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1、1 2019-2020年高考数学大题专题练习 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数22( )2sin2sin ()6f xxx， xR. （1）求函数( )yf x的对称中心；（2）已知在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a，b，c，且()262Bbcfa，ABC的外接圆半径为3，求ABC 周长的最大值 . 【解析】( )1cos21cos2()cos(2)cos263f xxxxx13cos2sin 2cos222xxx31sin 2cos2sin(2)226xxx. （1）令26xk（kZ），则212kx（kZ），所以函数( )yfx的对称中心为(,0)212kkZ；（2）由(
2、)262Bbcfa，得sin()62bcBa，即31sincos222bcBBa，整理得3 sincosaBaBbc，由正弦定理得：3 sinsinsincossinsinABABBC，化简得3 sinsinsincossinABBAB，又因为sin0B，所以3sincos1AA，即1sin()62A，由0A，得5666A，所以66A，即3A，又ABC的外接圆的半径为3，所以2 3 sin3aA，由余弦定理得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - -
3、 - - - - - - - 2 2222222cos()3abcbcAbcbcbcbc2223()()()44bcbcbc，即6bc，当且仅当bc时取等号，所以周长的最大值为9. 2.【河北衡水】 已知函数22 sincos2 cosfxaxxbxc0,0ab，满足02f，且当0,x时， fx 在6x取得最大值为52. （1）求函数 fx 在0,x的单调递增区间；（2）在锐角 ABC的三个角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且32fC，求222222abcabc的取值范围 . 【解析】（1）易得55sin 2366fxx，整体法求出单调递增区间为0,6，2,3；（2）易得3C，则由余弦定
4、理可得2222222222abcabababcab21baab，由正弦定理可得2sinsin3sinsinAbBaAA311,22tan22A，所以2222223,4abcabc. 3.【山东青岛】 已知向量1cos ,2axr，(3 sin ,cos 2 )bxxr， xR，设函数( )f xa brr. （1）求 f(x)的最小正周期；（2）求函数 f(x)的单调递减区间；（3）求 f(x)在0,2上的最大值和最小值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共
5、 16 页 - - - - - - - - - 3 【解析】1( )cos ,2f xx(3sin,cos2 )xx13 cos sincos22xxx31sin 2cos222xxcossin2sincos266xxsin26x. （1）( )f x的最小正周期为222T，即函数( )f x的最小正周期为. （2）函数sin(2)6yx单调递减区间：3222262kxk，kZ，得：536kxk，kZ，所以单调递减区间是5,36kk，kZ. （3）02x，52666x. 由正弦函数的性质，当262x，即3x时，( )f x取得最大值1. 当266x，即0 x时，1(0)2f，当5266x，即2
6、x时，122f，( )f x的最小值为12. 因此，( )f x在0,2上的最大值是1，最小值是12. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 4.【浙江余姚】已知函数)6cos(sinsin)(2xxxxf. （1）求函数 f(x)的最小正周期；（2）求 f(x)在2,0上的最大值和最小值【解析】（1）由题意得6cossinsin)(2xxxxf)sin21cos23(sinsin2xxxxxxxcossin23
7、sin232xx2sin43)2cos1 (4343)2cos232sin21(23xx43)32sin(23x)(xf的最小正周期为（2）2,0 x，32323x当332x，即0 x时，0)(minxf；当232x，即125x时，4332)(maxxf综上，得0 x时，)(xf取得最小值，为0；当125x时，)(xf取得最大值，为4332名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 5 5.【山东青岛】 ABC 的内角 A
8、，B，C 的对边分别为a，b，c，已知3cos3bAac（1）求 cosB；（2）如图， D 为ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中，2DB，且1AD，3CD，6BC，求 AB 的长【解析】解：（ 1）在ABC中，由正弦定理得3sincossinsin3BAAC，又()CAB，所以3sincossinsin()3BAAAB，故3sincossinsincoscossin3BAAABAB，所以3sincossin3ABA，又(0,)A，所以sin0A，故3cos3B（2）2DBQ，21cos2cos13DB又在ACD中，1AD，3CD由余弦定理可得22212cos192 3()123ACAD
9、CDAD CDD，2 3AC，在ABC中，6BC，2 3AC，3cos3B，由余弦定理可得2222cosACABBCAB BCB，即23126263ABAB，化简得22 260ABAB，解得3 2AB故AB的长为3 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 6. 【 江 苏 泰 州 】 如 图 ， 在 ABC 中 ，2ABC，3ACB，1BC.P是ABC 内一点，且2BPC. （1）若6ABP，求线段 AP的长度；
10、（2）若23APB，求ABP的面积 . 【解析】（1）因为6PBC，所以在Rt PBC中，2BPC，1BC，3PBC，所以12PB，在APB中，6ABP，12BP，3AB，所以2222cosAPABBPAB BPPBA11373234224，所以72AP；（2）设PBA，则PCB，在Rt PBC中，2BPC，1BC，PCB，所以sinPB，在APB中，ABP，sinBP，3AB，23APB，由正弦定理得：sin31sin22sinsin3331cossin223sincos2，又2223sincos1sin71sin2ABPSAB BPABP213 33 sin214. 8.【辽宁抚顺】 已知
11、向量m14,xsin，n34,xcos，xfmn（1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 （2）令6xfxh，求 h(x)的单调递减区间；（3）若m/n，求 f(x)的值【解析】（1）xfnm344xcosxsin3222134221xsinxsin1cos232x所以xf的最小正周期T，对称轴为Zkkx,2对称中心为Zkk,3,24（2）3
12、32216xcosxfxh令Zkkxk,2322得Zk ,kxk63所以xh的单调减区间为Zk ,k,k63（3）若 m / n ，则3sincos44xx即314xtan2tanx1cos232fxx221sincos32xx22221 sincos32 sincosxxxx103331tan1tan2122xx9.【辽宁抚顺】已知函数12322xcosxcosxsinxf，Rx（1）求函数xf的最小正周期及在区间20,上的最大值和最小值；（2）若560 xf，x024,，求 cos 2x0的值【解析】（1）由 f(x)23sin xcos x2cos2x1，名师资料总结 - - -精品资料
13、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8 得 f(x)3 (2sin xcos x) (2cos2x1) 3sin 2xcos 2x2sin62x，所以函数f(x)的最小正周期为162216762620 xsin,x,x所以函数f(x)在区间20,上的最大值为2，最小值为 1 （2）由（1）可知 f(x0)2sin620 x又因为 f(x0)65，所以 sin620 x35. 由 x024,，得 2x066732,从而 cos620 x62102x
14、sin45所以 cos 2x0cos6620 xcos620 xcos6sin620 xsin634 31010.【广西桂林】 已知24sinsin42xfxxcossincossin1xxxx. （1）求函数 fx 的最小正周期；（2）常数0，若函数 yfx 在区间2,23上是增函数，求的取值范围；（3）若函数12122g xfxafxafxa在,42的最大值为2，求实数的值. 【解析】（1）222 1 cossincossin12fxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
15、 - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 9 222sinsin12sin12sinxxxx. 2T. （2）2sinfxx. 由2222kxk得22,22kkxkZ，fx的递增区间为22,22kkkZfx在2,23上是增函数，当0k时，有2,2322. 0,222,23解得304的取值范围是30,4. （3）1sin 2sincos12g xxaxaxa. 令sincosxxt，则2sin 21xt. 22111122ytatatata221242aata. sincos2 sin4txxx，由42x得244x，21t. 当22a，即2 2a时，在2t处max122
16、2ya. 由12222a，解得882 212 272 21a（舍去 ). 当212a，即222a时，2max142aya，由21242aa得2280aa解得2a或4a（舍去） . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1 0当12a，即2a时，在1t处max12ay，由122a得6a. 综上，2a或6a为所求 . 11.【江苏无锡】 如图所示， ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰
17、60CACB米，2cos3CAB.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点 E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 . （1）若水上观光通道的端点E 为线段 AC 的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道EF 的长度最短？并求出其最短长度. 【解析】（1）在等腰ABC中，过点C作CHAB于H，在Rt ACH中，由cosAHCABAC，即2603AH，40AH，80AB，三角形AEF和四边形BCEF的周长相等 . AEAFEFC
18、EBCBFEF，即606080AEAFAEAF，100AEAF. E为线段AC的三等分点（靠近点C）， 40AE，60AF，在AEF中，2222222cos40602 40 602003EFAEAFAE AFCAB，200020 5EF米. 即水上观光通道EF的长度为205米. （2）由（ 1）知，100AEAF，设AEx，AFy，在AEF中，由余弦定理，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1 1得2222224
19、102cos33EFxyx yCABxyxyxyxy. 22502xyxy，2222102100505033EF. 5063EF，当且仅当xy取得等号，所以，当50AE米时，水上观光通道EF的长度取得最小值，最小值为5063米. 12.【江苏苏州】 如图，长方形材料ABCD 中，已知2 3AB，4AD.点 P为 材 料 ABCD 内 部 一点 ，PEAB于E，PFAD于F，且1PE，3PF. 现要 在 长 方 形 材 料 ABCD 中裁 剪 出 四 边 形材 料 AMPN， 满足150MPN，点 M、N 分别在边 AB，AD 上. （1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并
20、指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积 S最小，并求出其最小值 . 【解析】（1）在直角NFP中，因为3PF，FPN，所以3tanNF，所以1113tan322NAPSNA PF，在直角MEP中，因为1PE，3EPM，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1 2所以tan3ME，所以113tan1223AMPSAMPE，所以NAPAMPSSS31tantan3223，
21、0,3. （2）因为31tantan3223S33tantan322 13 tan，令13tant，由0,3，得1,4t，所以234434332332 3ttSttt343322333tt，当且仅当2 33t时，即23tan3时等号成立，此时，2 33AN，min323S，答：当2 33AN时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为323. 13.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC，ABAD，AB=1. （1）若3AB BCuuu r uuu rg，求ABC的面积；（2）若22BC，5AD，求 CD 的长度 . 【解析】（1）因为3AB BCuuu r uuu rg，所
22、以3BA BCuuu r uuu rg，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1 3即cos3BABCABCuu u ruuu r，又因为34ABC，1AB，所以31cos34BCuuu r，则3 2BCuuu r，所以13sin22ABCSABBCABCuuu ruuu r. （2）在ABC中，由余弦定理得：22232cos4ACABBCAB BC2182 12 2132，解得：13AC，在ABC中，由正弦定理得
23、：sinsinACBCABCBAC，即2 13sin13BAC，所以2 13coscossin213CADBACBAC，在ACD中，由余弦定理得：2222cosCDADACAD ACCAD，即3 2CD . 14.【山东栖霞】已知函数sinfxAx0,0,22A的部分图象如图所示， B，C 分别是图象的最低点和最高点，244BC. （1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数yfx的图象向左平移3个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数yg x的图象，求函数2ygx的单调递增区间. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
24、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1 4【解析】（1）由图象可得：35()4123T，所以( )f x的周期T. 于是2，得2，又12BA，512CA，2224424BCA1A，又将5(,1)12C代入( )sin(2)f xx得，5sin(2)112，所以52=2122k，即=2()3kkR，由22得，3，( )sin(2)3f xx. （2）将函数( )yf x的图象沿x轴方向向左平移3个单位长度，得到的图象对应的解析式为：sin(2)3yx，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2
25、 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为( )sin()3g xx，222cos(2)13( )sin ()322xygxx由22223kxk，kZ得,36kxk，kZ, 函数2( )ygx的单调递增区间为,()36kkkZ. 15.【山东滕州】 已知函数( )sin()fxAx(0,0,)2A的部分图象如图所示 . （1）求函数( )f x的解析式；（2）把函数( )yf x图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14
26、页，共 16 页 - - - - - - - - - 1 5向左平移6个单位，得到函数( )yg x的图象，求关于x的方程( )(02)g xmm在11,33x时所有的实数根之和 . 【解析】（1）由图象知，函数( )f x的周期T，故22T. 点(,)6A在函数图象上，sin(2)6AA，sin()13，解得：232k，kZ，即26k，kZ，又2，从而6. 点(0,1)在函数图象上，可得：sin(20)16A，2A. 故函数( )f x的解析式为：( )2sin(2)6f xx. （2）依题意，得( )2sin()3g xx. ( )2sin()3g xx的周期T，( )2sin()3g x
27、x在11,33x内有2个周期 . 令32xk，kZ，解得6xk，kZ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1 6即函数( )2sin()3g xx的对称轴为6xk，kZ. 又11,33x，则0,43x，所以( )(02)g xmm在11,33x内有4个实根，不妨从小到大依次设为(1,2,3, 4)ix i. 则1226xx，341326xx，故( )(02)g xmm在11,33x时所有的实数根之和为：1234143xxxx.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -