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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 25、如图 10,正方形优秀学习资料欢迎下载G 与 C、D 不重合）,以ABCD边长为 1,G 为 CD 边上的一个动点（点CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF,连接 DE交 BG 的延长线于点 H；（1）求证：BCG DCE； BHDE；（2）当点 G 运动到什么位置时,BH 垂直平分 DE？请说明理由；23、（2022 山东临沂 如图 1,将三角板放在正方形 ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形 ABCD的顶点 A重合,三角板的一边交 CD于点 F,另一边交 CB的延 长线于点 G（1）求证： EFEG；（2）如图 2,移动
2、三角板,使顶点E 始终在正方形 ABCD的对角线 AC上,其他条件不变（1）中的结论是否仍旧成立？如成立,情赐予证明；如不成立,请说明理由；24. （ 2022 莱 芜 ） 在ABCD中, AC、BD交于点 O,过点 O 作直线 EF、GH,分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点,连结 EG、GF、FH、HE. （1）如图,试判定四边形EGFH的外形,并说明理由；B（2）如图,当 EFGH时,四边形 EGFH的外形是；（3）如图,在（ 2）的条件下,如 AC=BD,四边形 EGFH的外形是（4）如图,在（3）的条件下,如ACBD,试判定四边形EGFH的外形, 并说明理由 . A E
3、DGAECHDBGAECHDAEDGOHGOHOOFFBBFCCF 图图图图25、（湖北荆洲）将两块全等的含（第 23 题图）30 角的三角尺如图角边长为 31 摆放在一起,设较短直（1）四边形 ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由；（2）如图 2,将 Rt BCD沿射线 BD方向平移到 Rt B1C1D1 的位置,四边形 ABC1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由；（3）在 Rt BCD沿射线 BD 方向平移的过程中,当点 B 的移动距离为多少时四边形 ABC1D1 为矩形？当点 B 的移动距离为多少时,四边形 ABC1D1为菱形？名师归纳总结 - - - - - - -第 1
4、页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载24、已知ABC中, BD、 CE为高, H、F 分别为 ED、BC的中点；问： HF与 ED有怎样的位置关系？并证明你的结论；2、已知：如图,在ABCD 中, E、F 分别为边 AB、CD 的中点, BD 是对角线, AG DB 交 CB的延长线于G （1）求证：ADE CBF； （2）如四边形BEDF是菱形,就四边形AGBD是什么特别四边形？并证明你的结论3、如图 131,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边 EF的中点
5、O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转（1）如图 132,当 EF与 AB 相交于点M ,GF 与 BD 相交于点N 时,通过观看或测量BM,FN 的长度,猜想BM, FN满意的数量关系,并证明你的猜想；（ 2）如三角尺 GEF旋转到如图 133 所示的位置时, 线段 FE的延长线与 AB 的延长线相交于点 M ,线段 BD的延长线与 GF 的延长线相交于点 N,此时,（1）中的猜想仍成立吗？如成立,请证明；如不成立,请说明理由名师归纳总结 D F FNC第 2 页,共 18 页CD C DO NOFOA G GEB E AMBAGBME图 13 1图 133图 13 2 ON 上,梯
6、子与地面的倾8、如图,一架长4 米的梯子 AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁斜角 为 60 求 AO 与 BO 的长- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载如梯子顶端 A 沿 NO 下滑,同时底端 B 沿 OM 向右滑行 . 如图 2,设 A点下滑到 C 点, B 点向右滑行到 A 沿 NO 下滑多少米；D 点,并且 AC:BD=2:3,试运算梯子顶端如图,当A 点下滑到A点, B 点向右滑行到B点时,梯子AB 的中点 P 也随之运动到 P 点如 POP 15 ,试求 AA的长解析 RtAOB中, O=90 , =60, OAB=30
7、,又 4 米,3（重庆市）已知：如图,在平面直角坐标系 xOy 中,边长为 2 的等边OAB 的顶点 B在第一象限, 顶点 A 在 x 轴的正半轴上另一等腰OCA 的顶点 C在第四象限, OCAC, C120现有两动点 P,Q 分别从A,O 两点同时动身,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC向点 C 运动,点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 AOB 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也立即停止 . （1）求在运动过程中形成的OPQ的面积 S与运动的时间 t 之间的函数关系,并写出自变量t 的取值范畴；（2）在等边OAB 的边上（点 A 除外）存在点 D,使得 OCD为等腰三角形,请直接
8、写出所有符合条件的点 D 的坐标；（3）如图,现有MCN60,其两边分别与 OB,AB 交于点 M, N,连接 MN将 MCN围着 C点旋转（ 0旋转角 60）,使得 M ,N 始终在边 OB 和边 AB 上试判定在这一过程中, BMN 的周长是否发生变化？如没变化,恳求出其周长；如发生变化,请说明理由y B y B M 名师归纳总结 OQ C P A x OC N x 第 3 页,共 18 页A 图图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载5（安徽省）如图,已知ABC A1B1C1,相像比为 k（ k1）,且 ABC的三边长分别为 a
9、、b、c（abc）, A1B1C1的三边长分别为 a1、b1、c1（1）如 ca1,求证： akc；（2）如 ca1,试给出符合条件的一对整数,并加以说明；ABC和 A1B1C1,使得 a、b、 c 和 a1、b1、c1 都是正（3）如 ba1,cb1,是否存在ABC和 A1B1C1,使得 k2？请说明理由A A1c b c1 b1B a C B1 a1 C18（安徽省蚌埠二中自主招生）如图 1、2 是两个相像比为 1 : 2 的等腰直角三角形,将两个三角形如图 3 放置,小直角三角形的斜 边与大直角三角形的始终角边重合（1）在图 3 中,绕点 D 旋转小直角三角形,使两直角边分别与求证： A
10、E 2BF 2EF 2；AC、BC交于点 E、F,如图 4（2）如在图 3 中,绕点 C旋转小直角三角形,使它的斜边和 CD延长线分别与 AB 交于点 E、F,如图 5,此时结论 AE 2BF 2EF 2 是否仍旧成立？如成立,请给出证明；如不成立,请说明理由；D A C B A C B D 图 1 C 图 2 C 图 3 F E D B A D B A E F 图 4 图 5 （3）如图,在正方形ABCD中, E、F 分别是边 BC、CD上的点,满意CEF的周长等于正方形 ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD 交于 M 、N,试问线段BM、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？如
11、能,指出三角形的外形,并给出证明；如不能,请说明理由；A D N F M 名师归纳总结 9（河南省）B E C 第 4 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（1）操作发觉如图, 矩形 ABCD中,E是 AD 的中点, 将 ABE沿 BE折叠后得到GBE,且点 G 在矩形 ABCDD F C 内部小明将BG 延长交 DC于点 F,认为 GFDF,你同意吗？说明理由（2）问题解决A E 保持（ 1）中的条件不变,如DC2DF,求AD 的值；AB（3）类比探究G 保持（ 1）中的条件不变,如DCn DF,求AD 的值ABB
12、 3. 已知矩形纸片 OABC 的长为 4,宽为 3,以长 OA 所在的直线为x轴, O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是 OA 边上的动点（与点O、A不重合）,现将POC沿 PC 翻折得到PEC,再在 AB 边上选取适当的点D,将PAD沿 PD 翻折,得到PFD,使得直线 PE、PF重合、P、CD的坐标,并求过此三点的抛物线的函数（1）如点 E 落在 BC 边上,如图,求点关系式；（2）如点 E 落在矩形纸片OABC 的内部, 如图, 设 OPx,ADy,当 x 为何值时, y 取得最大值？（3）在（1）的情形下, 过点 P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q,使PDQ是以 PD 为直角
13、边的直角三角形？如不存在,说明理由；如存在,求出点Q 的坐标B C y E B C y F E O 图F D x O P D x P A A 图30. 如下列图,将矩形OABC 沿 AE 折叠,使点 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 CF 为边作正方形 CFGH ,延长 BC 至 M ,使 CMCEEO,再以 CM 、CO 为边作矩形 CMNO （1）试比较 EO 、 EC 的大小,并说明理由名师归纳总结 （2）令mS 四边形CFGH,请问 m 是否为定值？如是,恳求出m 的值；如不是,请说明理由第 5 页,共 18 页S 四边形CMNO（ 3 ） 在 （ 2 ） 的 条 件 下 , 如CO
14、1,CE1,Q为 AE 上 一 点 且QF2, 抛 物 线33y2 mxbxc 经过 C 、 Q 两点,恳求出此抛物线的解析式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载BC 上 KP（4）在（ 3）的条件下,如抛物线y2 mxbxc 与线段 AB 交于点 P ,试问在直线是否存在点 K ,使得以 P 、 B 、 K 为顶点的三角形与AEF相像？如存在,恳求直线与y轴的交点T的坐标；如不存在,请说明理由y H G M C F B E Q N O A x 【例】如图 10,平行四边形 ABCD中,AB5,BC10,BC边上的高 AM=4,E为B
15、C边上的一个动点（不与 B、C重合）过 E作直线 AB的垂线,垂足为 FFE与DC的延长线相交于点 G,连结 DE,DF；（1）求证： BEF CEG（2）当点 E在线段 BC上运动时, BEF和 CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设 BEx, DEF的面积为 y,请你求出 y 和 x 之间的函数关系式,并求出当 x 为何值时, y 有最大值,最大值是多少？A DFMB x E CG图 10 【例 8】如图,在矩形 ABCD 中,AB 9,AD 3 3,点 P 是边 BC 上的动点（点P 不与点 B ,点 C 重合）,过点 P 作直线 PQBD,交 CD 边于 Q 点,再把PQC
16、 沿着动直线 PQ 对折,点 C 的对应点是 R 点,设 CP 的长度为 x,PQR与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 y （1）求 CQP 的度数；（2）当 x 取何值时,点 R 落在矩形 ABCD 的 AB 边上？（3）求 y 与 x之间的函数关系式；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载当 x 取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的 7？27Q D C D C D C P A R B A B A B （备用图 1）（备用图 2）4、如图,分别以ABC的 AC和 BC为一边, 在 ABC的外侧
17、作正方形 ACDE和正方形 CBFG,点 P 是 EF的中点AB 的一半（初二）D 求证：点 P 到边 AB 的距离等于G 4、平行四边形C F E P A Q B ABCD中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点, AE与 CF相交于 P,且AECF求证： DPA DPC（初二）A D F （2022 东城二模24.） 已知：等边B P E C ABC 中,点 O 是边 AC,BC 的垂直平分线的交点,M,N分别在直线 AC, BC 上,且 MON 601 如图 1,当 CM=CN 时, M 、N 分别在边 AC、BC 上时,请写出 AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（ 2）如图
18、 2,当 CM CN 时, M、N 分别在边 AC、BC 上时,（1）中的结论是否仍旧成立？如成立,请你加以证明；如不成立,请说明理由；3 如图 3,当点 M 在边 AC 上,点 N 在 BC 的延长线上时, 请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2022 丰台二模优秀学习资料欢迎下载P,使得24.） 在 ABC 中, D 为 BC 边的中点,在三角形内部取一点ABP=ACP过点 P 作 PE AC于点 E,PF AB 于点 F（1）如图 1,当 AB=AC时,判
19、定的DE与 DF 的数量关系,直接写出你的结论；（2）如图 2,当 AB AC,其它条件不变时, （ 1）中的结论是否发生转变？请说明理由AAFEPFEP60CBDCBD（2022 密云二模图 1 图 2 , 等 边 AEF 两 边25.） 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 1,ADC分 别 交 DC、 CB 于 点 E、 F（1）特别发觉：如图 1,如点 E、F 分别是边 DC、CB的中点,求证：菱形 ABCD 对角线AC、BD 的交点 O 即为等边AEF的外心；（ 2）如点 E、 F始终分别在边 DC、CB上移动,记等边AEF的外心为 P猜想验证：如图 2,猜想AEF的外心 P 落
20、在哪始终线上,并加以证明；拓展运用：如图 3,当 E、F 分别是边 DC、CB的中点时,过点 P 任作始终线,分别交 DA 边 于 点 M , BC 边 于 点 G, DC 边 的 延 长 线 于 点 N, 请 你 直 接 写 出1 1的值DM DN（2022 平谷二模 24.）如图 1,如四边形 ABCD、GFED 都是正方形,明显图中有 AG=CE,AGCE名师归纳总结 （1）当正方形GFED绕 D 旋转到如图2 的位置时, AG=CE是否成立？如成立,请给出证明,第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载如不
21、成立,请说明理由；（2）当正方形GFED绕 D 旋转到 B,D,G 在一条直线（如图 3）上时,连结CE,设 CE分别交 AG、AD 于 P、H 求证： AGCE；F 假如 AD=4, DG= 2 ,求 CE的长EP GA G D A F G D AH DE F E B C B C B C图 1 图 2 图 3 （2022 昌平二模 25.）如图,在 Rt ABC中, ABC=90 ,过点 B 作 BDAC 于 D,BE平分 DBC,交 AC于 E,过点 A 作 AF BE于 G,交 BC于 F,交 BD于 H（1）如 BAC=45 ,求证： AF 平分 BAC； FC=2HD（2）如 BAC
22、=30 ,请直接写出FC与 HD 的等量关系HG FDEAADBHEBGCFC（2022 朝阳二模 24.） 如图, D 是 ABC中 AB 边的中点, BCE和 ACF都是等边三角形,M 、N 分别是 CE、 CF的中点 . （1）求证： DMN 是等边三角形；AFNDCME（2）连接 EF,Q 是 EF中点, CPEF于点 P. 求证： DPDQ. 同学们,假如你觉得解决此题有困难,可以阅读下面B两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发觉此题条件中有较多的中点,因此考虑构造三角形的中位线,添加出了一些帮助线；小慧同学想到要名师归纳总结 证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角
23、形呢？她考虑将. NCM 绕顶第 9 页,共 18 页点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（2022 海淀二模 25.）在矩形 ABCD中, 点 F 在 AD 延长线上,且 为 MD 的中 点, 点 E 在直线 CF上（点 E、C 不重合） . DF= DC, M 为 AB 边上一点 , N（1）如图 1, 如 AB=BC, 点 M、A 重合 , E 为 CF的中点,摸索究BN 与 NE的位置关系及CE 的值 , 并证明你的结论 BM; （2）如图 2,且如 AB=BC
24、, 点 M 、A 不重合 , BN=NE,你在（ 1）中得到的两个结论是否 成立 , 如成立 ,加以证明 ; 如不成立 , 请说明理由 ; （3）如图 3,如点 M 、A 不重合, BN=NE,你在（ 1）中得到的结论两个是否成立, 请F直接写出你的结论. CBCBCEAM NDEFMNDEFBNMAAD（2022 西城二模 24.）如图,在 Rt ABC中, C=90,AC=6,BC=8动点 P从点 A 开头沿折线 ACCB BA 运动,点 P 在 AC,CB,BA边上运动的速度分别为每秒3,4,5 个单位直线l 从与 AC重合的位置开头,以每秒4个单位的速度沿CB方向平行移动,即移动过程中
25、3保持 l AC,且分别与CB,AB 边交于 E,F两点,点 P 与直线 l 同时动身,设运动的时间为 t 秒,当点 P 第一次回到点 A 时,点 P 和直线 l 同时停止运动1当 t = 5 秒时,点 P 走过的路径长为；当 t = 秒时,点 P与点 E 重合；2当点 P 在 AC 边上运动时,将PEF绕点 E 逆时针旋转,使得点 P 的对应点 M 落在 EF上,点 F 的对应点记为点N,当 ENAB 时,求 t 的值；3当点 P 在折线 ACCBBA 上运动时,作点 P 关于直线 EF的对称点,记为点 Q在点 P与直线 l 运动的过程中,如形成的四边形 PEQF为菱形,请直接写出 t 的值
26、（2022 门头沟二模 24.） 有两张完全重合的矩形纸片,小亮将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90后得到矩形AMEF（如图 1）,连结 BD、MF,此时他测得BD8cm, ADB30（1）在图 1 中,请你判定直线FM 和 BD 是否垂直？并证明你的结论；名师归纳总结 （2）小红同学用剪刀将 BCD 与 MEF 剪去,与小亮同学连续探究他们将 ABD绕点 A 顺第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载时针旋转得 AB1D1,AD1 交 FM 于点 K（如图 2）,设旋转角为 腰三角形时,请直接写出旋转角 的度
27、数；（0 90）,当 AFK为等（3）如将 AFM 沿 AB 方向平移得到 A2F2M 2（如图 3）,F2M 2 与 AD 交于点 P,A2M 2 与 BD交于点 N,当 NP AB 时,求平移的距离是多少. D C D D 6.如图,已知 ABC 的两条角平分线 M E B1M K D1 M 2 M AD 和 CE 相交于 H,BN 60 ,F 在 AC 上,且 AEAF. A 图 2 F B A2A 图 3 F2F 图 1 1证明： B,D,H,E 四点共圆；2证明： CE 平分DEF. （2022 浙江温州） 24 此题 l4 分 如图,在 RtAABC中, ACB=90 , AC=3
28、,BC=4,过点 B名师归纳总结 作射线 BBl AC动点 D从点 A 动身沿射线AC方向以每秒5 个单位的速度运动,同时动点E第 11 页,共 18 页从点 C 动身沿射线AC方向以每秒3 个单位的速度运动过点D作 DHAB于 H,过点 E 作 EF上 AC交射线 BB1于 F,G是 EF中点,连结DG设点 D运动的时间为t 秒1 当 t 为何值时, AD=AB,并求出此时DE的长度；2 当 DEG与 ACB相像时,求t 的值；3 以 DH所在直线为对称轴,线段AC经轴对称变换后的图形为AC 当 t3 时,连结 C5C,设四边形ACCA 的面积为S,求 S 关于 t 的函数关系式；当线段 A
29、 C 与射线 BB,有公共点时,求t 的取值范畴 写出答案即可 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【例 1】（重庆綦江）如图,等边ABC 中, AO是 BAC的角平分线, D 为 AO上一点,以CD为一边且在 CD下方作等边 CDE,连 接 BE（1）求证： ACD BCE；（2）延长 BE至 Q,P 为 BQ上一点,连接CP、 CQ使 CP=CQ=5,如 BC=8时,求 PQ的长【思路点拨】 （1）证 ACD BCE；（2）过点 C作 CHBQ于 H,求得 DAC=30 ,再求PQ的长；【例 2】（山东济南）如图,点 C为线段
30、AB上任意一点 不与点 A、B 重合 ,分别以 AC、BC为一腰在 AB的同侧作等腰ACD 和 BCE, CACD,CBCE,ACD与BCE都是锐角,且ACDBCE,连接 AE交 CD于点M,连接 BD交 CE 于点 N,AE与 BD交于点 P,连接 CP1求证： ACE DCB；2请 你 判 断 ACM与 DPM的外形有何关系并说明理由；3 求证： APCBPC【思路点拨】 （3）由 1 可得 CAE CDB,从 而点 A、C、P、D四点共圆,可得APCADC, 再证明 BPC BEC,即可；【例 4】（上海） 在 Rt ABC中,ACB90 , BC30,AB50点 P是 AB边上任意一点
31、,直线 PEAB,与边 AC或 BC相交于 E点 M在线段 AP 上,点 N 在线段 BP 上, EMEN,sin EMP 1213（1）如图 1,当点 E 与点 C重合时,求 CM的长；（2）如图 2,当点 E在边 AC上时, 点 E 不与点 A、C重合, 设 AP x ,BN y ,求 y关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域；（3）如 AME ENB（ AME 的顶点 A、M、E 分别与 ENB的顶点 E、N、B 对应）,求 AP的长名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载AEP ABC,
32、再求出PEBC；【思路点拨】 （2）依据 EMEN,sinEMP12 13,得出APAC（3）分点 E 在 AC上和点 E 在 BC上两种情形争论；1、（山东泰安）已知：在ABC 中, AC=BC,ACB=90 ,点D是 AB的中点,点E是AB边上一点（1）直线 BF垂直于直线CE于点 F,交 CD于点 G（如图 1）,求证： AE=CG；（2）直线 AH垂直于直线CE,垂足为点H,交 CD的延长线于点M（如图 2）,找出图中与BE相等的线段,并证明2、（四川绵阳）已知ABC 是等腰直角三角形, A = 90,D是腰 AC上的一个动点,过 C作 CE垂直于 BD或 BD的延长线,垂足为 E,如
33、图A （1）如 BD是 AC的中线,求 BD 的值；D E CE（2）如 BD是ABC的角平分线,求 BD 的值；B C CE（3）结合（1）、（2）,试推断BD 的取值范畴 （直接写出结论,不必证明）,并探究BD 的CE CE值能小于 4 吗？如能,求出满意条件的 D点的位置；如不能,说明理由34、（福建莆田）已知菱形 ABCD的边长为 1ADC=60 ,等边 A EF两边分别交边 DC、CB于点 E、F；（ 1）（4 分）特别发觉：如图1,如点 E、F 分别是边 DC、CB的中点求 证：菱形 ABCD 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - -
34、- - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载对角线 AC、BD交点 O即为等边 AEF 的外心；（2）如点 E、F 始终分别在边DC、CB上移动记等边AEF 的外心为点P（ 4 分）猜想验证：如图2猜想 AEF 的外心 P 落在哪始终线上,并加以证明；（ 6 分）拓展运用：如图 点 M,交边 DC的延长线于点3,当AEF面积最小时,过点P 任作始终线分别交边DA于N,试判定11是否为定值如是恳求出该定值；DMDN如不是请说明理由；1已知 ABC的两边 AB、AC的长是关于x 的一元二次方程x2 2k3 xk23k20 的两个实数根,第三边长为 5（1）当 k 为何值时,ABC是以 BC为
35、斜边的直角三角形；（2）当 k 为何值时,ABC是等腰三角形,并求ABC的周长2已知 ABC的三边长为 a、b、c,关于 x 的方程 x 22 abxc 22ab 0 有两个相等的实数根,又 sinA、sinB 是关于 x 的方程 m5 x 2 2m5 xm80 的两个实数根（1）求 m 的值；（2）如 ABC的外接圆面积为25,求 ABC的内接正方形的边长3已知关于 x 的方程 x 2 mn1 xm0（n0）的两个实数根为 、,且 （1）试用含有 、 的代数式表示 m 和 n；（2）求证： 1；（3）如点 P（,）在 ABC的三条边上运动,且ABC顶点的坐标分别为 A（ 1,2）,B（1 2
36、,51）,C（1,1）,问是否存在点 P,使 mn4？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 4请阅读以下材料：问题：已知方程 x 2x10,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2 倍第 14 页,共 18 页解：设所求方程的根为y,就 y2x,所以 xy 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载就把 xy 2代入已知方程,得y 22 y 210化简,得 y22y40故所求方程为y22y40这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法 ” 请用阅读材料供应的“换根法 ” 求新方程（ 要求：把所求方
37、程化为一般形式）；（1）已知方程 x2x20,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,所求方程为： _；（2）已知关于x 的一元二次方程ax2bxc0（a 0）有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数5已知关于 x 的一元二次方程 x 22xa 2a0（ a0）（1）证明这个方程的一个根比 2 大,另一个根比 2 小；（2）假如当 a1,2,3, ,2022 时,对应的一元二次方程的两个根分别为 1、1,2、2,1 1 1 1 1 1 1 13、 3, , 2022、2022,求 112233 20222022的值6已知关于 x 的一元二次方程
38、x 2 abc xabbcca 0,且 abc0（1）如方程有实数根,求证：a,b,c 不能构成一个三角形的三边长；（2）如方程有实数根 x0,求证： bcx0a；（3）如方程的实数根为 6 和 9,求正整数 a,b,c 的值7已知方程 x 22axa40 有两个不同的实数根,方程2数根,且其两根介于方程 x2axa40 的两根之间,求x 22axk0 也有两个不同的实k 的取值范畴9已知 x1,x2是关于 x 的一元二次方程4x24 m1 xm20 的两个非零实数根,就x1与 x2能否同号？如能同号,恳求出相应的m 的取值范畴；如不能同号,请说明理由10已知 、 为关于 x 的方程 x 22mx3m0 的两个实数根,且 216,假如关于的另一个方程 x 22mx6m9 0 的两个实数根都在 和 之间,求 m 的值x11已知 a 为实数 ,且关于 x 的二次方程ax2 a21 xa0 的两个实数根都小于1,求这两个实数根的最大值12求实数 a 的取值范畴,使关于 x 的方程 x 22 a1 x2a6 0 （1）有两个实根 x1、x2,且满意 0x11x24；（2）至少有一个正根13已知 x1、x2是方程 x 2mx10 的两个实数根,满意（1）求 m 的取值范畴；（2）如x2 m x1 m x1mx2m 2,