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1、Page 22_,)1()6(_,)5(_,2_,3(4)._,)3(_)2(_,_)1(点点的的位位置置关关系系是是三三则则若若是是三三点点的的位位置置关关系系则则若若的的关关系系是是与与则则的的关关系系是是与与则则形形是是则则这这个个平平行行四四边边形形又又则则若若满满足足记记中中在在平平行行四四边边形形表表示示关关系系用用符符号号向向量量是是与与CBAOCtOBtOACBAACABbababababababADaABABCDCDBCABBAAB 复习复习相相反反BAAB AD长长方方倍倍长长度度是是方方向向相相同同3,倍倍长长度度是是方方向向相相反反2,三点共线三点共线三点共线三点共线P
2、age 33平面向量基本定理平面向量基本定理22112121,eeaaee 使使得得对对实实数数有有且且只只有有一一意意向向量量那那么么对对于于这这一一平平面面内内任任共共线线的的向向量量，是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不如如果果的的一一组组基基底底叫叫做做这这一一平平面面所所有有向向量量其其中中21,eea1e2e22e 11e 00212211 ee特别的特别的Page 44探索探索1:向量的正交分解向量的正交分解MNijiOM=xjON=yoy yx xOAA(x,y)OA=OM+ONij=x +y我们把我们把(x,y)叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作),(yxa ji
3、作为基底作为基底Page 55其中其中x叫做叫做a在在x轴上的轴上的坐标坐标，y叫做叫做a在在y轴上的轴上的坐标坐标.(1)(1)取基底取基底: : 与与x x轴方向轴方向,y,y轴方向相轴方向相同的两个单位向量同的两个单位向量i i、j j作为基底作为基底. .xyoija)y, x(a 注：每个向注：每个向量都有唯一量都有唯一的坐标的坐标. .（一）平面向量坐标的概念（一）平面向量坐标的概念aMNA(x,y)把把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式.(2)(2) 任作一个向量任作一个向量a a，由平面向量基本定理，有且只由平面向量基本定理，有且只有一对实数有一对实数x x
4、、y y，使得，使得a=xi+yj.a=xi+yj.我们把我们把(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a a的坐标，的坐标，记作记作得到实数对得到实数对: : Page 664321-1-2-3-2246ij），（yxP( , )OPxiy jx y O向量向量 P（x ，y）一一 一一 对对 应应OP xiy j( , )OPxiy jx y 向量坐标实向量坐标实际上就是向际上就是向量终点坐标量终点坐标Page 77aij0O OYXij11221212( ,),(,)ax ybxyabxxyy如如果果, ,那那么么, ,且且(5)当向量起点不在坐标原当向量起点不在坐标原点时，坐标又如何呢？点
5、时，坐标又如何呢？Page 88 设设 的坐标与的坐标与 的坐标有何关系的坐标有何关系? ,a ABa A B、1ABij1OxyaA1B1(x1,y1)(x2,y2)P(x,y)1122( ,), (,),A x yB xy若若 则则AB 2121(,)xx yy结论结论1 1:一个向量的坐标等于表示此向量的有一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。向线段终点的坐标减去始点的坐标。MNPage 99例例1.用基底用基底 i , j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4ABij12-2-1Oxy
6、abcd 45323(2,3)ABij 23( 2,3)bij 23( 2, 3)cij 23(2, 3)dij Page 1010练习练习: :在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量. .(1)(1,2)a (2)( 1,2)b (1,2)A.xyoaxyo( 1,2)B .bPage 11111122( ,),(,),( , ),ax ybxyab abax ya 问题: (1)已知 求 的坐标. (2)已知和实数求 的坐标.（二）平面向量的坐标运算：（二）平面向量的坐标运算： 1122(1)abx iy jx iy j1212(,)abxxyy同理得(2)(,)ax
7、iy jxiy jxy结论结论2 2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差量相应坐标的和与差. .结论结论3 3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标. .1212xxiyyj1212(,)xxyyPage 12122 (2,1), ( 3,4), , 34 abab abab 例例 ：已已知知求求的的坐坐标标. .(2,1)( 3,4)( 1,5)ab 解解：(2,1)( 3,4)(5, 3)ab 3 4 3(2,1)4( 3,4)(6,3)( 12,16)a
8、b ( 6,19) Page 1313例例3已知三个力已知三个力1F (3, 4), 2F(2, 5), 3F(x, y)的合力的合力1F+2F+3F=0求求3F的坐标。的坐标。解：由题设解：由题设1F+2F+3F=0 得：得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)即：即：054023yx 15yx 3F( 5,1)Page 1414 (2,3),( 3,5),ABBA 例4、1 已知求的坐标. (1, 2),(2,1),ABAB 2 已知求 的坐标. 解： BA 2,33,5 5, 2 .,解：设B x,y 1, 2,2,1 ,ABx y 1221xy 即31xy .即B
9、3,-1Page 1515例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），求顶点求顶点D的坐标。的坐标。4321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y)Page 1616, )Dx y解：设顶点 的坐标为（)2 , 1 () 13),2(1(AB)4 ,3(yxDC1 23- ,4)ABDCxy 有得：（ ，）（yx4231），的坐标是（顶点22Dyx22OyxABCD例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标的三
10、个顶点的坐标分别是（分别是（- 2，1）、（）、（- 1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标.Page 1717变式：变式： 已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4)，求点，求点D的坐标使这四点的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为解：当平行四边形为ADCB时，时，由由 得得D1=(2, 2)DCAB 当平行四边形为当平行四边形为ACDB时，时，得得D2=(4, 6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=( 6, 0)D3 设设a=
11、(xa=(x1 1,y,y1 1),b=(x),b=(x2 2,y,y2 2), ),其中其中b b是非零向量是非零向量, ,那么那么可以知道，可以知道，a/ba/b的充要条件是存在一实数的充要条件是存在一实数 ，使，使 a= a= bb （x1，y1）= (x2，y2) 即即 x1= x2 且且 y1= y2这个结论如果用坐标如何表示呢？，这个结论如果用坐标如何表示呢？，消去消去后得后得 x1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=0a/b (b0) Page 19196(4,2),(6, ),/.abyaby例题 、已知且，求2 51113CABCAB，（ ， ），求证 、 、 三点共线。
12、例题7、已知（， ），（， ）Page 20201( 5,4)545 ,4 ),)( )( 10,2)()(5 , 4 )aAkkBkkCDkk 练习二：、与平行的向量是（）（ ）（ ）（2(12,5)12125513131312 512512513 1313131313aABCD、与平行的单位向量是（）（ ）（， ）（ ）（，）（ ）（， ）或（，）（ ）（，）Page 2121在平面直角坐标系内，我们分别取与在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、轴、Y轴方轴方向相同的单位向量向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数由平面
13、向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得使得 a=x i+y j.定义：定义：归纳总结归纳总结2 、把把(x , y)叫做向量叫做向量a的（直角）坐标的（直角）坐标, 记为：记为：a=(x , y) , 称其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式.4、其中其中 x、 y 叫做叫做 a 在在X 、Y轴上的坐标轴上的坐标.单位向量单位向量 i =（1，0），），j =（0，1）1 、把、把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式.3、 a=x i+y j =( x , y)Page 2222课堂总结课堂总结: :1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念: :2.2.对向量坐
14、标表示的理解对向量坐标表示的理解: :3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .1122( ,),(,),ax ybxy(1)若则1212(,),abxxyy1212(,),abxxyy11(,)axy1122( ,), (,),A x yB xy( 2) 若2121(,)ABxx yy ( , )axiy jx y4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题: :“向量向量”的思的思想想