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1、2.3.2双曲线的简单几何性质(二)一、选择题1过双曲线x21的右焦点F作直线交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条 B2条C3条 D4条解析：当直线l的斜率不存在时，lx轴，又F(，0)，当x时，y2，此时|AB|4；当直线l的斜率存在时，有2条，这样的直线l有3条答案：C2(2018天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1解析：当xc时，y，不妨设A，B，双曲线的一条渐近线方程为yx，即bxay0.则d1，
2、d2，d1d22b6，b3，又e2，c2a.又c2a2b2，a23，双曲线方程为1.答案：A3若双曲线x2y21的左支上一点P(a，b)到直线yx的距离为，则ab的值为()A BC2 D2解析：根据题意得即点P(a，b)在双曲线的左支上，a0，且ab0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)解析：|PF1|2|PF2|，则|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，有ca2a，10，b0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y
3、2)，则两式作差，得.又因为直线AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29，得a24，b25，所以双曲线E的标准方程是1.答案：B二、填空题6已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为_解析：因为4，m,9成等比数列所以m236，m6，当m6时，y21为焦点在x轴上的椭圆，a，b1，c，所以离心率为e.当m6时，y21为焦点在y轴上的双曲线，a1，b，c，e，离心率为或.答案：或7双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_解析：设双曲线的一个焦点为F(c,0)，一条渐近线为bxay0，由题意得3，b3.又e ，12，2，a4，实轴
4、长等于8.答案：88若O为坐标原点，直线y2b与双曲线1(a0，b0)的左、右两支分别交于A，B两点，直线OA的斜率为1，则该双曲线的渐近线的方程为_解析：把y2b代入1，可得A(a,2b)因为直线OA的斜率为1，所以1，即得，故该双曲线的渐近线的方程为yx.答案：yx三、解答题9设双曲线C：y21(a0)，与直线xy1相交于不同两点A，B，试求双曲线离心率e的取值范围解：由C与l相交于不同的两点知方程组有两个不同的实数解，消去y，并整理得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a且a1.双曲线的离心率e .0a且a1，e且e.即离心率e的取值范围为(，)10已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(2,0)(1)求双曲线的方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M.若|2|，求直线l的方程解：(1)由题意可设，所求双曲线的方程为1(a0，b0)，2，c2，a1，b，所求双曲线的方程为x21.(2)直线l与y轴相交于点M且过焦点F(2,0)，l的斜率一定存在，设为k，则直线l：yk(x2)令x0，得M(0,2k)|2|且M，Q，F共线于直线l，2或2.设点Q(xQ，yQ)，当2时，xQ，yQk，Q.点Q在双曲线x21上，1，k；当2时，同理，求得Q(4，2k)，代入双曲线方程，得161，k.所求的直线l的方程为y(x2)或y(x2)