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1、数列数列定义、数列的分定义、数列的分类、通项公式、类、通项公式、递推公式、递推公式、等差数列等差数列等比数列等比数列定义、通项公定义、通项公式、增减性、式、增减性、前前n项和公式项和公式定义、通项公定义、通项公式、增减性、式、增减性、前前n项和公式项和公式数列的应用数列的应用一、数列的概念与简单的表示法：一、数列的概念与简单的表示法：1.1.数列的概念：数列的概念：按照按照一定的顺序排列一定的顺序排列着的着的一列数一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项项。2.2.数列的分类：数列的分类：有穷数列有穷数列; ;无穷数列无穷数列; ;递增数列递增数
2、列; ;递减数列；常数列；摆动数列递减数列；常数列；摆动数列. . 如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差项起，每一项与前一项的差（比）（比）等等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差于同一个常数，那么这个数列就叫做等差（比）（比）数数列。列。 nadaann1 na na212nnnaaa na1()nnaqa212()nnnaaa3.通项公式法通项公式法:(0)nnnaAnB aA qA且4.前前n项和公式法项和公式法:2(0)nnnSAnBn SA qAA且二、等差（比）数列的定义：二、等差（比）数列的定义：qaann1dnaan) 1(111nnqaadmnaamn
3、)( mnmnqaa2)(baAabG 22) 1(2)(11dnnnaaanSnn1 1 11)1 (111qnaqqqaaqqaSnnnqpmnaaaaqpmnaaaapmnaaa22pmnaaa三、等差等比相关知识回顾三、等差等比相关知识回顾daann1kkkkkSSSSS232,kkkkkSSSSS232,仍成等差仍成等差仍成等比仍成等比11 1 2 nnnSnaSSn等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义通通 项项通项推广通项推广中中 项项性性 质质求和求和公式公式关系式关系式nnSa 、适用所有数列适用所有数列等比中项2个题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通
4、项公式。方法一：观察法：方法一：观察法：方法二：公式法：方法二：公式法：方法三：累加法：方法三：累加法：方法四：累乘法：方法四：累乘法：方法七：方法七： 两边取倒数法：两边取倒数法：方法五：方法五： Sn法：法：方法六：方法六： 构造法：构造法：题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通项公式。1nna 1,1, 1,1,111,）例例1.写出下面数列的一个通项公式，写出下面数列的一个通项公式， 使它的前几使它的前几项分别是下列各数：项分别是下列各数：51019nna 5,55,555,55565,）2)方法一：观察法：方法一：观察法：题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通项公式。方法
5、二：公式法：方法二：公式法：例例2 2：在等差数列：在等差数列 an n 中，已知中，已知a5 5=10,=10,a1212=31,=31,求首求首项项a1 1与公差与公差d .d .511214101131aadaad这是一个以这是一个以a1和和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：解：由题意得：这个数列的通项公式这个数列的通项公式an=-2+3(n-1)=3n-5123ad )(1nfaann题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通项公式。方法三：累加法：方法三：累加法：-11-1=1=+3nnnnnaaaaa中，求例例3 3：已知数列：
6、已知数列的通项公式的通项公式题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通项公式。方法四：累乘法：方法四：累乘法：)(1nfaann1+1+1=2=nnnnnaaaaan中，求例例4 4：已知数列：已知数列的通项公式的通项公式题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通项公式。方法五：方法五： Sn法：法：11 12,nnnSnaSSn（1 1）利用）利用S Sn n与与n n的关系求的关系求a an n（2 2）利用）利用S Sn n与与a an n的关系求的关系求a an n例例5 5：已知数列的前：已知数列的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2+1,+1,求求aan n 通项公式通项
7、公式例例6 6：已知数列的前：已知数列的前n n项和项和S Sn n=3+2a=3+2an n, ,求求aan n 通项公式通项公式题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通项公式。方法六：方法六： 构造法：构造法：1nnapaq1()nnaxp ax12217=2nnnnaaaaa 例例 ：数数列列中中，。求求（1 1）设设（2 2）1nnnapaq12218=1nnnnnaaaaa 例例 ：数数列列中中，。求求1nnnmaapaq119=12+1nnnnnaaaaaa 例例 ：数数列列中中，。求求题型一、求数列的通项公式。题型一、求数列的通项公式。方法七：方法七： 两边取倒数法：两边取倒
8、数法：., 4, 611061aaaan求是等差数列，且已知变式：变式：方法一：公式法（方程思想）方法一：公式法（方程思想）方法二：错位相减求和法方法二：错位相减求和法方法三：裂项求和法方法三：裂项求和法方法四：分组求和法方法四：分组求和法题型二、数列求和。题型二、数列求和。方法五：合并求和方法五：合并求和方法六：倒序相加方法六：倒序相加题型二、数列求和。题型二、数列求和。方法一：公式法（方程思想）方法一：公式法（方程思想）等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna
9、 qSaa qaqqqq1123(1)2nn n 22221123(1)(21)6nn nn23333(1)1232n nn例例10 求和：求和：解：当a=1时，S 当a1时，111111naSa1n ；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1a21111+.+nSaaa题型二、数列求和。题型二、数列求和。方法一：公式法（方程思想）方法一：公式法（方程思想） 设等差数列设等差数列 an 的公差为的公差为d,等比数列等比数列 bn 的公比为的公比为 ，则由题意得，则由题意得q(2) 47 )21 (1) 2)1 (2qdqd21, 3qd23 nan121nnb解析：解析：121)
10、23(nnnnnbac通项特征：通项特征：由等差数列通项与等比数列通项相乘而得由等差数列通项与等比数列通项相乘而得求和方法：求和方法：错位相减法错位相减法错项法错项法例例11 已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，d0,数列数列bn是等比数列，又是等比数列，又a1b1(1) 求数列求数列an及数列及数列bn的通项公式；的通项公式；(2) 设设cn=anbn求数列求数列cn的前的前n项和项和Sn471 ，a2b22，a3 b3 = 题型二、数列求和。题型二、数列求和。方法二：错位相减求和法方法二：错位相减求和法121021) 23 ( 217214211 nnnSnnnS21) 23 (
11、217 214 21121321 nnnnnnnS223211)211 (213121) 23 (2132132131211121113326642(4)82222nnnnnnnS错位相错位相减法减法121)23(nnnnnbacnnccccS 321221)53( nn 21)53( 1nn题型二、数列求和。题型二、数列求和。方法三：裂项求和法方法三：裂项求和法题型二、数列求和。题型二、数列求和。111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：1114.()nnnn L例：求22224(
12、2 )121 335(21)(21)nnSnn 121121211)12)(12(11nnnnan12)1(21211211211217151513131121 nnnnnnnnSn方法四：分组求和法方法四：分组求和法题型二、数列求和。题型二、数列求和。 1223 543 523 5nnSn 解：122423 555nn111( 22)5531215nnnn51143) 1n(n 121323 543 523 5nnSn 例 .求题型二、数列求和。题型二、数列求和。方法五：合并求和方法五：合并求和方法六：倒序相加方法六：倒序相加2222214100 -99+98 -97 +.+2 -1nS 例
13、.求222215sin 1 +sin 2 +sin 3 +.+sin 89nS 例.求综合例题：已知数列综合例题：已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n, ,对任意对任意nNnN+ +, ,有有 ,b ,bn n=n=n（1 1）求数列）求数列aan n 的通项公式的通项公式（2 2）求数列）求数列bbn n* *a an n 的前的前n n项和项和)(32nSann变式变式1：求数列：求数列an(an+1)的前的前n项和项和变式变式2：求数列：求数列bn(bn+1)的前的前n项和项和变式变式3：求数列：求数列 的前的前n项和项和变式变式4：求数列：求数列bn+an)的前的前n
14、项和项和变式变式5：求数列：求数列an+2n的前的前n项和项和变式变式6：求数列：求数列bn+(bn+1)的前的前n项和项和) 1(1nnbb等差等差*等比等比等比等比*等比等比等差等差*等差等差等差等差*等差倒数等差倒数等差等差+等比等比等比等比+等比等比等差等差+等差等差1.求最大项求最大项2.求前求前n项和的最值项和的最值题型三、最值问题题型三、最值问题例例16.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.例例16.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解
15、法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.题型三、最值问题题型三、最值问题例例16.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20,若若d0，则，则an0恒成立，不满足，恒成立，不满足，则则da8,a70,a80,n8均有均有an0题型三、最值问题题型三、最值问题例例16.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取
16、何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn 题型三、最值问题题型三、最值问题 a ann是公差为是公差为d的等差数列的等差数列 bnbn是公比为是公比为q的等比数列的等比数列 性质：性质： an=am+(n-m)d性质性质： 性质性质：若若a an-k,n-k,a an,n,a an+kn+k是是 a ann中中的三项的三项， 则则2 2a an n=an-k+an+k 性质性质2 2：若若b bn-k,n-k,b bn,n,b bn+kn+k
17、是是 b bnn的三项的三项，则则 =bn-kbn+k性质：性质： 若若n+m=p+q则则am+an=ap+aq性质性质3：若若n+m=p+q则则bnbm=bpbq,性质：性质：从原数列中取出偶数项组从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为成的新数列公差为2d.(可推广可推广)性质：性质：从原数列中取出偶数从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比项，组成的新数列公比为为 .(可推广可推广) 性质性质: 若若cn是公差为是公差为d的的等差等差数列，数列，则数列则数列an+ +cn是公差为是公差为d+d的等差数列。的等差数列。 性质：性质：若若dn是公比为是公比为qq的等比数列的等比数列, ,则数列则
18、数列bndn是是公比为公比为qqq的等比数列的等比数列. . nmmqbnb 2q2nb题型四、等差（比）数列的性质题型四、等差（比）数列的性质 a ann是公差为是公差为d的等差数列的等差数列 bnbn是公比为是公比为q的等比数列的等比数列 性质性质6：数列：数列 a ann的前的前n n项和为项和为n成等差数列成等差数列性质性质6：数列数列 a ann的前的前n n项和为项和为n成等比数列成等比数列性质性质:数列数列 a ann的前的前n n项和为项和为n性质性质：数列数列 a ann的前的前n n项和为项和为n ,232nnnnnSSSSS ,232nnnnnSSSSSmnnmnSqSS
19、mnmnndSSS题型四、等差（比）数列的性质题型四、等差（比）数列的性质311678340,?naaaaaa例已知等差数列中,则变式：在等差数列变式：在等差数列 a n 中，中，a 1 a 4 a 8 a 12 + a 15 = 2，求求 a 3 + a 13 的值。的值。解：由题解：由题 a 1 + a 15 = a 4 + a 12 = 2a 8 a 8 = 2故故 a 3 + a 13 = 2a 8 = 4解：由题解：由题 a 32 = a 2a 4， a 52 = a 4a 6， a 32 + 2a 3a 5 + a 52 = 25即即 ( a 3 + a 5 ) 2 = 25 故故
20、 a 3 + a 5 = 5 a n 03847561 109,?naa aa aa aa a已知在等比数列中,则变、已知变、已知 a n 是等比数列，且是等比数列，且 a 2a 4 + 2a 3a 5 + a 4a 6 =25，a n 0，求，求 a 3 + a 5 的值。的值。例例17、例例18、题型四、等差（比）数列的性质题型四、等差（比）数列的性质例例19 . 已知已知 是两个等差数列，前是两个等差数列，前 项项和和 ,nnab88.ab分别是分别是 和和 且且 nAn,nB72,3nnAnBn求求181073152157151588BAba1212nnnnBAba1212121121
21、2121nnnnnaaABnbb212212nnnnnaanbb分析：分析：结论：结论：解：解：题型四、等差（比）数列的性质题型四、等差（比）数列的性质例例20.20.已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前m m项的和是项的和是 10 10，前，前2m2m项的和是项的和是3030，求前，求前3m3m项项 的和。的和。的值。求，若项和为的前、等比数列mmmnnSSSSna3230102变式：变式：题型四、等差（比）数列的性质题型四、等差（比）数列的性质设项技巧：设项技巧：（1 1）若有三个数成等差数列，则可设）若有三个数成等差数列，则可设为为, ,a d a ad-+（2）若有四个数成等差
22、数列，则可设为）若有四个数成等差数列，则可设为3 ,3ad a d ad ad-+（3）若有五个数成等差数列，则可设为）若有五个数成等差数列，则可设为2 , ,2ad a d a ad ad-+等差数列等差数列等比数列的设项技巧等比数列的设项技巧1、若连续、若连续n个数成等比数列，通常设为个数成等比数列，通常设为2,a aq aq 2、若连续奇数个数成等比数列，通常设为、若连续奇数个数成等比数列，通常设为22, ,qaaa aq aqqq 公比为3、若连续偶数个正数（负数）成等比数列，通、若连续偶数个正数（负数）成等比数列，通常设为常设为323,qaaaq aqqq 公比为 例例21 (1).
23、 已知三个数成等差数列，其和为已知三个数成等差数列，其和为15，其平，其平方和为方和为83，求此三个数，求此三个数.析：设这三个数为析：设这三个数为dxxdx,则则83)()(15)()(222dxxdxdxxdx所求三个数分别为所求三个数分别为3，5，7解得解得x5，d或或7，5，3. .2. .（2 2）. . .1327求这三个数，和为，积为已知三个数成等比数列例例2222已知等差数列已知等差数列aan n 公差为公差为2 2，若，若a a1 1,a,a3 3,a,a4 4成等比成等比数列，则数列，则a a2 2=?=?例例23.设数列设数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-7,则则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .153变式变式1：把上题等比改为等差？：把上题等比改为等差？241237,aaa 变式变式2.2.在等比数列在等比数列 an n 中，已知中，已知 ，求，求an n. .1238a a a