以取出两个同色球的概率为：所以取出两个同色球的概率为： P=C42 C102+C32 C102+C32 C102=415若改为：取出若改为：取出3个球，至少两个同颜色个球，至少两个同颜色 ？黄冈中学网校达州分校例例5. 在在9个国家乒乓球队中有个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分个
13、亚洲国家队，抽签分成三组进行比赛预赛求：成三组进行比赛预赛求：(1)三个组各有一支亚洲队的概率；三个组各有一支亚洲队的概率；解：解：(1)所有的分组结果是等可能的，所有的分组结果是等可能的，9支队平均分成支队平均分成3组的不同分法数为：组的不同分法数为：(C93C63C33) A33=280 (种种)其中三其中三个组各有一支亚洲队，可以看成其它个组各有一支亚洲队，可以看成其它6支队中任取支队中任取2支支队与第队与第1个亚洲队合为一组，剩下个亚洲队合为一组，剩下4支队任取支队任取2支与第支与第2个亚洲队一组，最后个亚洲队一组，最后2支队与第支队与第2、3支亚洲队一组，支亚洲队一组，所有不同的分法
14、数为所有不同的分法数为C62C42C22=90 (种种)。所以所以“三个组各有一支亚洲队的概率为三个组各有一支亚洲队的概率为90 280=9/28黄冈中学网校达州分校例例5. 在在9个国家乒乓球队中有个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分个亚洲国家队，抽签分成三组进行比赛预赛求：成三组进行比赛预赛求：(2)至少有两个亚洲国家队在同一组的概率至少有两个亚洲国家队在同一组的概率(2)方法方法1：“至少有两支亚洲队在同一组至少有两支亚洲队在同一组”分为两类：分为两类：“恰好两支亚洲国家队在一组恰好两支亚洲国家队在一组”，概率为，概率为C32C61C52 280=9/14“三支亚洲国家队在同一组三支
15、亚洲国家队在同一组”的概率为的概率为1/28至少有两个亚洲国家队在同一组的概率为至少有两个亚洲国家队在同一组的概率为18119282828 方法方法2：“至少有两支亚洲在同一组至少有两支亚洲在同一组”的对立事的对立事件为件为“三个组各有一支亚洲队三个组各有一支亚洲队”。由。由(1)可得，可得，“至少有两支亚洲队在同一组至少有两支亚洲队在同一组”的概率为：的概率为：91912828 黄冈中学网校达州分校例例6 6. . 在房间里有在房间里有4 4个人求至少有两个人的生日是个人求至少有两个人的生日是同一个月的概率同一个月的概率解：由于事件解：由于事件A“A“至少有两个人的生日是同一个月至少有两个人
16、的生日是同一个月”的的对立事件是对立事件是“任何两个人的生日都不同月任何两个人的生日都不同月”因而至少因而至少有两人的生日是同一个月的概率为：有两人的生日是同一个月的概率为：41245541( )1( )11129696AP AP A黄冈中学网校达州分校例例7. 从从1，2，3，100这这100个数中，随机取出两个数中，随机取出两个数，求其积是个数，求其积是3的倍数的概率的倍数的概率解：基本事件数有解：基本事件数有C1002 种在由种在由1到到100这这100个自然个自然数中数中 3的倍数的数组成的集合的倍数的数组成的集合M中有中有33个元素，个元素，不是不是3的倍数组成的集合的倍数组成的集合
17、N中有中有67个元素，个元素，事件事件A为任取两整数相乘为为任取两整数相乘为3的倍数，分二类：的倍数，分二类：1取取M中中2个元素相乘有个元素相乘有C332 种；种；2从集合从集合M，N中各取中各取1个元素相乘有个元素相乘有C331C671 种种因为第两类互斥，所以因为第两类互斥，所以211333367210083( )150CC CP AC 黄冈中学网校达州分校练练 习习 1 1袋中装白球和黑球各袋中装白球和黑球各3 3个，从中任取个，从中任取2 2球则至球则至多有多有l l个黑球的概率是个黑球的概率是( )( ) 2 2某班有学生某班有学生5050名，其中班干部名，其中班干部5 5名，现从
18、中选名，现从中选2 2名作为学生代表，求：名作为学生代表，求：(1)(1)选出的选出的2 2名学生中至少有名学生中至少有1 1名是班干部的概率；名是班干部的概率；(2)(2)选出的选出的2 2名学生中没有班干部的概率名学生中没有班干部的概率 51.A54.B31.C21.DB B2452502354711225245CPC 245250198245CPC黄冈中学网校达州分校4. 在放有在放有5个红球、个红球、4个黑球、个黑球、3个白球的袋中，任个白球的袋中，任意取出意取出3个球，分别求出个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异个全是同色球的概率及全是异色球的概率色球的概率解：以解：以12个球
19、中任取个球中任取3个，共有个，共有C123 种不同的取法，种不同的取法，故全是同色球的概率为故全是同色球的概率为3335341333121212344CCCPCCC全是异色球的概率为全是异色球的概率为1115432312311C C CPC3 3一枚硬币连掷一枚硬币连掷3 3次，求出现正面的概率次，求出现正面的概率12333333333172228888CCCP 3337128CP 或或 黄冈中学网校达州分校小小 结结 会将一些稍复杂的事件的概率转化为一些会将一些稍复杂的事件的概率转化为一些彼此互斥的事件的概率的和，或转化为先求其彼此互斥的事件的概率的和，或转化为先求其对立事件的概率，然后利用公式求得对立事件的概率，然后利用公式求得