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1、基本概念基本概念数列数列：按照一定的次序排列的一列数叫做：按照一定的次序排列的一列数叫做数列。数列。通项公式通项公式：如果数列：如果数列an的通项的通项an可以用一个关可以用一个关于于n的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。式。数列的前数列的前n n项和项和:a an n与与S Sn n的关系的关系 知识回顾知识回顾:即即:Sn=a1a2 a3 an等差数列等差数列等差数列的特点是从第二项起任一项与其前一项等差数列的特点是从第二项起任一项与其前一项的差相等。的差相等。等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：a an n=a=a1 1+(n-1)d.
2、+(n-1)d.等差中项：若等差中项：若a a、A A、b b成等差数列，则成等差数列，则A A叫做叫做a a、b b的等差中项，且的等差中项，且 等差数列等差数列等差数列等差数列aan n 的性质的性质 (1)(1)an=am+(n-m)d (其中其中m、nN*)(2)(2)m,n,p,qN*且且m+n=p+q,则有则有:am+an=ap+aq(3)(3)a1+an=a2+an-1=ai+an-i=(4)(4)若若bn也为等差数列，则也为等差数列，则anbn与与 kan+bn(k、b为非零实数为非零实数)也是等差数列。也是等差数列。(5)从一个等差数列中取出间隔相同的从一个等差数列中取出间隔
3、相同的项构成的新数列仍是等差数列项构成的新数列仍是等差数列等差数列等差数列等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式等差数列等差数列an奇数项之和为奇数项之和为S奇奇,偶数项之和偶数项之和为为S偶偶.当项数为偶数当项数为偶数2n时时:S奇奇-S偶偶=nd,S奇奇/S偶偶=an/an+1;当项数为奇数当项数为奇数2n+1时时:S奇奇-S偶偶=an+1,S奇奇/S偶偶=n+1/n.等比数列等比数列等比数列的特点等比数列的特点是从第二项起任一项与其是从第二项起任一项与其前一项的比相等。前一项的比相等。等比数列的通项公式等比数列的通项公式:an=a1qn-1.等比中项等比中项:如果如果a、G、b成
4、等比数列，则成等比数列，则G叫做叫做a、b的等比中项，且的等比中项，且 G=等比数列等比数列等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 等比数列等比数列等比数列等比数列anan的性质的性质 (1)(1)当当q1,a10或或0q1,a11,a10,或或0q0时时,an是递减数是递减数列列;当当q=1时时,an是常数列是常数列;当当q0时时,an是摆是摆动数列动数列.(2)(2)an=amqn-m(n,mN*).(3)(3)当当n+m=p+q(n,m,p,qN*)时时,有有anam=apaq(4)若若an,bn是项数相等的等比数列，是项数相等的等比数列，则则anbn,can(c是不为是不为0的
5、常数的常数)及及 都是等比数列都是等比数列.(5)从一个等比数列中取出间隔相同的从一个等比数列中取出间隔相同的项构成的新数列仍是等比数列项构成的新数列仍是等比数列.例例1、已知数列、已知数列 a n 的前的前 n 项和为项和为 S n=3n 2+2n，求，求 a n解：当解：当 n 2 时，时，a n=S n S n 1=6n 1当当 n=1 时，时，a 1=S 1=5 故故 a n=6n 1例例2、已知数列、已知数列 a n 的前的前 n 项和为项和为 S n=3 n+1，求，求 a n解：当解：当 n 2 时，时，a n=S n S n 1=3 n 3 n 1=3 n 1(3 1 )=23
6、 n 1 当当 n=1 时，时，a 1=S 1=4故故 a n=典型例题典型例题例例3、在等差数列、在等差数列 a n 中，中，a 1 a 4 a 8 a 12+a 15=2，求，求 a 3+a 13 的值。的值。解：由题解：由题 a 1+a 15 =a 4+a 12=2a 8 a 8=2故故 a 3+a 13=2a 8=4例例4、已知、已知 a n 是等比数列，且是等比数列，且 a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，a n 0，求，求 a 3+a 5 的值。的值。解：由题解：由题 a 32=a 2a 4，a 52=a 4a 6，a 32+2a 3a 5+a 52=25即即 (a
7、3+a 5)2=25故故 a 3+a 5 =5 a n 0典型例题典型例题例例5、一个等差数列的前、一个等差数列的前 12 项的和为项的和为 354，前，前 12 项项中的偶数项的和与奇数项的和之比为中的偶数项的和与奇数项的和之比为 32：27，求公，求公差差 d.6d=S偶偶 S 奇奇故故 d=5例例6.数列数列64-4n的前多少项和最大？并求出最大值的前多少项和最大？并求出最大值.解法解法1 Sn最大最大 an 0,an+1 0解法解法2 求出求出Sn的表达式的表达式Sn=-2n2+62n03115.16自我小结：自我小结：一个等差数列一个等差数列的前的前n项项和和Sn，在在什么什么时时候候 有最大有最大值值？什么什么时时候有候有最小最小值值？当当d0时时,Sn有最小值有最小值.例例7、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为列，首末两项的和为21，中间两个数的和是，中间两个数的和是 18，求此四个数。，求此四个数。法一：设四个数为法一：设四个数为 a、b、c、d法二：设四个数为法二：设四个数为 、a d、a、a+d法三：设四个数为法三：设四个数为 a、b、18 b，21 a故所求数为故所求数为 3，6，12，18 或或作作 业业教材教材3636 2 2