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1、2.4.2抛物线的简单几何性质(二)一、选择题1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是()A B2,2C1,1 D4,4解析：易知点Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，与y28x联立，消去x得关于y的方程ky28y16k0.当k0时，y0.直线与抛物线有一个交点；当k0时，令6464k20，得1k1且k0.综上知，1k1.答案：C2过抛物线y2ax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若PF与FQ的长分别为p，q，则等于()A2a BC4a D解析：由于方程y2ax(a0)具有一般性，所以可采用特例法假设PQ过点F，且垂
2、直x轴，则|PF|FQ|.即pq，.答案：D3在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax4y30 Bx4y30C4xy30 D4xy30解析：设两弦端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22，点A，B在抛物线y28x上，y8x1，y8x2，两式相减，得yy8(x1x2)，4，kAB4，直线AB的方程为y14(x1)，即4xy30.答案：C4设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A BC D解析：由y23x知，p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB：y.代入y23x，得4y212y90.设
3、A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23，y1y2，|y1y2|6.SOAB|OF|y1y2|6.答案：D5已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A BC2 D1解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案：D二、填空题6给定抛物线C：y24x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点若|
4、FA|2|BF|，则直线l的方程为_解析：解法一：显然直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l：yk(x1)(k0)，联立消去y，得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，故x1.又|FA|2|BF|，2，则x112(1x2)，由，得x2(x21舍去)，B，直线l的斜率kkBF2，直线l的方程为y2(x1)解法二：用结论1，1，|AF|3，|BF|，|AF|BF|，sin2， cos2， tan28，则k2.直线l：y2(x1)答案：y2(x1)7已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是_
5、解析：抛物线x24y的焦点为F(0,1)，准线为y1，由抛物线的定义，得|MF|等于M到准线的距离，所以|MA|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5115.答案：58.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点F恰好是椭圆1(ab0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则椭圆的离心率是_解析：由题意知，AB是抛物线y22px(p0)的通径，|AB|2p.A，又c，A(c,2c)将A点代入椭圆方程，得1，4a2c2a2b2b2c2b2(a2c2)b4，b22ac.又b2a2c2，a2c22ac，e22e10.解得e1或e1(舍去)答案：1三、解答题9(2019银川一中高二期中
6、)已知点A(2,8)在抛物线y22px(p0)上，直线l和抛物线交于B，C两点，焦点F是ABC的重心，M是BC的中点(不在x轴上)(1)求M点的坐标；(2)求直线l方程解：(1)由点A(2,8)在抛物线y22px上，有822p2，解得p16，所以抛物线方程为y232x，焦点F的坐标为(8,0)因为F(8,0)是ABC的重心，M是BC的中点，设点M的坐标为(x0，y0)，则.所以点M的坐标为(11，4)(2)由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在直线不垂直于x轴设BC所在直线的方程为y4k(x11)(k0)由消去x，得ky232y32(11k4)0，所以y1y2，由(2)的结论，得4，解得
7、k4.因此BC所在直线的方程为4xy400.即直线l的方程为4xy400.10已知定点F(1,0)，动点P(异于原点)在y轴上运动，连接FP，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且0，|.(1)求动点N的轨迹C的方程；(2)若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若4且4|AB|4，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)设动点N(x，y)，则M(x,0)，P(x0)，PMPF，kPMkPF1，即1，y24x(x0)即为所求(2)设直线l方程为ykxb，l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由4，得x1x2y1y24，即y1y24，y1y28，由可得ky24y4b0(其中k0)，y1y28，即b2k，y1y2，当1616kb16(12k2)0时，|AB|，又4|AB|4，1661630，630，解得k21，k.