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1、向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算广饶一中吴兴昌Page 22_,)1()6(_,)5(_,2_,3(4)._,)3(_)2(_,_)1(点点的的位位置置关关系系是是三三则则若若是是三三点点的的位位置置关关系系则则若若的的关关系系是是与与则则的的关关系系是是与与则则形形是是则则这这个个平平行行四四边边形形又又则则若若满满足足记记中中在在平平行行四四边边形形表表示示关关系系用用符符号号向向量量是是与与CBAOCtOBtOACBAACABbababababababADaABABCDCDBCABBAAB 复习复习相反相反BAAB AD长方长方倍倍长度是长度是方向相同方向相同3,倍倍长度是长度是方向
2、相反方向相反2,三点共线三点共线三点共线三点共线Page 33引入引入:1.1.平面内建立了直角坐标系平面内建立了直角坐标系, ,点点A A可以用什么来可以用什么来表示表示? ?2.2.平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢? ?OxyA(a,b)abaPage 44平面向量基本定理平面向量基本定理22112121,eeaaee 使使得得对对实实数数有有且且只只有有一一意意向向量量那那么么对对于于这这一一平平面面内内任任共共线线的的向向量量，是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不如如果果的一组基底的一组基底叫做这一平面所有向量叫做这一平面所有向量其中其中21,eea1e2e
3、22e 11e 00212211 ee特别的特别的Page 55 不共线的向量不共线的向量 叫做这一平面内叫做这一平面内 所有向量的一组基底所有向量的一组基底. 21,ee1e2e1e2ePage 66其中其中x叫做叫做a在在x轴上的轴上的坐标坐标，y叫做叫做a在在y轴上的轴上的坐标坐标.(1)(1)取基底取基底: : 与与x x轴方向轴方向,y,y轴方向相轴方向相同的两个单位向量同的两个单位向量i i、j j作为基底作为基底. .xyoija)y, x(a 式叫做向量的坐标表示式叫做向量的坐标表示. .注：每个向量都有唯一的坐标注：每个向量都有唯一的坐标. .（一）平面向量坐标的概念（一）平
4、面向量坐标的概念(2)(2) 任作一个向量任作一个向量a a，由平面向量基本定理，有且只由平面向量基本定理，有且只有一对实数有一对实数x x、y y，使得使得a=a=xi+yjxi+yj. .我们把我们把(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a a的坐标，的坐标，记作记作得到实数对得到实数对: : Page 77aij0aO OYXij11221212( ,),(,)ax ybxyabxxyy如如果果, ,那那么么, ,且且Page 88例例1.用基底用基底 i , j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4ABij12-
5、2-1Oxyabcd 问问 1 :设设 的坐标与的坐标与 的坐标有何关系的坐标有何关系? ,aAB a AB、45323(2,3)ABij 23( 2,3)bij 23( 2, 3)cij 23(2, 3)dij a 的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。Page 991122( ,), (,),A x yB xy 若若 则则AB 问问2:2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问问 1 :设设 的坐标与的坐标与 的坐标有何关系的坐标有何关系? ,aAB a AB、问问3:3:相等向量的坐标有什么关系？相等向量的坐标有什么关系？1ABij1OxyaA1
6、B1(x1,y1)(x2,y2)P(x,y)b2121(,)xx yy结论结论1 1:一个向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有等于表示此向量的有向线段终点的坐标减向线段终点的坐标减去始点的坐标。去始点的坐标。Page 10104321-1-2-3-2246ij），（yxP( , )OPxiy jx y 向量的坐标与点的坐标关系O向量向量 P（x ，y）一一 一一 对对 应应OP xiy jPage 1111小结小结: :对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；向量的
7、坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标向量的坐标. .(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .),(),(2211yxbyxaba ，若.,),(),(21212211yyxxyxyx即则Page 1212练习练习: :在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量. .(1)(1,2)a (2)( 1,2)b (1,2)A.xyoaxyo( 1,2)B .bPage 13131122( ,),(,),( , ),ax ybxyab abax ya 问题: (1)已知 求 的坐
8、标. (2)已知和实数求 的坐标.（二）平面向量的坐标运算：（二）平面向量的坐标运算： 1122(1)abx iy jx iy j1212(,)abxxyy同理得(2)(,)axiy jxiy jxy结论结论2 2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差量相应坐标的和与差. .结论结论3 3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标. .1212xxiyyj1212(,)xxyyPage 1414 已知已知 ，求，求 的坐标的坐标. . ABOxyB(x2,y2)A(
9、x1,y1)ABOBOA 结论结论1 1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。线段终点的坐标减去始点的坐标。1122( ,), (,)A x yB xy从向量运算的角度从向量运算的角度2,211()( ,)x yx y2121(,)xx yyPage 15152 (2,1), ( 3,4), , 34 abab abab 例例 ：已已知知求求的的坐坐标标. .(2,1)( 3,4)( 1,5)ab 解解：(2,1)( 3,4)(5, 3)ab 3 4 3(2,1)4( 3,4)(6,3)( 12,16)ab ( 6,19) Page
10、 1616例例3已知三个力已知三个力1F (3, 4), 2F(2, 5), 3F(x, y)的合力的合力1F+2F+3F=0求求3F的坐标。的坐标。解：由题设解：由题设1F+2F+3F=0 得：得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)即：即：054023yx 15yx 3F( 5,1)Page 1717 (2,3),( 3,5),ABBA 例4、1 已知求的坐标. (1, 2), (2,1),ABAB 2 已知求 的坐标. 解： BA 2,33,5 5, 2 .,解：设B x,y 1, 2,2,1 ,ABx y 1221xy 即31xy .即B 3,-1Page 1818
11、例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），求顶点求顶点D的坐标。的坐标。4321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y)Page 1919, )Dx y解：设顶点 的坐标为（)2 , 1 () 13),2(1(AB)4 ,3(yxDC1 23- ,4)ABDCxy 有得：（ ，）（yx4231），的坐标是（顶点22Dyx22OyxABCD例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是（分别是
12、（- 2，1）、（）、（- 1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标.Page 2020变变式：式： 已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4)，求点求点D的坐标使这四点的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：解：当平行四边形为当平行四边形为ADCB时，时，由由 得得D1=(2, 2)DCAB 当平行四边形为当平行四边形为ACDB时，时，得得D2=(4, 6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=( 6, 0)D3106练习：世纪金榜第页的变式训练Pa
13、ge 2121课堂总结课堂总结: :1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念: :2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: :3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .1122( ,),(,),ax ybxy(1)若则1212(,),abxxyy1212(,),abxxyy11(,)axy1122( ,), (,),A x yB xy( 2) 若2121(,)ABxx yy ( , )axiy jx y4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题: :“向量向量”的思的思想想