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1、人教版初中数学全等三角形证明题（经典50 题） （含答案）1. 已知： AB=4，AC=2，D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD?解析：延长 AD 到 E,使 DE=AD, 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+2 4AD6 又 AD 是整数 ,则 AD=5 2. 已知： D 是 AB 中点， ACB=90，求证：12CDAB3. 已知： BC=DE， B=E，C=D，F 是 CD 中点，求证： 1=2 A D B C D A B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
2、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 证明： 连接 BF 和 EF。因为 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。所以 三角形 BCF全等于三角形EDF(边角边 )。所以 BF=EF,CBF=DEF。连接 BE。在三角形BEF中 ,BF=EF 。 所 以EBF=BEF 。 又 因 为ABC=AED 。 所 以ABE=AEB 。 所 以AB=AE 。 在 三 角 形ABF和 三 角 形AEF中 ，AB=AE,BF=EF,ABF= ABE+EBF=AEB+BEF=AEF 。 所
3、 以三 角形ABF 和三角形 AEF 全等。所以BAF=EAF (1=2)。4. 已知： 1=2，CD=DE，EF/AB，求证： EF=AC 证明： 过 E 点，作 EG/AC，交 AD 延长线于G 则DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEF/ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC 5. 已知： AD 平分 BAC，AC=AB+BD ，求证： B=2C 证明： 在 AC 上截取 AE=AB ，连接 EDAD 平分 BACEAD=BAD 又AE=AB，AD=AD AEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CE CE
4、=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C 6. 已知： AC 平分 BAD ，CEAB，B+D=180，求证： AE=AD+BE A B C D E F 2 1 C D B A B A C D F 2 1 E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 证明： 在 AE 上取 F，使 EFEB，连接 CF 因为 CEAB 所以 CEBCEF90因为 EBEF， CECE，所以CEBCEF 所以 BCFE 因为 BD
5、180 ， CFECFA180所以 DCFA 因为 AC 平分 BAD 所以DACFAC 又因为 ACAC 所以ADCAFC（SAS） 所以 ADAF 所以 AEAFFEADBE 12. 如图，四边形 ABCD 中，ABDC，BE、CE 分别平分 ABC、BCD，且点 E 在 AD 上。求证： BC=AB+DC 。证明:在 BC 上截取 BF=BA,连接EF.ABE=FBE,BE=BE,则ABEFBE(SAS), EFB=A;AB 平行于 CD,则:A+D=180 ;又 EFB+EFC=180 ,则EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF
6、+FC=AB+CD. 13.已知： AB/ED ， EAB=BDE，AF=CD，EF=BC， 求证：F=C 证明： AB/ED,AE/BD 推出 AE=BD, 又有 AF=CD,EF=BC 所以三角形 AEF 全等于三角形 DCB，所以:C=F D C B A F E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 14. 已知： AB=CD，A=D，求证： B=C 证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于E， （当 ADBC
7、 时，E 点是射线 AB,DC 的交点） 。则：AED 是等腰三角形。所以： AE=DE 而 AB=CD所以： BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：BEC 是等腰三角形所以：角B=角 C. 15. P是BAC 平分线 AD 上一点， ACAB ，求证： PC-PBAC-AB 证明： 作 B 关于 AD 的对称点 B ，因为 AD 是角BAC 的平分线， B在线段 AC 上（在 AC 中间，因为 AB 较短）因为PCPB +BC,PC -PB BC, 而BC=AC-AB=AC-AB, 所以 PC-PB三角形 ADC全等于三角形 ABC.所以 BC 等于 DC，角 3 等于角4,EC=E
8、C 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以5=634已知ABDE，BCEF，D，C在 AF上，且ADCF，求证： ABCDEF证明： 因为 D,C 在 AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为 AB 平行 DE，BC 平行 EF 所以角A+角 EDF，角 BCA=角 F（两直线平行， 内错角相等）然后 SSA（角角边）三角形全等35已知：如图， AB=AC，BD AC，CE AB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证： BE=CD证明： 因为 AB=AC ，所以 EBC=DCB 因为 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共边 ) 则有 三角形 EBC 全
9、等于三角形DCB 所以 BECD 36、如图，在 ABC 中，AD 为BAC 的平分线， DEAB 于 E，DF654321EDCBAA C B D E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - AC 于 F。求证： DE=DF解析： （AAS）证 ADF 37.已知：如图, ACBC 于 C , DEAC 于 E , ADAB 于 A , BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的长？证明： 角 C=角 E=9
10、0 度角 B=角 EAD=90 度-角 BAC BC=AE ABCDAE AD=AB=5 38如图：AB=AC ，MEAB，MFAC，垂足分别为 E、F，ME=MF 。求证： MB=MC 证明： AB=AC ABC 是等腰三角形 B=C 又ME=MF ，BEM 和CEM 是直角三角形BEM 全等于 CEMMB=MC 39. 如图， 给出五个等量关系： ADBC ACBD CEDEDCDABCBA请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况） ，并加以证明已知：求证：证明：已知 1,2 求证 4 因为 AD=BC AC=BD ，在四边形 ADBC 中，连 AB
11、 所以ADBA E B D C F BCMAFEA B C D C B A E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 全等于 BCA 所以角 D=角 C 以 4,5 为条件， 1 为结论。即：在四边形ABCD 中，D=C，A=B，求证 明 ： AD=BC因 为A+B+C+D=360D=C ， A=B ， 所 以2(A+D)=360 ，A+D=180 ，所以 AB/DC 40在ABC 中，90ACB，BCAC，直线
12、MN 经过点 C，且MNAD于D ，MNBE于 E .(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ADCCEB；BEADDE；(2) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. （1）证明：ACB=90 ，ACD+BCE=90 ，而 ADMN 于 D， BEMN于 E， ADC=CEB=90 ， BCE+CBE=90 ， ACD=CBE 在 RtADC和 RtCEB 中， ADC=CEBACD=CBE AC=CB， RtADCRtCEB（AAS） ，AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD ；
13、（2） 不成立，证明：在ADC 和CEB 中， ADC=CEB=90 ACD=CBE AC=CB， ADCCEB （AAS） ， AD=CE， DC=BE， DE=CE-CD=AD-BE ；41如图所示，已知 AE AB ，AF AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证： （1）EC=BF ； （2）EC BF （1）证明;因为 AE 垂直 AB 所以角 EAB=角 EAC+角 CAB=90 度因为 AF 垂直 AC 所以角 CAF=角CAB+ 角 BAF=90 度所以角EAC=角 BAF因为AE=AB AF=AC 所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等所以 EC=BF 角 ECA=角 F
14、 (2)延长 FB 与 EC 的延长线交于点G 因为角 ECA=角 F(已证）所以角 G=角 CAF 因为角 CAF=90 度所A E B M C F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 以 EC 垂直 BF42如图： BEAC，CFAB，BM=AC ，CN=AB。求证： （1）AM=AN ； （2）AM AN。证明： （1）BEAC，CFABABM+ BAC=90 ，ACN+BAC=90 ABM=ACNBM=A
15、C ，CN=ABABM NACAM=AN （2）ABM NACBAM= NN+BAN=90 BAM+BAN=90 即MAN=90 AM AN 43如图 ,已知 A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF 连接 BF、CE，证明： ABF 全等于 DEC（SAS） ，然后通过四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得 BC 平行于 EF 44如图 ,已知 ACBD，EA、EB 分别平分 CAB 和DBA，CD 过点 E，则AB 与 AC+BD 相等吗？请说明理由证明： 在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC CAE=EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形 CA
16、E 全等三角形 EAN 所以 ANE=ACE 又 AC 平行 BD 所以 ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180 所以 ENB=BDENBE=EBNBE 为公共边 , 所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 45、 如图,已知: AD 是 BC 上的中线,且 DF=DE求证 :BECF证明： AD 是中线 BD=CDDF=DE，BDE=CDFBDECDFBED=CFDBE CFFBCAMNE1234名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
17、 - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 46、已知：如图， ABCD，DEAC，BFAC，E，F 是垂足，DEBF求证：ABCD证明：DEAC，BFAC，DEC=AFB=90 ，在 RtDEC 和 RtBFA 中， DE=BF， AB=CD ，RtDECRtBFA， C=A，ABCD47、如图，已知 1=2，3=4，求证： AB=CD 48、如图，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论. 结论： CEDE。当 AEB 越小，则 DE 越小。证明： 过 D 作 AE 平行线与 AC 交于
18、F，连接FB 由已知条件知 AFDE 为平行四边形， ABEC为矩形 ，且DFB 为等腰三角形。 RTBAE中， AEB 为锐角，即 AEB90 DF/AE FDB=AEB45 RTAFB 中，FBA=90 -DBF 45 ABAF AB=CE AF=DECEDE 49、 如图，已知 ABDC，ACDB，BECE，求证： AEDE. 解析： 先证明 ABCBDC 的出角 ABC= 角 DCB 在证明 ABEDCE 得出 AE=DE A C E D B A D E C B F A B E C D .3421DCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
19、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 50如图 9 所示， ABC 是等腰直角三角形， ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E， 交 AD 于点 F， 求证：ADCBDE证明： 作 CG 平分 ACB 交 AD 于GACB=90 ACG= DCG=45 ACB=90 AC=BCB=BAC=45 B=DCG=ACGCFADACF+DCF=90 ACF+CAF=90 CAF=DCF AC=CB ACG=B ACGCBECG=BE DCG=B CD=BDCDG BDEADC=BDE A B C D E F 图 9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -