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1、4.4.1 对数函数的概念教学目标：通过具有现实背景的具体实例，经历数学抽象，理解对数函数的概念，了解对数函数的实际意义教学重点：对数函数的概念，包括定义、底数a的取值范围、定义域教学难点：由指数函数（a0，且a1），能想到x也是y的函数，总结归纳出对数函数的概念教学过程：引导语：在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对蕴含的规律作进一步的研究1形成定义问题1：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数（x0）进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
2、追问1：解决这个问题，显然要依据函数的定义那么依据定义应该怎样进行判断呢？师生活动：教师引导学生先回忆函数的定义，然后确定判断方法函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf（x），xA所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y（0，1，是否都有唯一确定的x与其对应追问2：若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如图1，观察（x0）的图象，过y轴正半轴上任意一点（0，y0）（0y01）作x轴的平行线，与（
3、x0）的图象有几个交点？这说明对任意一个y（0，1，都有几个x与其对应？ 能否将x看成是y的函数？师生活动：按照追问1确定的办法，先由学生分析，之后教师用软件进行演示，直观呈现对任意一个y（0，1，都有唯一确定的x与其对应根据函数的定义，可知能将x看成是y的函数追问3：能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？师生活动：学生应该有足够能力解决此问题通过指数与对数的运算关系，可以将这种对应关系，改写为习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，于是就得到函数，x（0，1，刻画时间y随碳14含量x的衰减而变化的规律设计意图：通过再次分析4.2.1的问题2，并与指数函数进行比较，形成对比，从另
4、外的角度刻画其中蕴含的规律，引出用函数的方式描述问题，为抽象得到对数函数做准备问题2：对于一般的指数函数（a0，且a1），根据指数与对数的运算关系，转换成（a0，且a1），能否将x看成是y的函数？师生活动：利用解决问题1的经验，先由学生解答这个问题，之后师生一起完善教师讲授：通常，我们用x表示自变量，y表示函数为此，可将（a0，且a1）改写为：（a0，且a1）这就是对数函数追问1：通过与指数函数对比，函数的定义域是什么？师生活动：根据指数函数的定义可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是（0，）于是就得到了：定义：一般地，函数（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，）设计意
5、图：通过从特殊到一般的过程，抽象出对数函数的基本形式，得出对数函数的概念并在与指数函数对比的基础上，建立关联，得出对数函数的定义域2应用定义例1求下列函数的定义域：追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？师生活动：教师利用追问引导学生，一切从定义出发对数函数（a0，且a1）的定义域是（0，），那么（1）中的和（2）中的（4x）的取值范围就是（0，），于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域设计意图：通过求函数定义域，进一步理解对数函数定义域的特殊性在中学阶段，对数函数是为数不多的定义域不是实数集R的函数，这属于一个特殊情况此前遇到的特殊情况还包括分母不能为0，二次根
6、式下不能为负数可以前后形成对比，加深对函数定义域和一些特殊情况的理解练习1求下列函数的定义域：练习2画出下列函数的图象：设计意图：通过对数函数与分式、绝对值等多种形式的结合，并利用函数的解析式法、图象法，从不同角度推动学生对对数函数定义域的理解，进一步明确概念，体会对数函数定义域的特殊性例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律物价x12345678910年数y0师生活动：教师引导学生，顺着题意，理清思路，进行解答对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转
7、换为y关于x的函数对于（2），利用计算工具，快速填好表格，探索发现，随着x的增长，y的增长在减缓解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为由对数与指数间的关系，可得由计算工具可得，当x2时，y14所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番（2）根据函数ylog1.05x，x1，），利用计算工具，可得下表：物价x12345678910年数y0142328333740434547由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小设计意图：在充分理解了引入概念的实例基础上，利用对数函数概念进一步解决类似的实际问题，从而巩固概念，进一步理解概念并在此基础上，通过
8、列表的方式，初步体会对数函数的性质，为下一节内容作铺垫练习3已知集合A1，2，3，4，集合B2，4，8，16，下列函数能体现集合A与B对应关系的是_解：观察集合A和集合B的数据，猜测其对应关系为以2为底的指数函数，将数据依次代入函数进行检验，发现都满足该函数的解析式，所以选设计意图：通过列数据的方式，将对数函数、指数函数、一次函数、二次函数进行对比，初步体会对数函数与指数函数增长的差异，感受不同类型的数据增长应选取合适的函数模型来刻画其变化规律，为之后的内容作铺垫3课时小结教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：（1）概述本节课得到对数函数概念的基本过程（2）对数函数的现实背景是什么？
9、师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善（1）先通过4.2.1的问题2中所阐述的实际问题，利用图象上x与y的对应关系，理解x也是y的函数，再利用指数与对数的运算关系，依据函数的定义，从交换自变量与函数值“地位”的方向进行研究，得到对数函数的概念（2）对数函数与指数函数是密不可分的对于呈指数增长或衰减变化的问题，我们可以用指数函数进行描述，还可以从对数函数的角度进行描述，从而能够更全面地研究其中蕴含的规律设计意图：（1）得到对数函数概念的基本过程，是函数研究套路“背景概念图象与性质应用”中的“背景概念”环节通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本套路（2）明确对数函数的现实背景，可以使学生明白这类函数区别于其他初等函数的主要特征，为对数函数的图象性质和应用奠定基础4布置作业根据课堂教学情况，从教科书习题4.4中选择合适的题目，可选题目为第1，3，5，9，10题（五）目标检测设计1设对数函数yf（x）的底数为a，如果f（9）2，f（27）3，那么a_ ， f（81）_ 设计意图：考查对数函数的概念