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1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课后篇稳固提升根底稳固1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.由金、银、铜、铁可导电,猜测:金属都可导电B.猜测数列112,123,134,的通项公式为an=1n(n+1)(nN*)C.半径为r的圆的面积为r2,那么单位圆的面积为D.由在平面直角坐标系中,圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2解析选项A,B是归纳推理,选项D是类比推理,只有选项C是演绎推理.答案C2.(多项选择)在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有以下四个命题:增函数的定义是大前
2、提;增函数的定义是小前提;函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是()A.B.C.D.解析根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义;结论是f(x)=2x+1为增函数,故正确.答案AD3.推理“矩形是平行四边形,三角形不是平行四边形,所以三角形不是矩形中的小前提是()A.B.C.D.和解析大前提为,小前提为,结论为.答案B4.某学校方案在周一至周四的艺术节上展演?雷雨?茶馆?天籁?马蹄声碎?四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧?雷雨?不能在周一和周四上演,?茶馆?不能在周
3、一和周三上演,?天籁?不能在周三和周四上演,?马蹄声碎?不能在周一和周四上演,那么以下说法正确的选项是()A.?雷雨?只能在周二上演B.?茶馆?可能在周二或周四上演C.周三可能上演?雷雨?或?马蹄声碎?D.四部话剧都有可能在周二上演解析由题意可知,周一上演?天籁?,周四上演?茶馆?,周二上演?雷雨?(或?马蹄声碎?) ,周三上演?马蹄声碎?(或?雷雨?),应选C.答案C5.函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线,用三段论表示为:大前提.小前提.结论.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y=x2+2x+1是二次函数函数y=x2+2x+1的图象是一条抛物线6.三段论“平面内到两定点F1,F2的距离
4、之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),那么M点的轨迹是椭圆(结论)中的错误是.解析大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.而因为F1(-2,0),F2(2,0)间距离为|F1F2|=4,所以平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是线段而不是椭圆.答案大前提7.将以下演绎推理写成“三段论的形式.(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行;(2)菱形对角线互相平分;(3)函数f(x)=x2-cos
5、 x是偶函数.解(1)太阳系的大行星都沿椭圆形轨道绕太阳运行,大前提海王星是太阳系中的大行星,小前提所以海王星沿椭圆形轨道绕太阳运行.结论(2)平行四边形对角线互相平分,大前提菱形是平行四边形,小前提所以菱形对角线互相平分.结论(3)假设对函数f(x)定义域中的任意x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函数,大前提对于函数f(x)=x2-cos x,当xR时,有f(-x)=f(x),小前提所以函数f(x)=x2-cos x是偶函数.结论8.设a0,f(x)=exa+aex是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)求证:f(x)在(0,+)内是增函数.(1)解f(x)是R上的偶函数,对于一切
6、xR,都有f(x)=f(-x),exa+aex=e-xa+ae-x=1aex+aex,即1a-aex-1ex=0对一切xR成立.ex-1ex不恒等于0,1a-a=0,即a2=1,a=1,又a0,a=1.(2)证明任取x1,x2(0,+),且x10,x20,且x10,x1+x20,ex2-x1-10,1-ex1+x20.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).故f(x)在(0,+)内是增函数.能力提升1.以下推理属于演绎推理的是()A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电C.两条直线平行,同位角相等,假设角A与角B是两条平行直
7、线的同位角,那么A=BD.在数列an中,a1=2,an=2an-1+1(n2),猜测an的通项公式解析对于A选项,由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理;对于B选项,由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电是归纳推理;对于C选项,两条直线平行,同位角相等,假设角A与角B是两条平行直线的同位角,那么A=B是演绎推理;对于D选项,在数列an中,a1=2,an=2an-1+1(n2),猜测an的通项公式是归纳推理.应选C.答案C2.三段论“船只要准时起航,就能准时到达目的港,这艘船准时到达目的港,这艘船是准时起航的.中的小前提是()A.B.C.D.解析此题中为大前提,为小前提
8、,为结论.答案D3.自主招生联盟成形于2022年清华大学等五校联考,主要包括“北约联盟,“华约联盟,“卓越联盟和“京派联盟.在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时,得到如下结果:报考“北约联盟的学生,都没报考“华约联盟;报考“华约联盟的学生,也报考了“京派联盟;报考“卓越联盟的学生,都没报考“京派联盟;不报考“卓越联盟的学生,就报考“华约联盟.根据上述调查结果,以下结论错误的选项是()A.没有同时报考“华约和“卓越联盟的学生B.报考“华约和“京派联盟的考生一样多C.报考“北约联盟的考生也报考了“卓越联盟D.报考“京派联盟的考生也报考了“北约联盟解析设报考“北约联盟,“华约联盟,“京派联盟
9、和“卓越联盟的学生分别为集合A,B,C,D,那么由题意知,AB=,BC,DC=,UD=B,AD,B=C,UD=B.选项A,BD=,正确;选项B,B=C,正确;选项C,AD,正确.应选D.答案D4.假设函数f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)(a,bN*),且f(1)=2,那么f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(2 016)f(2 015)=.解析因为f(a+b)=f(a)f(b)(a,bN*),所以可令b=1,得f(a+1)=f(a)f(1),于是f(a+1)f(a)=2,故f(2)f(1)+f(3)f(2)+f(2 016)f(2 015)=22 015=4 030.答案4 030
10、5.如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,运用三段论证明:BD平面PAC.证明如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线,大前提PO平面ABCD,BD平面ABCD,小前提所以POBD.结论正方形的对角线互相垂直,大前提AC,BD是正方形ABCD的对角线,小前提所以ACBD.结论如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直,大前提POBD,ACBD,POAC=O,且PO平面PAC,AC平面PAC,小前提所以BD平面PAC.结论6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图
11、.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规定,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.(1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明);(2)求证:1f(1)+1f(2)+1f(3)+1f(n)43.(1)解f(4)=37,f(5)=61.由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=26,f(4)-f(3)=37-19=36,f(5)-f(4)=61-37=46,因此,当n2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),所以f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+f(2)-f(1)+f(1)=6(n-1)+(n-2)+2+1+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=312-31+1,所以f(n)=3n2-3n+1.(2)证明当k2时,1f(k)=13k2-3k+113k2-3k=131k-1-1k,所以1f(1)+1f(2)+1f(3)+1f(n)1+131-12+12-13+1n-1-1n=1+131-1n1+13=43.