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1、优秀学习资料 欢迎下载 25、如图 10，正方形 ABCD边长为 1，G 为 CD边上的一个动点（点 G 与 C、D 不重合），以CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，连接 DE交 BG的延长线于点 H。（1）求证：BCGDCE；BH DE。（2）当点 G 运动到什么位置时，BH垂直平分 DE？请说明理由。23、（2011 山东临沂)如图 1，将三角板放在正方形 ABCD上，使三角板的直角顶点 E与正方形 ABCD的顶点 A重合，三角板的一边交 CD于点 F，另一边交 CB的延长线于点 G （1）求证：EFEG；（2）如图 2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形 ABCD 的对角线
2、 AC上，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；24.（2010 莱芜）在 ABCD中，AC、BD交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H四点，连结 EG、GF、FH、HE.（1）如图，试判断四边形 EGFH的形状，并说明理由；（2）如图，当 EF GH时，四边形 EGFH的形状是 ；（3）如图，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH的形状是 ；（4）如图，在（3）的条件下，若 ACBD，试判断四边形 EGFH的形状，并说明理由.25、（湖北荆洲）将两块全等的含 30角的三角尺如图 1 摆放在一
3、起，设较短直角边长为 3（1）四边形 ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由。（2）如图 2，将 RtBCD沿射线 BD方向平移到 RtB1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由。（3）在 RtBCD沿射线 BD方向平移的过程中，当点 B的移动距离为多少时四边形 ABC1D1为矩形？当点 B的移动距离为多少 时，四边形 ABC1D1为菱形？H G F E O D C B A 图 H G F E O D C B A 图 A B C D O E F G H 图 A B C D O E F G H 图（第 23 题图）优秀学习资料 欢迎下载 24、已知ABC中，B
4、D、CE为高，H、F分别为 ED、BC的中点。问：HF与 ED有怎样的位置关系？并证明你的结论。2、已知：如图，在ABCD 中，E、F分别为边 AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交 CB的延长线于 G（1）求证：ADE CBF；（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形 AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论 3、如图 131，一等腰直角三角尺 GEF的两条直角边与正方形 ABCD的两条边分别重合在一起现正方形 ABCD保持不动，将三角尺 GEF绕斜边 EF的中点 O（点 O 也是 BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图 132，当 EF与 AB相交于点 M，GF与 BD相交于点 N 时，
5、通过观察或测量BM，FN的长度，猜想 BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺 GEF旋转到如图 133 所示的位置时，线段 FE的延长线与 AB的延长线相交于点 M，线段 BD的延长线与 GF的延长线相交于点 N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 8、如图，一架长 4 米的梯子 AB斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，梯子与地面的倾斜角为60 求 AO与 BO的长 图 132 E A B D G F O M N C 图 131 A(G)B(E)C O D(F)图 133 A B D G E F O M N C 与正方形的顶点重合三角板的
6、一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 若梯子顶端 A沿 NO 下滑，同时底端 B沿 OM 向右滑行.如图 2，设 A点下滑到 C点，B点向右滑行到 D点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿 NO 下滑多少米；如图，当 A点下滑到 A 点，B点向右滑行到 B 点时，梯子 AB的中点 P 也随之运动到 P 点若POP 15，试求 AA 的长 解析 AOBRt中,O=90,=60,OAB=30，又4 米，3（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系
7、xOy中，边长为 2 的等边OAB的顶点 B在第一象限，顶点 A在 x 轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点 C在第四象限，OCAC，C120 现有两动点 P，Q 分别从A，O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC向点 C运动，点 P以每秒 3 个单位的速度沿 AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的OPQ的面积 S 与运动的时间 t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（2）在等边OAB的边上（点 A除外）存在点 D，使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 D的坐标；（3）如图，现有MCN60，其两边分别与 OB，A
8、B交于点 M，N，连接 MN将MCN绕着 C点旋转（0 旋转角60），使得 M，N 始终在边 OB 和边 AB上试判断在这一过程中，BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由 A Q C B P Ox y 图 A M C B N Ox y 图 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 5（安徽省）如图，已知ABC A1B1C1，相似比为 k（k1），且ABC的三边长分别为 a、b、c（abc），A
9、1B1C1的三边长分别为 a1、b1、c1（1）若 ca1，求证：akc；（2）若 ca1，试给出符合条件的一对ABC和A1B1C1，使得 a、b、c 和 a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若 ba1，cb1，是否存在ABC和A1B1C1，使得 k2？请说明理由 8（安徽省蚌埠二中自主招生）如图 1、2 是两个相似比为 1:2的等腰直角三角形，将两个三角形如图 3 放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合（1）在图 3 中，绕点 D旋转小直角三角形，使两直角边分别与 AC、BC交于点 E、F，如图 4 求证：AE 2BF 2EF 2；（2）若在图 3 中，绕点 C旋转小
10、直角三角形，使它的斜边和 CD延长线分别与 AB交于点 E、F，如图 5，此时结论 AE 2BF 2EF 2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是边 BC、CD上的点，满足CEF的周长等于正方形 ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线 BD交于 M、N，试问线段 BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由；9（河南省）B C A A1 abc B1 C1 a1 b1 c1 B 图 2 A C B 图 3 A C D D 图 1 B 图 4 A C D E F B 图 5 A
11、 C D E F B A C D E F M N 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载（1）操作发现 如图，矩形 ABCD中，E是 AD的中点，将ABE沿 BE折叠后得到GBE，且点 G 在矩形 ABCD内部小明将 BG延长交 DC于点 F，认为 GFDF，你同意吗？说明理由（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若 DC2DF，求ABAD的值；（3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若 DCnDF，求ABAD的值 3.已知
12、矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建 立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA、不重合），现将POC沿PC翻折 得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得 直线PEPF、重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点PCD、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图，设OPxADy，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点PCD、三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 30.如图所示，将矩
13、形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CMCE EO，再以CM、CO为边作矩形CMNO （1）试比较EO、EC的大小，并说明理由（2）令CFGHCMNOSmS四边形四边形，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由 （3）在（2）的条件下，若113COCEQ，为AE上一点且23QF，抛物线2ymxbxc经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式 G B C E F A D C y E B F D A P x O 图 A B D F E C O P x y 图 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的
14、四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 y x A N O M C H G F B Q E （4）在（3）的条件下，若抛物线2ymxbxc与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由 【例】如图 10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为FFE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。（1）求证
15、：BEFCEG（2）当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【例 8】如图，在矩形ABCD中，9AB，3 3AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；图 10 MBDCEFGxA与正方形的顶
16、点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 P C G F B Q A D E 当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？4、如图，分别以ABC的 AC和 BC为一边，在ABC的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG，点 P 是 EF的中点 求证：点 P到边 AB的距离等于 AB的一半（初二）4、平行四边形 ABCD中，设 E、F分别是 BC、AB上的一点，AE与 CF相交于 P，且 AECF求证：DPADPC（初二）（2012 东
17、城二模 24.）已知：等边ABC中，点 O 是边 AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N分别在直线 AC,BC 上，且60MON(1)如图 1，当 CM=CN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出 AM、CN、MN 三者之间的数量关系；（2）如图 2，当 CMCN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图 3，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直接写出线段 AM、CN、MN 三者之间的数量关系 D Q C B P R A B A D C（备用图 1）B A D C（备用图 2）
18、F P D E C B A 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 （2012 丰台二模 24.）在ABC中，D 为 BC 边的中点，在三角形内部取一点 P，使得ABP=ACP 过点 P作 PEAC于点 E，PFAB于点 F （1）如图 1，当 AB=AC时，判断的 DE与 DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图 2，当 ABAC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由 图 1 图 2（2012 密云二模
19、 25.）已知菱形 ABCD的边长为 1，60ADC，等边AEF两边分别交 DC、CB 于点 E、F （1）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB的中点，求证：菱形 ABCD对角线AC、BD的交点 O 即为等边AEF的外心；（2）若点 E、F始终分别在边 DC、CB上移动，记等边AEF的外心为 P 猜想验证：如图 2，猜想AEF的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图 3，当 E、F分别是边 DC、CB的中点时，过点 P 任作一直线，分别交 DA 边于点 M，BC 边于点 G，DC 边的延长线于点 N，请你直接写出11DMDN的值 （2012 平谷二模 24.）如
20、图 1，若四边形 ABCD、GFED都是正方形，显然图中有 AG=CE，AGCE （1）当正方形 GFED绕 D旋转到如图 2 的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，AEFPBDCCEBADFP与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 若不成立，请说明理由；（2）当正方形 GFED绕 D 旋转到 B，D，G 在一条直线（如图 3）上时，连结 CE，设 CE分别交 AG、AD于 P、H 求证：AGCE；如果 AD=4，
21、DG=2，求 CE的长 （2012 昌平二模 25.）如图，在 RtABC中，ABC=90，过点 B 作 BDAC于 D，BE平分DBC，交 AC于 E，过点 A作 AFBE于 G，交 BC于 F，交 BD于 H（1）若BAC=45，求证：AF平分BAC；FC=2HD（2）若BAC=30，请直接写出 FC与 HD的等量关系 （2012 朝阳二模 24.）如图，D是ABC中 AB边的中点，BCE和ACF都是等边三角形，M、N 分别是 CE、CF的中点.（1）求证：DMN 是等边三角形；（2）连接 EF，Q 是 EF中点，CPEF于点 P.求证：DPDQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读
22、下面 两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要 证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.A B C D E F G 图 2 A B C D E F G 图 1 PHACDBGEF图 3 GABDEFHCHGEDCFBANMDEFABC与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形
23、吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载（2012 海淀二模 25.）在矩形 ABCD中,点 F在 AD延长线上，且 DF=DC,M 为 AB边上一点,N为 MD 的中 点,点 E在直线 CF上（点 E、C不重合）.（1）如图 1,若 AB=BC,点 M、A重合,E为 CF的中点，试探究 BN与 NE的位置关系 及BMCE的值,并证明你的结论;（2）如图 2，且若 AB=BC,点 M、A不重合,BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否 成立,若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;（3）如图 3，若点 M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立,请 直接写出你的结论.（201
24、2 西城二模 24.）如图，在 RtABC中，C=90，AC=6，BC=8动点 P从点 A开始沿折线 ACCB BA运动，点 P在 AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒 3，4，5 个单位直线 l 从与 AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿 CB方向平行移动，即移动过程中 保持 lAC，且分别与 CB，AB边交于 E，F两点，点 P与直线 l 同时出发，设运动的 时间为 t 秒，当点 P第一次回到点 A时，点 P 和直线 l同时停止运动 (1)当 t=5秒时，点 P走过的路径长为 ；当 t=秒时，点 P与点 E重合；(2)当点 P 在 AC边上运动时，将PEF绕点 E逆时针旋转，使
25、得点 P 的对应点 M 落在 EF上，点 F的对应点记为点 N，当 ENAB时，求 t 的值；(3)当点 P在折线 ACCBBA上运动时，作点 P关于直线 EF的对称点，记为点 Q在点 P与直线 l 运动的过程中，若形成的四边形 PEQF为菱形，请直接写出 t 的值 （2012 门头沟二模 24.）有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点 A顺时针旋转 90后得到矩形 AMEF（如图 1），连结 BD、MF，此时他测得 BD8cm，ADB30 （1）在图 1 中，请你判断直线 FM 和 BD是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将BCD与MEF剪去，与小亮同学继续探究他们将ABD绕
26、点 A顺F A(M)D N D A C E D N M B F E C B F N M E C B A 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 时针旋转得AB1D1，AD1交 FM 于点 K（如图 2），设旋转角为 （0 90），当AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角 的度数；（3）若将AFM 沿 AB方向平移得到A2F2M2（如图 3），F2M2与 AD交于点 P，A2M2与 BD交于点 N，当 NPAB时，求平移的距离是
27、多少.6.如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.(1)证明：B，D，H，E四点共圆；(2)证明：CE平分DEF.（2010浙江温州）24(本题 l4 分)如图，在 RtAABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点 B作射线 BBlAC 动点 D从点 A出发沿射线 AC方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E从点 C出发沿射线 AC方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D作 DH AB于 H，过点 E作 EF上 AC交射线 BB1于 F，G是 EF中点，连结 DG 设点 D运动的时间为 t 秒(1)当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时
28、 DE的长度；(2)当DEG与AC B相似时，求 t 的值；(3)以 DH所在直线为对称轴，线段 AC经轴对称变换后的图形为 AC 当 t53时，连结 CC，设四边形 ACC A 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；当线段 A C 与射线 BB，有公共点时，求 t 的取值范围(写出答案即可)C D M A B F E 图 1 D M A B F 图 3 N F2 P A2 M2 D M A B F D1 图 2 B1 K 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行
29、四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 【例 1】（重庆綦江）如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为 AO上一点，以CD为一边且在 CD下方作等边CDE，连 接 BE （1）求证：ACDBCE；（2）延长 BE至 Q，P为 BQ上一点，连接 CP、CQ使 CP=CQ=5，若 BC=8时，求 PQ的长【思路点拨】（1）证ACD BCE。（2）过点 C作 CHBQ于 H，求得DAC=30，再求PQ的长。【例 2】（山东济南）如图，点 C为线段 AB上任 意一点(不与点 A、B重合)，分别以 AC、BC为一腰在 AB的同侧作等腰ACD和BCE，CACD，CB CE，ACD与BCE都是
30、锐角，且ACD BCE，连接AE交 CD于点M，连接 BD交 CE于点 N，AE与 BD交于点 P，连接 CP(1)求 证：ACEDCB；(2)请 你 判 断ACM与DPM的形状有何关系并说明理由；(3)求证：APCBPC 【思路点拨】（3）由(1)可得CAE CDB，从而点 A、C、P、D四点共圆，可得APC ADC，再证明BPC BEC，即可。【例 4】（上海）在 RtABC中，ACB90，BC 30，AB 50点 P是 AB边上任意一点，直线 PEAB，与边AC或 BC相交于 E点 M在线段 AP上，点 N在线段 BP上，EM EN，12sinEMP13（1）如图 1，当点 E与点 C重
31、合时，求 CM的长；（2）如图 2，当点 E在边 AC上时，点 E不与点 A、C重合，设 AP x，BN y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点 A、M、E分别与ENB的顶点 E、N、B对应），求 AP的长 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 【思路点拨】（2）根据 EM EN，12sinEMP13，得出AEP ABC，再求出 PEBCAPAC。（3）分点 E在 AC上和点 E在
32、 BC上两种情况讨论。1、（山东泰安）已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是 AB的中点，点 E是 AB边上一点（1）直线 BF垂直于直线 CE于点 F，交 CD于点 G（如图 1），求证：AE=CG；（2）直线 AH垂直于直线 CE，垂足为点 H，交 CD的延长线于点 M（如图 2），找出图中与BE相等的线段，并证明 2、（四川绵阳）已知ABC是等腰直角三角形，A=90 ，D是腰 AC上的一个动点，过 C作 CE垂直于 BD或 BD的延长线，垂足为 E，如图（1）若 BD是 AC的中线，求BDCE的值；（2）若 BD是ABC的角平分线，求BDCE的值；（3）结合（1）、（2），试
33、推断BDCE的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BDCE的值能小于34吗？若能，求出满足条件的 D点的位置；若不能，说明理由 4、（福建莆田）已知菱形 ABCD 的边长为 1ADC=60，等边A EF两边分别交边 DC、CB于点 E、F。（1）（4 分）特殊发现：如图 1，若点 E、F分别是边 DC、CB的中点求证：菱形 ABCD E D C A B 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 对角线 AC、BD交点 O即
34、为等边AEF的外心；（2）若点 E、F始终分别在边 DC、CB上移动记等边AEF的外心为点 P （4 分）猜想验证：如图 2猜想AEF的外心 P落在哪一直线上，并加以证明；（6 分）拓展运用：如图 3，当AEF面积最小时，过点 P任作一直线分别交边 DA于 点 M，交边 DC的延长线于点 N，试判断11DMDN是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。1已知ABC的两边 AB、AC的长是关于 x 的一元二次方程 x 2(2k3)xk 23k20 的两个实数根，第三边长为 5（1）当 k 为何值时，ABC是以 BC为斜边的直角三角形；（2）当 k 为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周
35、长 2已知ABC的三边长为 a、b、c，关于 x 的方程 x 22(ab)xc 22ab0 有两个相等的实数根，又 sinA、sinB是关于 x 的方程(m5)x 2(2m5)xm80 的两个实数根（1）求 m 的值；（2）若ABC的外接圆面积为 25，求ABC的内接正方形的边长 3已知关于 x 的方程 x 2(mn1)xm0（n0）的两个实数根为 、，且 （1）试用含有 、的代数式表示 m 和 n；（2）求证：1；（3）若点 P（，）在ABC的三条边上运动，且ABC顶点的坐标分别为 A（1，2），B（1 2 ，1），C（1，1），问是否存在点 P，使 mn 5 4？若存在，求出点 P 的坐标
36、；若不存在，请说明理由 4请阅读下列材料：问题：已知方程 x 2x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍 解：设所求方程的根为y，则y2x，所以 x y 2 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 把 x y 2 代入已知方程，得(y 2)2 y 2 10 化简，得y 22y40 故所求方程为y 22y40 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：
37、把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程 x 2x20，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_；（2）已知关于 x 的一元二次方程 ax 2bxc0（a0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数 5已知关于 x 的一元二次方程 x 22xa 2a0（a0）（1）证明这个方程的一个根比 2 大，另一个根比 2 小；（2）如果当 a1，2，3，2011 时，对应的一元二次方程的两个根分别为 1、1，2、2，3、3，2011、2011，求 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 2011 1 2011 的值 6已知关于
38、x 的一元二次方程 x 2(abc)xabbcca0，且 abc0（1）若方程有实数根，求证：a，b，c 不能构成一个三角形的三边长；（2）若方程有实数根 x0，求证：bcx0a；（3）若方程的实数根为 6 和 9，求正整数 a，b，c 的值 7已知方程 x 22axa40 有两个不同的实数根，方程 x 22axk0 也有两个不同的实数根，且其两根介于方程 x 22axa40 的两根之间，求 k 的取值范围 9已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4x 24(m1)xm 20 的两个非零实数根，则x1与 x2能否同号？若能同号，请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由 10已
39、知 、为关于 x 的方程 x 22mx3m0 的两个实数根，且()216，如果关于 x的另一个方程 x 22mx6m90 的两个实数根都在 和 之间，求 m 的值 11已知 a 为实数，且关于 x 的二次方程 ax 2(a 21)xa0 的两个实数根都小于 1，求这两个实数根的最大值 12求实数 a 的取值范围，使关于 x 的方程 x 22(a1)x2a60（1）有两个实根 x1、x2，且满足 0 x11x24；（2）至少有一个正根 13已知 x1、x2是方程 x 2mx10 的两个实数根，满足 x1x2，且 x22（1）求 m 的取值范围；（2）若 x2m x1m x1m x2m 2，求 m
40、 的值 14已知关于 x 的方程 x 2(m2)x m 240（m0）与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载（1）求证：这个方程总有两个异号实根；（2）若这个方程的两个实根 x1、x2满足|x2|x1|2，求 m 的值及相应的 x1、x2 15已知ABC 的一边长为 5，另两边长恰是方程 2x 212xm0 的两个根，求 m 的取值范围 16已知：，（）是一元二次方程 x 2x10 的两个实数根，设 s1，s2 2 2，sn
41、n n根据根的定义，有 210，210，将两式相加，得(2 2)()20，于是，得 s2s120 根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求 ，的值，并直接写出 s1，s2的值；（2）猜想：当 n3 时，sn，sn-1，sn-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（2）中的猜想，求(1 5 2 )8(1 5 2 )8的值 17已知方程(x1)(x 22xm)0 的三个实数根恰好构成ABC的三条边长（1）求实数 m 的取值范围；（2）当ABC为直角三角形时，求 m 的值和ABC的面积 28（2011 江苏杨州）在ABC中，90BACABACM，是BC边的中点，MNBC交AC
42、于点N 动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动 同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP设运动时间为t秒（0t）（1）PBM与QNM相似吗？以图为例说明理由；（2）若604 3ABCAB，厘米 求动点Q的运动速度；设APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求22BPPQCQ2、三者之间的数量关系，以图为例说明理由 A B P N Q C M A B C N M 图 1 图 2（备用图）与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四
43、边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载 A D C B P1 P2 P3 P4 Q1 Q2 Q3 Q4 图 3 现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（S 表示面积）问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板 ABC，P1，P2三等分边 AB，R1，R2三等分边 AC 经探究知2121RRPPS四边形13 SABC，请证明 问题 2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题 1 中的拼合成四边形 ABCD，如图 2，Q1，Q2三等分边 DC请探究2211PQQPS四边形与 S四边形ABCD之间的数量关系 问题 3：如图 3，P1，P2，P3，P4五等分边 AB，Q1，Q2，Q3，Q
44、4五等分边 DC若 S四边形ABCD1，求3322PQQPS四边形 问题 4：如图 4，P1，P2，P3四等分边 AB，Q1，Q2，Q3四等分边 DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3 将四边形 ABCD 分成四个部分，面积分别为 S1，S2，S3，S4请直接写出含有 S1，S2，S3，S4的一个等式 28（2011 江苏泰州）在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 a（a 为大于 0 的常数）的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O），顶点 C、D 都在第一象限。A B
45、 C 图 1 P1 P2 R2 R1 A B C 图 2 P1 P2 R2 R1 D Q1 Q2 A D P1 P2 P3 B Q1 Q2 Q3 C 图 4 S1 S2 S3 S4 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和优秀学习资料 欢迎下载（1）当BAO=45 时，求点 P 的坐标；（2）求证：无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点 P 都在AOB 的平分线上；（3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，试确定 h 的
46、取值范围，并说明理由。28（2011 江苏盐城）（本题满分 12 分）如图，已知一次函数 y=x+7 与正比例函数 y =43 x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B.（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴 动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒.当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不 存在，请说明理由 与正方形的顶点重合三角板的一边交于点另一边交的延长线于点求证如行四边形的四条边于四点连结如图试判断四边形的形状并说明理由如图图摆放在一起设较短直角边长为四边形是平行四边形吗说出你的结论和