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1、数学科三角函数大题第 1 页 共 13 页2019 年高考三角函数大题专项练习集（一）1.在平面四边形ABCD 中， ADC=90 ，A=45 ，AB=2，BD=5（1）求 cosADB ；（2）若 DC=22，求 BC2.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 c=2 且 ccosA+bcosC=b. （1）判断 ABC 的形状；（2）若 C=6，求 ABC 的面积 . 3.在ABC 中，角,A B C的对边分别为, ,a b c，且2coscosabCcB. （1）求角C的大小；（2）若2c， ABC 的面积为3，求该三角形的周长. 4.ABC的内角,A B C的对边
2、分别为, ,a b c.已知sinsinsinabAcCbB（1）求C；（2）若ABC的周长为6，求ABC的面积的最大值5.ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c,已解sin()sinsinabABcbAB（1）求角A；（2）若3a，1cb，求b和c的值6.已知函数2sincos3 cos222xxxfx（1）求fx的最小正周期；（2）求fx在区间,0上的最大值和最小值7.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是a、b、c，且3 cos23cosaCbcA. （1）求角 A 的大小；（2）若 a=2，求 ABC 面积的最大值 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -
3、 - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 2 页 共 13 页8.在锐角 ABC 中，角,A B C的对边分别为, ,a b c，BC边上的中线ADm，且满足2224abcm. （1）求BAC的大小；（2）若2a，求ABC的周长的取值范围. 9.)2cos2,cos1(),2sin2,cos1(xxbxxa已知. （1）若241sin2)(baxxf,求)(xf的表达式；（2）若函数)(xf和函数)(xg的图象关于原点对称，求函数
4、)(xg的解析式；（3）若1)()()(xfxgxh在2,2上是增函数，求实数的取值范围 . 10.已知( 3sin ,cos )ax mxr，(cos ,cos )bxmxr, 且( )fxa bv vg（1）求函数( )f x的解析式 ; （2）当,63x时 , ( )f x的最小值是4 , 求此时函数( )f x的最大值 , 并求出相应的x的值 . 11.ABC 的内角为A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知cossinsincosabcCBBC（1）求sinsincoscosABAAAB的最大值；（2）若2b，当 ABC 的面积最大时，ABC 的周长；12.如图 ,某大型景区有两条直
5、线型观光路线AE，AF,120EAF ,点D位于EAF的平分线上，且与顶点A相距 1公里 .现准备过点D安装一直线型隔离网BC(,B C分别在AE和AF上)，围出三角形区域ABC，且AB和AC都不超过5公里 .设ABx，ACy(单位：公里 ). （1）求, x y的关系式；（2）景区需要对两个三角形区域ABD，ACD进行绿化 .经测算，ABD区城每平方公里的绿化费用是ACD区域的两倍，试确定, x y的值 ,使得所需的总费用最少. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -
6、 - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 3 页 共 13 页13.已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，sinA=2sinC，2b=3c. （1）cosC；（2）若 B 的平分线交AC 于点 D，且 ABC 的面积为3 154，求 BD 的长 . 14.已知函数22( )sin2sincos3cosf xxxxx，xR.求: （1）函数( )f x的最小值和图像对称中心的坐标；（2）函数( )f x的单调增区间15.已知函数( )2cos(sincos )1f xxxxxR，（1）求函数( )f x的单调递增区间；（2
7、）将函数( )yf x的图象向左平移4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数( )yg x的图象，求( )g x的最大值及取得最大值时的x的集合16.在ABC 中， A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且CbcBcbAasin2sin2sin2. （1）求角 A 的大小；（2）若10a，552cosB，D 为 AC 的中点，求BD 的长17.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a， b，c，已知3cos3bAac（1）求cosB；（2）如图， D 为ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，2DB，且1AD，3CD，6BC，求 AB 的长名师归纳总结
8、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 4 页 共 13 页【试卷答案 】1.解：（ 1）在ABD中，由正弦定理得sinsinBDABAADB. 由题设知，52sin 45sinADB，所以2sin5ADB. 由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB. （2）由题设及（1）知，2cossin5BDCADB. 在BCD中，由余弦定理得2222cosBCBDDCBD DCBDC225
9、82 522525. 所以5BC. 2.（）因为coscoscAbCb，由正弦定理，得sincossin1cosCABC，即sinsincossincosBCABCsinsincoscossinACACAC，4 分所以sincossincosBCAC，故cos0C或sinsinAB5 分当cos0C时，2C，故ABC为直角三角形；当sinsinAB时，AB，故ABC为等腰三角形7 分（）由（）知2c，AB，则ab， 9 分因为6C，所以由余弦定理，得22242cos6aaa，解得284 3a，12分所以ABC的面积21sin2326Sa 14分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -
10、 - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 5 页 共 13 页3.（1）在 ABC中，由正弦定理知sinsinsinabcABCR2又因为2coscosabCcB所以2sinsincosAcosCBcosCBsinC，即2sin cossinACA 4 分A0, 0sin A1cos2C 6 分0C3C 8 分（2）1sin32ABCSabC4ab 10 分又222223cababcosCabab216ab4ab周长为6. 14
11、分4.【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等【试题简析】解：（）由正弦定理结合已知条件可得22a abcb， . 2 分所以222abcab， . 3 分所以2221cos222abcabCabab， . 5 分又0C，所以3C. 6 分（）由（）可得222abcab，所以22223cabababab， . 7 分又6abc，所以6cab，2263ababab，所以124abab， . 8 分又2abab，所以1224ababab， . 9 分名师归纳总结 精品学习
12、资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 6 页 共 13 页260abab，所以04ab或36ab（不合，舍去），. . 10 分所以13sin324ABCSabCabV， . 11 分当且仅当2ab时等号成立，所以ABC的面积的最大值为3 . 12 分【变式题源】（2016 全国卷理17）ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，已知cAbBaC)coscos(cos2（）求C；（）若7c，ABC的
13、面积为233，求ABC的周长5.【命题意图】本小题主要考查正弦定理, 余弦定理等式等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考査数学抽象，数学运算等. 【试题简析】（）ABC，sin()sinABC，sinsinsinabCcbAB由正弦定理有：sinsinsinabCccbABab，abccbab，因此有：222abcbc，由余弦定理得2221cos22bcaAbc，(0,)C3C，（）解法一：由（1）可得222,3,1,abcbcacb得2222312bcbcbcbc，解得： :112bc. 解法二：由（）得abccbab, 又因为3a，1cb；所以22abc，
14、则有23bc，由23,1,bccb, 得：220bb，解得1b，2c. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 7 页 共 13 页6.解：（） 因为2sincos3 cos222xxxfx2sincos223 cos2xxx33cos21si2n2xx3sin+32x 4 分所以fx的最小正周期2 .T 6 分（） 因为,0 x，所以2+,333x. 所以当33x，即0 x时，
15、函数)(xf取得最大值3sin+3.32当32x，即56x时，函数)(xf取得最小值31+.2所以fx在区间,0上的最大值和最小值分别为3和31+.2 13分7.（1）由正弦定理可得：3 sincos2sincos3sincosACBACA. 从而可得：3sin2sincosACBA，即3 sin2sincosBBA又B为三角形内角，所以sin0B，于是3cos2A，又A为三角形内角，所以6A. （2）由余弦定理：2222cosabcbcA得：22342232bcbcbcbc，所以如4 23bc，所以1sin232ABCSbcA，ABC面积的最大值为23. 名师归纳总结 精品学习资料 - -
16、- - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 8 页 共 13 页8.（1）在ABD中，由余弦定理得：2221cos4cmamaADB， 在ACD中，由余弦定理得：2221cos4bmamaADC， 因为ADBADC，所以coscos0ADBADC，+得：2222122bcma， 4 分即2222111224mbca， 代入已知条件2224abcm，得2222222abcbca，即222bcabc， 6 分2221cos
17、22bcaBACbc，又0A，所以3BAC. 8 分（2）在ABC中由正弦定理得sinsinsin3abcBC，又2a，所以4 3sin3bB，4 34 32sinsin333cCB，4 34 32sinsin4sin2336abcBCB， 10 分ABC为锐角三角形，3BAC2020CB,62B 12 分32,36B，3sin,162BABC周长的取值范围为22 3,6 16 分9.（1）22)2cos2(sin4cos441sin2)(xxxxxf（1 分）xxxxxsin2sinsin1cossin222（3 分）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -
18、 - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 9 页 共 13 页（2）设函数)(xfy的图象上任一点00, yxM关于原点的对称点为yxN,，则yyxx00,，（ 4 分）点M在函数)(xfy的图象上),sin(2)(sin2xxy即xxxgsin2sin)(2（7 分）（3）)11( ,1sin)1(2sin)1()(2txxxh则有)11( , 1)1(2)1()(2tttth（8 分）当1时，14)(tth在1 , 1上是增函数，1（ 9 分）当1时
19、，)(th的对称轴为11t. （）当1时，111，解得1；（ 10 分）（）当1时，111，解得01. （11 分）综上可知，0. （12 分）10.(1) ( )( 3 sin,cos ) (cos ,cos )fxa bx mxxmxv vgg即22( )3 sincoscosf xxxxm (2) 23 sin 21cos2( )22xxf xm21sin(2)62xm由,63x, 52,666x, 1sin(2),162x, 211422m, 2mmax11( )1222f x, 此时262x, 6x. 11.（1）由cossinsincosabcCBBC得：cossincossins
20、incosabCcBCBBC，cossinabCcB，即sinsincossinsinABCCB，cossinBB，4B；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 10 页 共 13 页由sinsincoscos2 sincossincosABAAABAAAA，令sincostAA，原式211222tt，当且仅当4A时，上式的最大值为52（2）22212sin,b2cos24Sac
21、BacacacB，即222222,22acacac ac，当且仅当22ac等号成立；212MAXS，周长2 222Labc12.【命题意图】本题考查本题考查解三角形、三角形面积公式、基本不等式等基础知识；考查应用意识、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学抽象，数据处理等 . 【试题简析】( ) 解法一：由题意得ABCADCABDSSS，故111sinsinsin222AC ABBACAC ADDACAD ABBAD，即111sin120sin 60sin 60222xyyx，所以xyyx ( 其中05,05xy). 解法二：在ACD中，由余弦定理得：222212 cos6
22、021CDyyy，则21CDyy，同理可得21BDxx，在ACD中，由正弦定理得：21sinsin60yyyADC，在ABD中，由正弦定理得：21sinsin60 xxxADB，因为sinsinADCADB，两式相除可得2211yxxxyy，化简得xyyx ( 其中05x，05y). ( ) 设ACD区域每平方公里的绿化费用为t (t为常数 ) ，两区域总费用为P，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - -
23、 - 数学科三角函数大题第 11 页 共 13 页则有113sin 602sin 60(2)224Pxtyttxy，记2uxy，由 ( ) 可知xyyx，即111xy，则11222(2)()3232 23yxyxuxyxyxyxyx y，当且仅当2yxxy，即2yxxyxyyx，解得21,212,xy此时等号成立. 答：当212x，12y ( 单位：公里 ) 时, 所需的总费用最少. 13.解:（1）因为sin2sinAC，所以2ac. 于是，2222223272cos328222cccabcCabcc. （2）由7cos8C可得15sin8C. 设ABC的面积为S，113153 15sin2
24、22284SabCcc，24,2cc.则4,3ab. BD为B的平分线，2aCDcAD，2CDAD. 又3CDAD.21CDAD,. 在BCD中,由余弦定理可得22274224268BD，6BD.14.1cos23(1cos2 )( )sin 21sin 2cos222 sin(2)224xxf xxxxx当2242xk, 即3()8xkkZ时, ( )fx取得最小值22. 6 分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - -
25、 - - - - - 数学科三角函数大题第 12 页 共 13 页函数( )f x图像的对称中心坐标为,228kkZ. 8分（2）( )22 sin(2)4f xx由题意得 : 222()242kxkkZ即: 3()88kxkkZ因此函数( )f x的单调增区间为3,()88kkkZ 12 分15.(1) 略；（ 2）2， xx=/4+2k k z16.解(1)因为2asin A(2b c)sin B(2cb) sin C，由正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，整理得2a22b22c22bc，由余弦定理得cos Abcacb2222bcbc2222，因为 A(0，)，所以 A4. (2)
26、由 cos B552，得 sin BB2cos154155，所以 cos C cos (AB) cos(AB) (552255222)1010，由正弦定理得bABasinsin225510 2，所以 CD21AC1，在BCD 中，由余弦定理得BD2 (10)2122 110 (1010)13，所以 BD13. 17.解：（ 1）在ABC中，由正弦定理得3sincossinsin3BAAC，又()CAB，所以3sincossinsin()3BAAAB，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -
27、- - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 数学科三角函数大题第 13 页 共 13 页故3sincossinsincoscossin3BAAABAB，4分所以3sincossin3ABA，又(0,)A，所以sin0A，故3cos3B6分（2）2DBQ，21cos2cos13DB7分又在ACD中，1AD，3CD由余弦定理可得22212cos192 3 ()123ACADCDAD CDD，2 3AC， 9分在ABC中，6BC，2 3AC，3cos3B，由余弦定理可得2222cosACABBCAB BCB，即23126263ABAB，化简得22 260ABAB，解得3 2AB故AB的长为3 212分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -