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1、-1向量的有关概念名称向量零向量单位向量平行向量定义既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)长度为 0 的向量；其方向是任意的长度等于 1 个单位的向量方向一样或相反的非零向量备注平面向量是自由向量记作 0a a非零向量a a的单位向量为|a|a|0 与任一向量平行或共线两向量只有相等或不等，不能比较大小0 的相反向量为 0共线向量方向一样或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量相反向量2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)长度相等且方向一样的向量长度相等且方向相反的向量运算律(1)交换律：加法求两个向量和的运算a ab bb ba a.(2)结合律：(a ab b)c
2、 ca a(b bc c).求a a与b b的相反向量b b的和的运算叫做a a与b b的差三角形法则(1)|a a|a a|；数乘数与向量a a的积的运算(2)当0 时，a a的方向与a a的方向一样；当0 时，a a的方向与减法a ab ba a(b b)(a a)()a a；()a aa aa a；a a的方向相反；当0 时，a a03.共线向量定理向量a a(a a0)与b b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b ba a.4平面向量根本定理(a ab b)a ab b如果e e1、e e2是同一平面的两个不共线向量，则对于这一平面的任意向量a a，有且只有一对实数1、2，使a a1e
3、e12e e2.其中，不共线的向量e e1、e e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底5平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模.z.-2设a a(*1，y1)，b b(*2，y2)，则a ab b(*1*2，y1y2)，a ab b(*1*2，y1y2)，a a(*1，y1)，|a a|*21y1.(2)向量坐标的求法假设向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(*1，y1)，B(*2，y2)，则AB(*2*1，y2y1)，|AB|(*2*1)2(y2y1)2.6平面向量共线的坐标表示设a a(*1，y1)，b b(*2，y2)，其中b b0.a ab b*1y2*2
4、y10.7平面向量的数量积两个非零向量a a与b b，它们的夹角为，则数量|a a|b b|cos叫做a a与b b的数量积(或积)，记作a ab b|a a|b b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量a a与b b垂直的充要条件是aab b0，两个非零向量a a与b b平行的充要条件是aab b|a|b|a|b|.8平面向量数量积的几何意义数量积aab b等于a a的长度|a a|与b b在a a的方向上的投影|b b|cos的乘积9平面向量数量积的重要性质(1)eea aaae e|a a|cos；(2)非零向量a a，b b，a ab baab b0；(3)当a
5、 a与b b同向时，aab b|a|b|a|b|；当a a与b b反向时，aab b|a|b|a|b|，aaa a|a a|2，|a a|aaa a；aab b(4)cos；(5)|aab b|_|a|b|a|b|.|a|b|a|b|10平面向量数量积满足的运算律(1)aab bbba a(交换律)；(2)(a a)b b(aab b)a a(b b)(为实数)；(3)(a ab b)c caac cbbc c.11平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a a(*1，y1)，b b(*2，y2)，则aab b*1*2y1y2，由此得到(1)假设a a(*，y)，则|a a|2*2y2或|a a
6、|*2y2.(2)设A(*1，y1)，B(*2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|AB|(*2*1)2(y2y1)2.(3)设两个非零向量a a，b b，a a(*1，y1)，b b(*2，y2)，则a ab b*1*2y1y20.12向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型线平行、点共线等问题所用知识共线向量定理公式表示a ab ba ab b*1y2*2y10，其中a a(*1，y1)，b b(*2，y2)垂直问题数量积的运算性质.z.a ab ba ab b0*1*2y1y20，a a(*1，y1)，b b(*2，y2)，其中a a，b b为非零向量-夹角
7、问题长度问题数量积的定义数量积的定义a ab bcos(为向量a a，b b的夹角)|a a|b b|a a|a a2*2y2，其中a a(*，y)平面向量单元测试卷一、选择题：此题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分1以下命题中的假命题是A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。2若 a 是任一非零向量，b 是单位向量；|a|b|；a b；|a|0；|b|1；A、B、C、D、3设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a b c 0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。则命题甲是命题乙的A、充分不必要条件 B、必要
8、不充分条件C、充要条件 D、非充分也非必要条件4下列四式中不能化简为AD的是（）A、（ABCD）BCB、（AMMB）（BCCD）C、D、OCOACD（ACAB）（AD CB）5设 a （2，4），b （1，2），则（）A、a与b共线且方向相反B、a与 b 共线且方向相同C、a与b不平行D、a 与 b 是相反向量6如图 1，ABC 中，D、E、F 分别是边 BC、CA 和 AB 的中点，G 是ABC 中的重心，则以下各等式中A不成立的是21121A、BG BEB、DG AGC、CG 2FGD、DAFC BC323321（2，1cos），b（1cos，），且ab，则锐角（7设a4FEGDCB）图1
9、A、B、C、D、或46363.z.-8若C分AB所成比为3，则A分CB所成的比是（A、B、3）32C、D、-2）239若a b 0，则a与b的夹角的范围是（2222A、0，)B、，)C、(，)D、(，10设 a与 b 都是非零向量，若a 在 b 方向的投影为3，b 在 a 方向的投影为4，则a 的模与b的模之比值为A、B、C、D、二、填空题此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分11若 a与 b 都是单位向量，则|ab|的取值范围是_。112ABC中，BDBC，则用AB和AC表示 AD_。33443374713设 a(x3，x3y4)，若 a 与AB相等，且A、B两点的坐标分别为(1，2)
10、和(3，2)，则*=。14设 a与 b 是共线向量，|a|3，|b|5，则 ab_。三、解答题：此题共 4 小题，每题 10 分，共 40 分15a (2sin(x),cos x),b (cos(x),2 3sinx),记f(x)ab.441求f(x)的周期和最小值；2假设f(x)按m平移得到y 2sin2x，求向量m.16a、b是两个不共线的向量，且a=cos，sin,b=cos，sin求证：a+b与ab垂直；假设,4 4，=，且|a+b|=416，求 sin.517设ae1 2e2，b 3e1 2e2，其中e1e2且e1e1e2e2 1.1计算|ab|的值；.z.-33*18向量a(cos
11、*，sin*)，b(cos，sin)，其中*0，(1)求ab及|ab|；(2)假设f(*)222223ab2|ab|的最小值为，求的值2参考答案一、1D2B3B4C5A6B7A8A9D 10A21二、110，212AD ABAC13-1331415三、1516解：1a=4cos，3sin，b=3cos，4sin|a|=|b|=1又a+bab=a2b2=|a|2|b|2=0a+bab2|a+b|2=a+b2=|a|2+|b|2+2ab=2+2ab=1653又ab=coscossinsin=5cos()(,)4 435 02sin=sin sin()=sincoscos()sin =17解：3*3*18解：(1)abcos*cossin*sincos2*，|ab|22cos2*2cos*(2)f(*)ab2|ab2222|cos2*4cos*2cos*14cos*2(cos*)21 注意到*0，故cos*0，1，假设0，当222245452322 25210cos*0 时f(*)取最小值1。不合条件，舍去.假设 01，当cos*时，f(*)取最小值221，令223131 且 01，解得，假设1，当cos*1 时，f(*)取最小值 14，令 14 且1，无2221解综上：为所求.2.z.