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1、 2.3.2抛物线的简单几何性质一、选择题1.已知点P在抛物线x24y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线焦点的距离之比为13，则点P到x轴的距离是()A. B.C.1 D.2解析：抛物线x24y的准线为y1，设P到x轴的距离为d，则|PF|3d，3dd1，d.答案：B2.(2019福州期末)斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则|AB|()A.8 B.6C.12 D.7解析：抛物线y24x的焦点为(1,0)，设直线AB的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得x26x10，x1x26，|AB|x1x228，故选A.答案：A3.(201
2、9山东实验中学质量检测)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F点的直线交抛物线于不同的两点A，B，且|AB|8，点A关于x轴的对称点为A，线段AB的中垂线交x轴于点D，则D点的坐标为()A.(2,0) B.(3,0)C.(4,0) D.(5,0)解析：抛物线的焦点F(1,0)，若直线AB与x轴垂直，|AB|4，不符合题意，所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x1，y1)，由得k2x2(2k24)xk20.x1x2，x1x21，|AB|x1x228，6，k21.方程可化为x26x10.x132，x232，y122，y222，A(32，2
3、2)，B(32，22)，A(32，22)，AB的中点为(3，2)，kAB，AB的垂直平分线方程为y2(x3)，令y0，得2x3，x5，D(5,0).故选D.答案：D4.已知点M(4,1)，F为抛物线C：y24x的焦点，点P在抛物线上，若|PF|PM|取最小值，则点P的坐标是()A.(0,0) B.(1,2)C. D.(2,2)解析： 如图所示，l为抛物线的准线，过P作PPl于P，过M作MNl于N，|PF|PM|PP|PM|MN|.当|PF|PM|取最小值时，P的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P的坐标为.答案：C5.(2019湖南湘东五校联考)抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上
4、的动点，又已知点A(1,0)，则的最大值是()A.1 B. C. D.解析：抛物线y24x的焦点F(1,0)，A(1,0)，当P与原点重合时，1；当P与原点不重合时，过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|PM|，设过点A的抛物线的切线方程为yk(x1)，由消去y，得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k40，k1，PAF(0,45，MAP45，90，1， ，的最大值为.答案：B二、填空题6.过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p的值为 .解析：由题意可知过焦点F，倾斜角为45的直线方程为yx，代入y22px，得x23
5、px0.又|AB|8，p2.答案：27.抛物线y24x上的动点P与圆x2y28x150上的动点Q距离的最小值为 .解析：设P，圆的标准方程为(x4)2y21.圆心C(4,0)，半径r1，则|PC| ，当y28时，|PC|有最小值2.|PQ|的最小值为21.答案：218.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5; 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使该抛物线方程为y210x的条件是 (要求填写合适条件的序号).解析：抛物线y210x的焦点F，在x轴上，所以不适合，适合；当x1时，y，不妨
6、设A(1，)，则|FA| 6，所以不适合；通径长为2p10，所以不适合；由F，设B(2,1)，则kFB2，而kOB，所以kFBkOB1，所以适合.答案：三、解答题9.(2019福建三明期末)已知抛物线C：y22px(p0)上一点P(1，m)到焦点F的距离为2.(1)求实数p的值；(2)若直线l：xy10与抛物线C交于A，B两点，求|AB|.解：(1)抛物线焦点为F，准线方程为x，因为点P(1，m)到焦点F的距离为2，所以12，解得p2.(2)抛物线C的焦点坐标为(1,0)，满足直线l的方程xy10.故焦点F在直线l上.联立得x26x10.显然0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2
7、6，所以|AB|x1x2p628，即|AB|8.10.(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切.(1)若A在直线xy0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值，并说明理由.解：(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a).因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.由已知得|AO|2，又，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|MP|为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.