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1、优秀学习资料欢迎下载25、如图 10，正方形ABCD边长为 1，G 为 CD 边上的一个动点（点G 与 C、D 不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF ，连接 DE交 BG的延长线于点H。（1）求证：BCG DCE ； BHDE。（2）当点 G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE？请说明理由。23、 （2011 山东临沂 )如图 1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形 ABCD的顶点 A重合，三角板的一边交 CD于点 F，另一边交 CB的延长线于点 G（1）求证： EF EG ；（2）如图 2，移动三角板，使顶点E始终在正方形 ABCD 的对角线 A
2、C上，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；24. （ 2010 莱 芜 ） 在 ABCD中，AC 、BD交于点 O，过点 O作直线 EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结 EG 、GF 、FH、HE . （1）如图，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图，当 EF GH时，四边形 EGFH的形状是；（3）如图，在（ 2）的条件下，若 AC =BD，四边形 EGFH的形状是；（4）如图，在（3）的条件下，若ACBD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由 . 25、 （湖北荆洲）将两块全等的含30角的三角尺如图
3、1 摆放在一起，设较短直角边长为 3（1）四边形 ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由。（2） 如图 2， 将 RtBCD沿射线 BD方向平移到 RtB1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由。（3）在 RtBCD沿射线 BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形 ABC1D1为矩形？当点 B的移动距离为多少时，四边形 ABC1D1为菱形？HGFEODCBA图HGFEODCBA图ABCDOEFGH图ABCDOEFGH图（第 23 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18
4、页优秀学习资料欢迎下载24、已知 ABC中， BD 、 CE为高， H、F 分别为 ED 、BC的中点。问： HF与 ED有怎样的位置关系？并证明你的结论。2、已知：如图，在ABCD 中， E、F分别为边AB、CD的中点， BD 是对角线， AGDB 交 CB的延长线于G （1）求证： ADE CBF ； （2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论3、如图 131，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边 EF的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转（1）如图 132
5、，当 EF与 AB相交于点M，GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM，FN 的长度，猜想BM， FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（ 2）若三角尺GEF旋转到如图133 所示的位置时， 线段 FE的延长线与AB的延长线相交于点 M，线段 BD的延长线与GF 的延长线相交于点N，此时， （1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由8、如图，一架长4 米的梯子AB斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角 为60求 AO 与 BO 的长图 132 EABD GFOMNC 图 131A( G ) B( E ) CO D( F ) 图 133ABDGEFOM
6、NC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载若梯子顶端A 沿 NO 下滑，同时底端B 沿 OM 向右滑行 . 如图 2，设 A点下滑到C 点， B 点向右滑行到D 点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿 NO 下滑多少米；如图，当A 点下滑到A 点， B点向右滑行到B 点时，梯子AB 的中点 P也随之运动到 P 点若 POP 15，试求 AA 的长解析 AOBRt中, O=90, =60, OAB=30，又 4 米，3 （重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为 2 的等边 O
7、AB的顶点 B在第一象限， 顶点 A 在 x 轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点 C在第四象限，OCAC， C120 现有两动点P，Q 分别从A，O 两点同时出发，点Q 以每秒 1 个单位的速度沿OC向点 C 运动，点 P以每秒 3 个单位的速度沿 AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的OPQ的面积 S与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边 OAB的边上（点A 除外）存在点D，使得 OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图，现有MCN60 ，其两边分别与OB，AB交于点 M， N，连接 M
8、N将 MCN绕着 C点旋转（ 0 旋转角 60 ） ，使得 M，N 始终在边OB 和边 AB 上试判断在这一过程中， BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由A Q C B P Ox y 图A M C B N Ox y 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载5 （安徽省）如图，已知ABC A1B1C1，相似比为k（ k1） ，且 ABC的三边长分别为a、b、c（abc） ， A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1（1）若 ca1，求证： akc；（2）若 ca
9、1，试给出符合条件的一对ABC和 A1B1C1，使得 a、b、 c和 a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若 ba1，cb1，是否存在ABC和 A1B1C1，使得 k2？请说明理由8 （安徽省蚌埠二中自主招生）如图1、2 是两个相似比为1:2 的等腰直角三角形，将两个三角形如图3 放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合（1）在图 3 中，绕点 D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点 E 、F，如图 4求证： AE2BF2EF2；（2）若在图3 中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点 E、F，如图 5，此时结论AE2BF2EF2
10、是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图，在正方形ABCD中， E、F分别是边BC、CD上的点，满足CEF的周长等于正方形 ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD 交于 M、N，试问线段BM、MN、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由；9 （河南省）B C A A1abc B1C1a1b1c1B 图 2 A C B 图 3 A C D D 图 1 B 图 4 A C D E F B 图 5 A C D E F B A C D E F M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
11、 - - - - -第 4 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（1）操作发现如图， 矩形 ABCD中，E是 AD 的中点， 将 ABE沿 BE折叠后得到GBE ，且点 G 在矩形 ABCD内部小明将BG延长交 DC于点 F，认为 GFDF，你同意吗？说明理由（2）问题解决保持（ 1）中的条件不变，若DC 2DF，求ABAD的值；（3）类比探究保持（ 1）中的条件不变，若DC nDF，求ABAD的值3. 已知矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA、不重合），现将POC沿PC翻折得到PEC，再在AB边上选取适
12、当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直线PEPF、重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点PCD、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部， 如图， 设OPxADy，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下， 过点PCD、三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标30. 如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CMC EEO，再以CM、CO为边作矩形CMNO（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由（2）令
13、CFGHCMNOSmS四边形四边形，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由（ 3） 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 若113COCEQ，为AE上 一 点 且23QF， 抛 物 线2ymxbxc经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式G B C E F A D C y E B F D A P x O 图A B D F E C O P x y 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载y x A N O M C H G F B Q E （4）在（ 3）的条件下，若抛物线2ymxbxc与
14、线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由【例】如图 10，平行四边形 ABCD 中，AB 5，BC 10，BC边上的高 AM =4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合） 过 E作直线 AB的垂线，垂足为FFE与DC的延长线相交于点G ，连结 DE ，DF 。（1）求证： BEF CEG （2）当点 E在线段 BC上运动时， BEF和CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设 BE x，DEF的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时，
15、 y 有最大值，最大值是多少？【例 8】如图，在矩形ABCD中，9AB，3 3AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折， 点C的对应点是R点， 设CP的长度为 x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；（2）当 x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与 x之间的函数关系式；图 10 MBDCEFGxA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载P C G F B Q A D E 当 x取何
16、值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？4、如图，分别以 ABC的 AC和 BC为一边， 在 ABC的外侧作正方形ACDE和正方形 CBFG ，点 P是 EF的中点求证：点P到边 AB的距离等于AB 的一半（初二）4、平行四边形ABCD中，设 E、F分别是 BC、AB 上的一点， AE与 CF相交于 P，且AECF 求证： DPA DPC （初二）（2012 东城二模24.） 已知：等边ABC中，点O 是边 AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N分别在直线AC, BC 上，且60MON(1)如图 1，当 CM=CN 时， M、N 分别在边AC、BC 上时，请写出AM、CN 、MN 三者之间的
17、数量关系；（ 2）如图 2，当 CMCN 时， M、N 分别在边AC、BC 上时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图 3， 当点 M 在边 AC 上， 点 N 在 BC 的延长线上时， 请直接写出线段AM、 CN 、MN 三者之间的数量关系D Q C B P R A B A D C （备用图 1）B A D C （备用图2）F P D E C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（2012 丰台二模24.） 在 ABC 中， D 为 BC
18、 边的中点，在三角形内部取一点P，使得ABP=ACP 过点 P作 PE AC于点 E ，PF AB于点 F（1）如图 1，当 AB=AC时，判断的DE与 DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图 2，当 ABAC，其它条件不变时， （ 1）中的结论是否发生改变？请说明理由图 1 图 2 （2012 密云二模25.） 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为1，60ADC， 等 边 AEF 两 边分 别 交 DC、 CB 于 点 E、 F（1）特殊发现：如图1，若点E、F 分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD 的交点 O 即为等边 AEF的外心；（ 2）若点 E、
19、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为P猜想验证：如图2，猜想 AEF的外心 P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当 E、F 分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA 边 于 点M ， BC 边 于 点G， DC 边 的 延 长 线 于 点N， 请 你 直 接 写 出11DMDN的值（2012 平谷二模24.）如图 1，若四边形ABCD 、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE ，AGCE（1）当正方形GFED绕 D 旋转到如图2 的位置时， AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，AEFPBDCCEBADFP精选学习资料 - - - - - - -
20、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕 D 旋转到 B，D，G 在一条直线（如图 3）上时，连结CE ，设 CE分别交 AG、AD 于 P、H 求证： AGCE ； 如果 AD=4， DG=2，求 CE的长（2012 昌平二模25.）如图，在RtABC中， ABC=90，过点B 作 BDAC 于 D，BE平分 DBC，交 AC于 E，过点 A 作 AF BE于 G，交 BC于 F，交 BD于 H（1）若 BAC=45，求证：AF平分 BAC； FC =2HD（2）若 BAC=30，请直接写出F
21、C与 HD 的等量关系（2012 朝阳二模24.） 如图， D 是ABC中 AB 边的中点， BCE和ACF都是等边三角形，M、N 分别是 CE 、 CF的中点 . （1）求证： DMN 是等边三角形；（2）连接 EF，Q 是 EF中点， CP EF于点 P. 求证： DPDQ. 同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将 NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位
22、置. A B C D E F G 图 2 A B C D E F G 图 1 PHACDBGEF图 3 GABDEFHCHGEDCFBANMDEFABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（2012 海淀二模25.）在矩形 ABCD中, 点 F在 AD 延长线上，且DF= DC, M 为 AB 边上一点 , N为 MD 的中点, 点 E在直线 CF上（点 E、C 不重合） . （1）如图 1, 若 AB=BC, 点 M、A 重合 , E为 CF的中点，试探究BN 与 NE的位置关系及BMCE的值
23、, 并证明你的结论; （2）如图 2，且若 AB=BC, 点 M、A 不重合 , BN=NE，你在（ 1）中得到的两个结论是否成立 , 若成立 ,加以证明 ; 若不成立 , 请说明理由 ; （3）如图 3，若点 M、A 不重合， BN=NE，你在（ 1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论. （2012 西城二模24.）如图，在 Rt ABC中， C=90 ，AC=6，BC=8动点 P从点 A 开始沿折线 ACCB BA 运动，点P在 AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位直线l 从与 AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持
24、 lAC，且分别与CB，AB边交于 E，F两点，点P与直线 l 同时出发，设运动的时间为 t 秒，当点P第一次回到点A 时，点 P和直线 l 同时停止运动(1)当 t = 5 秒时，点P走过的路径长为；当 t = 秒时，点P与点 E重合；(2)当点 P 在 AC 边上运动时，将PEF绕点 E逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在 EF上，点 F的对应点记为点N，当 ENAB 时，求 t 的值；(3)当点 P在折线 ACCBBA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q在点 P与直线 l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t 的值（2012 门头沟二模24.） 有两张完全
25、重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90后得到矩形AMEF（如图 1） ，连结 BD、MF，此时他测得BD8cm， ADB30 （1）在图 1 中，请你判断直线FM 和 BD 是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将BCD与MEF 剪去，与小亮同学继续探究他们将 ABD绕点 A顺FA(M) DNDACEDNMBFECBFNMECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载时针旋转得 AB1D1，AD1交 FM 于点 K （如图 2） ，设旋转角为 （0 90 ） ，当 AFK为等
26、腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；（3）若将 AFM 沿 AB 方向平移得到 A2F2M2（如图 3） ，F2M2与 AD 交于点P，A2M2与 BD交于点 N，当 NPAB时，求平移的距离是多少. 6.如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF. (1)证明：B，D，H，E四点共圆；(2)证明：CE平分DEF. （2010浙江温州） 24( 本题 l4 分) 如图，在 RtAABC中， ACB=90 ， AC=3 ，BC=4 ，过点 B作射线 BBlAC 动点 D从点 A出发沿射线AC方向以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E从点 C 出发沿射线AC方
27、向以每秒3 个单位的速度运动过点D作 DH AB于 H，过点 E作 EF上 AC交射线 BB1于 F，G是 EF中点，连结DG 设点 D运动的时间为t 秒(1) 当 t 为何值时， AD=AB ，并求出此时DE的长度；(2) 当DEG与ACB相似时，求t 的值；(3) 以 DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为AC当 t53时，连结CC，设四边形ACC A 的面积为S，求 S关于 t 的函数关系式；当线段A C 与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围 ( 写出答案即可) C D M A B F E 图 1 D M A B F 图 3 N F2P A2M2D M A B F D
28、1图 2 B1K 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载【例 1】 （重庆綦江）如图，等边ABC中， AO是 BAC的角平分线， D 为 AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边 CDE ，连接 BE （1）求证： ACD BCE ；（2）延长 BE至 Q ，P为 BQ上一点，连接CP 、 CQ使 CP=CQ=5 ，若 BC=8时，求 PQ的长【思路点拨】 （1）证 ACD BCE 。 （2）过点 C作 CHBQ于 H，求得 DAC=30 ，再求PQ的长。【例 2】 （山东济南）如图，点C为线段
29、 AB上任意一点 ( 不与点 A、B重合 ) ，分别以 AC 、BC为一腰在AB的同侧作等腰 ACD 和BCE ， CACD ，CB CE ，ACD与BCE都是锐角，且ACDBCE ，连接AE交 CD于点M ， 连接 BD交 CE于点 N，AE与 BD交于点 P，连接 CP (1)求证：ACE DCB ；(2)请 你 判 断ACM与DPM的形状有何关系并说明理由；(3) 求证： APC BPC 【思路点拨】 （3）由 (1) 可得 CAE CDB ，从 而点 A、C、P、D四点共圆，可得APC ADC ， 再证明 BPC BEC ，即可。【例 4】 （上海） 在 RtABC中，ACB 90，
30、BC 30，AB50点 P是 AB边上任意一点，直线 PE AB ，与边AC或 BC相交于 E点 M在线段 AP上，点 N 在线段 BP上， EM EN ，12sinEMP13（1）如图 1，当点 E与点 C重合时，求CM的长；（2）如图 2，当点 E在边 AC上时， 点 E不与点 A、C重合， 设 AP x，BN y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若 AME ENB （AME 的顶点 A、M 、E 分别与 ENB的顶点 E、N、B 对应） ，求 AP的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页优秀
31、学习资料欢迎下载【思路点拨】 （2）根据 EM EN ，12sinEMP13，得出 AEP ABC ，再求出PEBCAPAC。（3）分点 E在 AC上和点 E在 BC上两种情况讨论。1、 （山东泰安）已知：在ABC 中， AC=BC ，ACB=90 ，点D是 AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线 BF垂直于直线CE于点 F，交 CD于点 G（如图 1） ，求证： AE=CG ；（2）直线 AH垂直于直线CE ，垂足为点H，交 CD的延长线于点M （如图 2） ，找出图中与BE相等的线段，并证明2、 （四川绵阳）已知 ABC 是等腰直角三角形， A = 90，D是腰 AC上的一个动点，过 C
32、作 CE垂直于 BD或 BD的延长线，垂足为E，如图（1）若 BD是 AC的中线，求BDCE的值；（2）若 BD是ABC的角平分线，求BDCE的值；（3）结合（1） 、 （2） ，试推断BDCE的取值范围 （直接写出结论，不必证明），并探究BDCE的值能小于34吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由4、（福建莆田）已知菱形ABCD的边长为1ADC=60 ，等边AEF两边分别交边DC 、CB于点 E、F。（ 1） （4 分）特殊发现：如图1，若点 E、F 分别是边DC 、CB的中点求证：菱形ABCD E D C A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
33、 - - - - - - -第 13 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载对角线 AC 、BD交点 O即为等边 AEF 的外心；（2）若点 E、F 始终分别在边DC 、CB上移动记等边 AEF 的外心为点P（ 4 分）猜想验证：如图2猜想 AEF 的外心 P落在哪一直线上，并加以证明；（ 6 分）拓展运用：如图3，当 AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点 M ，交边 DC的延长线于点N，试判断11DMDN是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。1已知 ABC的两边 AB、AC的长是关于x 的一元二次方程x2(2k3) xk23k20 的两个实数根，第三边长为5（1）当 k
34、为何值时， ABC是以 BC为斜边的直角三角形；（2）当 k 为何值时， ABC是等腰三角形，并求ABC的周长2已知 ABC的三边长为a、b、c，关于 x 的方程 x22(ab)xc22ab 0 有两个相等的实数根，又sinA、sinB 是关于 x 的方程 (m5) x2(2m5) xm80 的两个实数根（1）求 m 的值；（2）若 ABC的外接圆面积为25 ，求 ABC的内接正方形的边长3已知关于x 的方程 x2(mn1) xm0（n0）的两个实数根为 、 ，且 （1）试用含有 、的代数式表示m 和 n；（2）求证： 1 ；（3）若点 P （ ， ）在 ABC的三条边上运动，且ABC顶点的坐
35、标分别为A （ 1，2） ，B（12，1） ，C（1，1） ，问是否存在点P，使 mn54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由4请阅读下列材料：问题：已知方程x2x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2 倍解：设所求方程的根为y，则y2x，所以 xy2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载把 xy2代入已知方程，得(y2)2y210化简，得y22y40故所求方程为y22y40这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法 ”请用阅读材料提供的“换根法 ”求新方程（
36、要求：把所求方程化为一般形式） ；（1）已知方程x2x20，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_；（2）已知关于x 的一元二次方程ax2bxc0（a 0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数5已知关于x 的一元二次方程x22xa2a0（ a0） （1）证明这个方程的一个根比2 大，另一个根比2 小；（2）如果当 a1，2，3，2011 时，对应的一元二次方程的两个根分别为1、1，2、2，3、 3， 2011、2011，求1111121213131201112011的值6已知关于x 的一元二次方程x2( abc) xabbc
37、ca 0，且 abc0（1）若方程有实数根，求证：a，b，c 不能构成一个三角形的三边长；（2）若方程有实数根x0，求证： bcx0a；（3）若方程的实数根为6 和 9，求正整数a，b，c 的值7已知方程x22axa40 有两个不同的实数根，方程x22axk0 也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x22axa40 的两根之间，求k 的取值范围9已知x1，x2是关于x 的一元二次方程4x24( m1) xm20 的两个非零实数根，则x1与 x2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由10已知 、为关于 x 的方程 x22mx3m0 的两个实数根，且( )216，如
38、果关于x的另一个方程x22mx6m9 0 的两个实数根都在和 之间，求m 的值11已知 a 为实数，且关于 x 的二次方程ax2( a21) xa0 的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值12求实数a 的取值范围，使关于x 的方程 x22( a1) x2a6 0 （1）有两个实根x1、x2，且满足0 x11x24；（2）至少有一个正根13已知 x1、x2是方程 x2mx10 的两个实数根，满足x1 x2，且 x22（1）求 m 的取值范围；（2）若x2mx1mx1mx2m2，求 m 的值14已知关于x 的方程 x2( m2) xm240（m0）精选学习资料 - - - - - - - -
39、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（1）求证：这个方程总有两个异号实根；（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足 | x2| | x1|2，求 m 的值及相应的x1、x215已知 ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程2x212xm0 的两个根，求m 的取值范围16已知： ， （ ）是一元二次方程x2x10 的两个实数根，设s1 ，s222，snnn根据根的定义，有210，210，将两式相加，得( 22)( )20，于是，得s2s120根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求 ，的值，并直接写出s1，s2的值；（2）猜想：当n3
40、时， sn，sn-1，sn-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（ 2）中的猜想，求(152)8(152)8的值17已知方程 ( x1)( x22xm) 0 的三个实数根恰好构成ABC的三条边长（1）求实数m 的取值范围；（2）当 ABC为直角三角形时，求m 的值和 ABC的面积28 （ 2011?江苏杨州）在ABC中，90BACABACM ，是BC边的中点，MNBC交AC于点N动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动 同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP设运动时间为t秒（0t） （1）PBM与QNM相似吗？以图为例说明理由；（2）若604 3A
41、BCAB ，厘 米求动点Q的运动速度；设APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求22BPPQCQ2、三者之间的数量关系，以图为例说明理由A B P N Q C M A B C N M 图 1 图 2 （备用图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载A DCBP1P2P3P4Q1Q2Q3Q4图 3 现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（S表示面积）问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边 AC经探究知2121R
42、RPPS四边形13SABC，请证明问题 2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1 中的拼合成四边形ABCD ，如图 2，Q1，Q2三等分边DC请探究2211PQQPS四边形与 S四边形ABCD之间的数量关系问题 3：如图 3，P1，P2，P3，P4五等分边AB， Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC若S四边形ABCD1，求3322PQQPS四边形问题 4：如图 4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3 将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S1， S2，S3，S4请直接写出含有S1，S2，S3， S4的一个等式28 （2011?江苏泰州）在
43、平面直角坐标系xOy 中，边长为a（a 为大于 0 的常数）的正方形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点B 在 y 轴正半轴上运动（ x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O） ，顶点 C、D 都在第一象限。A BC图 1 P1P2R2R1A BC图 2 P1P2R2R1DQ1Q2A DP1P2P3BQ1Q2Q3C图 4 S1S2S3S4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（1）当 BAO=45 时，求点 P的坐标；（2）求证：无论点A 在 x
44、轴正半轴上、点B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在 AOB 的平分线上；（3）设点 P 到 x 轴的距离为h，试确定 h 的取值范围，并说明理由。28 （2011?江苏盐城）（本题满分12 分）如图，已知一次函数y = x +7 与正比例函数 y= 43x 的图象交于点A，且与 x 轴交于点B. （1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒1 个单位长的速度，沿OCA的路线向点A 运动；同时直线l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交 x 轴于点 R，交线段BA 或线段AO 于点 Q当点P 到达点 A 时，点P 和直线l 都停止运动在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒. 当 t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页