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1、17-1 概述一一.前面讨论了：前面讨论了：杆件在基本变形情况下杆件在基本变形情况下横截面上的应力横截面上的应力 并根据并根据横截面上的最大应力横截面上的最大应力建立了强度条件建立了强度条件例如：例如：1.轴向拉伸（压缩）轴向拉伸（压缩）2.扭转扭转3.弯曲弯曲 上述强度计算中认为：杆件是上述强度计算中认为：杆件是沿横截面破坏沿横截面破坏的的实际上实际上 有有一些杆件是沿横截面破坏的一些杆件是沿横截面破坏的例如：例如：铸铁在拉伸时铸铁在拉伸时 低碳钢在扭转时低碳钢在扭转时 另另一些杆件是沿斜截面破坏的一些杆件是沿斜截面破坏的例如：例如：铸铁在压缩时铸铁在压缩时 铸铁在扭转时铸铁在扭转时前面所建
2、立的强度条件不能用于这类构件的强度计算前面所建立的强度条件不能用于这类构件的强度计算必须建立新的强度条件，必须研究斜截面上的应力必须建立新的强度条件，必须研究斜截面上的应力轴向拉伸（压缩）中，斜截面上的应力：轴向拉伸（压缩）中，斜截面上的应力：不同的斜截面上的应力情况是不同的不同的斜截面上的应力情况是不同的任意两个斜截面上的应力有必然的联系任意两个斜截面上的应力有必然的联系二二.一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态：受力杆件内任一点在各个截面上应力状况的集合受力杆件内任一点在各个截面上应力状况的集合称为称为该点的应力状态该点的应力状态。例如：例如：在轴向拉伸（压缩）时在轴向
3、拉伸（压缩）时 由于铸铁的抗切能力较弱由于铸铁的抗切能力较弱 铸铁在轴向压缩时的破坏实际上是由铸铁在轴向压缩时的破坏实际上是由 max引起的引起的三、三、应力状态的表示方法应力状态的表示方法 单元体单元体 边长为无穷小的正六面体边长为无穷小的正六面体单元体的特点：单元体的特点：1.边长边长无穷小，相邻面垂直，对面平行；无穷小，相邻面垂直，对面平行；2.各面上的应力均匀分布；各面上的应力均匀分布；3.相平行面上的应力相等。相平行面上的应力相等。围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力表示方法：表示方法：围绕该点截取一单元体，并标明各面上的应力围绕该点截取一
4、单元体，并标明各面上的应力表示方法：表示方法：主平面主平面切应力为零的平面切应力为零的平面 主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力 围绕该点截取一单元体，并标明各面上的应力围绕该点截取一单元体，并标明各面上的应力表示方法：表示方法：可以证明：可以证明：受力构件的任一点可以找到三个相互垂直的主平面受力构件的任一点可以找到三个相互垂直的主平面即：即：受力构件的任一点有三个主应力受力构件的任一点有三个主应力主应力单元体主应力单元体受主应力作用的单元体受主应力作用的单元体规定：规定：按按代数值代数值大小排列成大小排列成单向应力状态单向应力状态四、四、应力状态的分类应力状态的分类只有一个主应力不等
5、于零的应力状态只有一个主应力不等于零的应力状态二向应力状态二向应力状态 有有 二个主应力不等于零的应力状态二个主应力不等于零的应力状态三向应力状态三向应力状态 三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态单向应力状态单向应力状态四、四、应力状态的分类应力状态的分类简单应力状态简单应力状态二向应力状态二向应力状态 平面应力状态平面应力状态三向应力状态三向应力状态 空间应力状态空间应力状态复杂应力状态复杂应力状态1.单向应力状态单向应力状态五、五、应力状态的实例应力状态的实例 轴向拉伸杆件内的任一点轴向拉伸杆件内的任一点 锅炉或其锅炉或其它它薄壁薄壁圆筒形容器壁上的任一点圆筒形容器壁上
6、的任一点2.二向二向应力状态应力状态轴向应力：轴向应力：环向应力：环向应力：在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点 A3.三向三向应力状态应力状态18 平面应力状态平面应力状态是是工程中工程中常见常见的应力状态的应力状态，例如例如：一、概述一、概述 1.受扭转的轴受扭转的轴 2.受平面弯曲的梁受平面弯曲的梁 3.受蒸汽压力的薄壁圆筒受蒸汽压力的薄壁圆筒平面应力状态通常用平面图形表示平面应力状态通常用平面图形表示22二二.应力分析的解析法应力分析的解析法（1 1）斜截面应力）斜截面应力23：拉应力为正拉应力为正：顺时针转动为正顺时针转动为正：逆时针转动为正逆时针转动为正 平
7、衡对象平衡对象用用 斜截斜截 面截取的微元局部面截取的微元局部F 平衡方程平衡方程 参加平衡的量参加平衡的量应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积2.2.斜面上的应力斜面上的应力微元体的平衡方程微元体的平衡方程 yxn25 cos)cos(Ax yA(sin)sinA +A(cos)sinxy+A(sin)cosyx法向的平衡法向的平衡 yxn26 A-xA(cos)sin-xyA(cos)cos+yA(sin)cos+yxA(sin)sin切向平衡切向平衡 yxn27注：三角公式28讨论：29例例 图示一矩形截面简支梁，在跨中有集中力图示一矩形截面简支梁，在跨中有集中力F作用。作用。已知：
8、已知：求离左支座求离左支座 处截面上处截面上C点在斜截面点在斜截面 上上的应力。解：解：313233 zx例例 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAA x xMPxyzBC x xB xz xy yx342.2.主应力主应力1.1.斜截面应力斜截面应力注注意意：2 0的的值值与与其其所所在在的的象象限限有有关关，而而其其所所在在象象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：限与计算式中分子、分母的正负有关，即：IV象限。象限。注注意意：2 0的的值值与与其其所所在在的的象象限限有有关关，而而其其所所在在象象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：限与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限
9、；象限；II象限；象限；III象限；象限；方位角方位角 0为：为：363738由由3940由：41例例 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭时讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭时的破坏原因的破坏原因解解：试样内任一点处于试样内任一点处于纯剪切应力状态纯剪切应力状态 纯剪切应力状态为二向应力状态纯剪切应力状态为二向应力状态铸铁试样受扭时的破坏是由拉应力所致，且由外向内逐渐破坏铸铁试样受扭时的破坏是由拉应力所致，且由外向内逐渐破坏 例例 用解析法求图示单元体的用解析法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体
10、上；主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大剪应力值。最大剪应力值。解：解：44=105MPa,1,=02=-65MPa31tan=-=xxy2-2045三、平面应力状态分析的图解法三、平面应力状态分析的图解法由由有有圆的方程圆的方程圆心为圆心为半径为半径为的圆的圆应力圆应力圆莫尔圆莫尔圆应力圆上的点与单元体斜截面上的应力一一对应应力圆上的点与单元体斜截面上的应力一一对应1.原理原理2.应力圆的作法应力圆的作法(1)选取平面直角坐标系选取平面直角坐标系 ；(2)按比例标出按比例标出D1(x,xy)和和D2(y,yx)两点；两点；(3)用直线连接用直线连接D1和和D2两点，交两点，交 轴于轴
11、于C点；点；(4)以以C为圆心，以为圆心，以CD1或或CD2为半径作圆，即得应力圆为半径作圆，即得应力圆证明证明：由此作出的圆为应力圆由此作出的圆为应力圆圆心：圆心：半径半径：3.应力圆与单元体的对应关系应力圆与单元体的对应关系(1)利用利用应力圆确定单元体任一斜截面上应力圆确定单元体任一斜截面上的的应力应力 将半径将半径逆时针逆时针旋转旋转2 角角注意注意：单元体上逆时针转单元体上逆时针转 应力圆上逆时针转应力圆上逆时针转2(2)利用利用应力圆确定主应力与主平面应力圆确定主应力与主平面(3)利用利用应力圆确定极值应力圆确定极值切切应力及其作用面应力及其作用面应力圆的几种对应关系应力圆的几种对
12、应关系(3)(3)转向对应转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；方向一致；(4)(4)二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。两倍。(1)(1)单元体与应力圆对应单元体与应力圆对应 单元体的应力分量已知一单元体的应力分量已知一般来说对应着唯一的应力圆；般来说对应着唯一的应力圆；(2)(2)点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；微元某一方向上的正应力和切应力；54解：解：C点应力状态如图点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：所示，其拉应力和切
13、应力为：例例 图图示示圆圆轴轴中中，已已知知：圆圆轴轴直直径径d=100mm，轴轴向向拉拉力力F=500kN，外外力力矩矩Me=7kNm。求求C点点 =30截截面面上上的应力。的应力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCF55 图示斜截面上应力分量为：图示斜截面上应力分量为：Cxxxxxytyy30n-30-3056解：按一定比例画出应力圆。解：按一定比例画出应力圆。例例 用图解法求图示用图解法求图示 =30斜截面上的应力值。斜截面上的应力值。图示应力状态有图示应力状态有：x30 x=35.7MPax=63.7MPayn57 按按一一定定比比例例，作作出出应应力力圆圆，并并找找到到斜斜截截
14、面面对对应应的点，量取其坐标可得：的点，量取其坐标可得：则则x、y截面在应力圆上两点为：截面在应力圆上两点为：EDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30(-30，)20MPa58例例 求图求图a所示应力状态的主应力及方向。所示应力状态的主应力及方向。解：解：1、应力圆图解法：、应力圆图解法：因为：因为：所以：所以：按按一定比例作出应力圆（图一定比例作出应力圆（图b）。）。yx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)59 由由应应力力圆圆通通过过直直接接量量取取，并并考考虑虑主主应应力力的的大大小关系可得：小关系可得：由此可得：由此可得：主应力单元体
15、以及主平面的方位如图主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：所示：101yx(c)602 2、解析法、解析法 ：所以：所以：61 例例 分别用解析法和图解法求图示单元体的分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大剪应力值。最大剪应力值。解：解：()使用解析法求解使用解析法求解63=105MPa,1,=02=-65MPa31tan=-=xxy22064()使用图解法求解使用图解法求解=10222=105max65=-min=85max5=220.作应力圆，从
16、应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：例例 一点处的应力状态如图所示，试用应力一点处的应力状态如图所示，试用应力圆求主应力。圆求主应力。CL10TU70低碳钢低碳钢铸铁铸铁 例例 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。6768圆筒形薄壁压力容器，内径为圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为壁厚为 t，承承受内力受内力p作用作用69圆球形薄壁容器，壁厚为圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为内径为D，承受内承受内压压p作用。作用。70 例例 一点的应力状态如图所示（应力单位一点的应力状态如图所示（应力
17、单位 MPaMPa），），试作应力圆求主应力及其作用平面。试作应力圆求主应力及其作用平面。327，-237127，-737172一、应力圆一、应力圆已知已知 1、2、3 与与 3的主平面垂直的斜截面上的应力仅与的主平面垂直的斜截面上的应力仅与 1和和 2有关有关 与与 1的主平面垂直的斜截面上的应力仅与的主平面垂直的斜截面上的应力仅与 2和和 3有关有关 与与 2的主平面垂直的斜截面上的应力仅与的主平面垂直的斜截面上的应力仅与 3和和 1有关有关研究表明：研究表明：任意斜截面任意斜截面abc上的应力必位于上的应力必位于以以上述三个应力圆上述三个应力圆为为边界边界所围成的所围成的区域区域内内研究
18、表明：研究表明：任意斜截面任意斜截面abc上的应力必位于上的应力必位于以以上述三个应力圆上述三个应力圆为为边界边界所围成的所围成的区域区域内内二、最大切应力二、最大切应力由由应力圆可知应力圆可知：注意区别注意区别：一点的最大一点的最大切切应力应力平面平面应力状态中的最大应力状态中的最大切切应力应力例例 试求图示应力状态的主应力和最大切应力。试求图示应力状态的主应力和最大切应力。解解：主应力：主应力：最大切应力：最大切应力：(a)对对(b)：(b)(c)对对(a)：例例 求图示应力状态的主应力和最大剪应力求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为（应力单位为MPaMPa）。）。解：解：例例
19、用用应应力力圆圆求求图图a所所示示应应力力状状态态的的主主应应力力、主主平平面面，最大切应力最大切应力 max及作用面。及作用面。解解：由由图图示示应应力力状状态态可可知知 z=20MPa为为一一主主应应力力，则则与与该该应应力力平平行行的的斜斜截截面面上上的的应应力力与与其其无无关关。可可由由图图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz80最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。O31ACD2D1(c)Omax321BACD2D120(d
20、)202040(b)81 作用面与作用面与 2平行而与平行而与 1成成45角，如图角，如图e所示。所示。最大剪应力对应于最大剪应力对应于B点的纵坐标，即点的纵坐标，即x(e)321max4517Omax321BACD2D120(d)82解析法：解析法：83圆筒形薄壁压力容器，内径为圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为壁厚为 t，承承受内力受内力p作用作用8485一、平面应变的概念一、平面应变的概念一点的应变状态一点的应变状态受力受力构件内一点在各个方向应变构件内一点在各个方向应变 平面应变状态平面应变状态构件内某点仅发生在同一平面内构件内某点仅发生在同一平面内实验应力分析方法：实验应力分析方
21、法：的应变状态的应变状态(1)用电阻应变仪测出构件表面某点几个方向线应变用电阻应变仪测出构件表面某点几个方向线应变(2)对对该点进行应变状态分析该点进行应变状态分析(3)根据胡克定律求出该点的应力状态根据胡克定律求出该点的应力状态构件自由表面上的点的变形一般处于平面应变状态构件自由表面上的点的变形一般处于平面应变状态情况情况的的集合集合规定：规定：正应变正应变(线应变线应变)：伸长为正，缩短为负：伸长为正，缩短为负 切应变切应变(角应变角应变)：使直角增大为正，减小为负：使直角增大为正，减小为负问题：问题：已知：已知：O点的点的 x、y、xy 求：求：O点的点的 、2.图图解法解法分析方法：分
22、析方法：规定：规定：逆时针为正，顺时针为负逆时针为正，顺时针为负 1.解析法解析法二、平面应变分析的解析法二、平面应变分析的解析法应用叠加原理应用叠加原理1.线应变线应变应用叠加原理应用叠加原理应用叠加原理应用叠加原理2.切应变切应变 x轴的转角轴的转角(顺时针方向顺时针方向)应用叠加原理应用叠加原理2.切应变切应变 y轴的转角轴的转角(顺时针方向顺时针方向)即：即：方向的方向的应变应变为为 方向的方向的应应力力为为可见：可见：三、平面应变分析的图解法三、平面应变分析的图解法94四、主应变四、主应变主应变主应变一点的两个相互垂直方向的切应变为零时一点的两个相互垂直方向的切应变为零时 沿这两个方
23、向的线应变沿这两个方向的线应变 （即：一点的极值线应变）（即：一点的极值线应变）四、主应变四、主应变大小：大小：方向：方向：主应变的方向是相互垂直的主应变的方向是相互垂直的对于对于各向同性材料各向同性材料，主应变的方向与主应力的方向相同，主应变的方向与主应力的方向相同五、五、极值极值切切应变应变大小：大小：方向：方向：与主应变与主应变方向方向成成45六、由任意三个方向线应变求主应变六、由任意三个方向线应变求主应变 方向的应变为方向的应变为即：即：一点的应变可由一点的应变可由 x、y、xy描述描述 在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个先确定出先
24、确定出 x、y、xy，再求出该点的主应变及方向再求出该点的主应变及方向不同方向的线应变不同方向的线应变 在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个例如：例如：直角应变花直角应变花不同方向的线应变不同方向的线应变(=0，=45，=90 )各种各种应变计：应变计：已知已知，x=345106，45=208106,y=149106。试求主应变的数值和方向。试求主应变的数值和方向。例例 题题解解:102103104一、广义胡克定律一、广义胡克定律1.单向应力状态单向应力状态或或2.纯剪切应力状态纯剪切应力状态或或3.复杂应力状态复杂应力状态(1)主应力情况主
25、应力情况3.复杂应力状态复杂应力状态(1)主应力情况主应力情况3.复杂应力状态复杂应力状态(1)主应力情况主应力情况用主应力和主应变表示的用主应力和主应变表示的广义胡克定律广义胡克定律3.复杂应力状态复杂应力状态(2)一般应力情况一般应力情况 对于对于各向同性材料各向同性材料：线应变只与正应力有关线应变只与正应力有关 切应变只与切应力有关切应变只与切应力有关广义胡克定律广义胡克定律3.复杂应力状态复杂应力状态 (1)平面应力状态平面应力状态 (2)平面应变状态平面应变状态两种平面状态：两种平面状态：3.复杂应力状态复杂应力状态对于平面应力状态对于平面应力状态 或或二、二、E、G 之间的关系之间
26、的关系对于对于纯剪切应力状态纯剪切应力状态一方面：一方面：(1)另一方面：另一方面：(2)由由(1)和和(2)：三、三、体积应变体积应变体积应变体积应变变形后：变形后：变形前：变形前：单位体积的体积改变单位体积的体积改变略去高阶微量略去高阶微量体积应变体积应变三、三、体积应变体积应变体积应变体积应变变形后：变形后：变形前：变形前：单位体积的体积改变单位体积的体积改变利用广义胡克定律利用广义胡克定律体积模量体积模量平均正应力平均正应力体积应变只与三个正应力之和有关体积应变只与三个正应力之和有关体积胡克定律体积胡克定律三、三、体积应变体积应变式中式中 例例 如图刚性槽内放置边长为如图刚性槽内放置边
27、长为1 1的立方体。的立方体。若上部压力为若上部压力为q q，求立方体的应力。求立方体的应力。解：用广义虎克定律求解：用广义虎克定律求解解qyzx已知已知例例 已已知知一一受受力力构构件件自自由由表表面面上上某某点点处处的的两两主主应应变变值值为为 1=24010-6，3=16010-6。材材料料的的弹弹性性模模量量E=210GPa，泊泊松松比比 =0.3。求求该该点点处处的的主主应应力力值值数数，并并求求另另一一应应变变 2的的数数值值和方向。和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：即为即为平面应力状态，有平面应力状态，有117联立两式可解
28、得：联立两式可解得：主应变主应变 2为：为：其其方向必与方向必与 1和和 3垂直，沿构件表面的法线方向。垂直，沿构件表面的法线方向。118 例例 讨论图示各应力状态下的体积应变。讨论图示各应力状态下的体积应变。因为：因为：所以：所以：2010050(a)408050(b)因为：因为：所以：所以：可见：可见：119=可见，图可见，图c和和d所示应力状态下无体积应变。所示应力状态下无体积应变。4010060(c)(d)因为：因为：所以：所以：因为：因为：所以：所以：120 边长边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中。形可忽略的钢凹
29、槽中。(a)Faaa例例已知：弹性模量已知：弹性模量E=100GPa，泊松比，泊松比 =0.34，F=300kN。试求：铜块的主应力、体应变及最大切应力。试求：铜块的主应力、体应变及最大切应力。121联解可得：联解可得：(a)Faaayxz(b)yxz122利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则则铜块的主应力为：铜块的主应力为：由此可得其体应变为：由此可得其体应变为：123例例 已已知知图图示示简简支支梁梁跨跨中中C点点45方方向向的的线线应应变变，材材料料的的弹弹性性模模量量为为E，横横向向变变形形系系数数为为。求载荷求载荷F。l/32l/3F
30、C45bhC124 所以：所以：解：解：C453=1=125例例 图示圆截面杆，已知图示圆截面杆，已知d=100mm,E=200Gpa,=0.3,求求F、M。解：解：126127例题例题例题例题 一直径一直径一直径一直径 d d=20mm=20mm的实心圆轴的实心圆轴的实心圆轴的实心圆轴,在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩MMe e=126N=126N m.m.在轴的表面上某一点在轴的表面上某一点在轴的表面上某一点在轴的表面上某一点A A处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成-45-45方向的应变方向的应变
31、方向的应变方向的应变 =5.0=5.0 1010-4-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量G G.MeMeA45x128解解解解:围绕围绕围绕围绕A A点取一单元体点取一单元体点取一单元体点取一单元体A A 1 3 -45-45A A129Dd dyMeKx例题例题例题例题 壁厚壁厚壁厚壁厚 d d d d=10mm,=10mm,外径外径外径外径 D D=60=60mmmm的薄壁圆筒的薄壁圆筒的薄壁圆筒的薄壁圆筒,在表面上在表面上在表面上在表面上K K 点与点与点与点与其轴线成其轴线成其轴线成其轴线成4545 和和
32、和和135135 角角角角,即即即即 x,yx,y 两方向分别贴上应变片两方向分别贴上应变片两方向分别贴上应变片两方向分别贴上应变片,然后在圆筒然后在圆筒然后在圆筒然后在圆筒两端作用矩为两端作用矩为两端作用矩为两端作用矩为 MMe e 的扭转力偶的扭转力偶的扭转力偶的扭转力偶,如图所示如图所示如图所示如图所示,已知圆筒材料的弹性常已知圆筒材料的弹性常已知圆筒材料的弹性常已知圆筒材料的弹性常数为数为数为数为E E=200GP=200GPa a 和和和和 =0.3,=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内若该圆筒的变形在弹性范围内若该圆筒的变形在弹性范围内若该圆筒的变形在弹性范围内,且且且且 max
33、max=100MPa,100MPa,试求试求试求试求K K点处的线应变点处的线应变点处的线应变点处的线应变 x x ,y y 以及变形后的筒壁厚度以及变形后的筒壁厚度以及变形后的筒壁厚度以及变形后的筒壁厚度.130 解解解解:从圆筒表面从圆筒表面从圆筒表面从圆筒表面 K K 点处取出单元体点处取出单元体点处取出单元体点处取出单元体,其各面上的应力分量如其各面上的应力分量如其各面上的应力分量如其各面上的应力分量如图所示可求得图所示可求得图所示可求得图所示可求得Dd dyMeKx -45-45xyk 1 3 max maxK K131 K K点处的线应变点处的线应变点处的线应变点处的线应变 x x
34、 ,y y 为为为为（压应变）（压应变）（压应变）（压应变）（拉应变）（拉应变）（拉应变）（拉应变）圆筒表面上圆筒表面上圆筒表面上圆筒表面上K K点处沿径向点处沿径向点处沿径向点处沿径向 （z z轴）的应变和圆筒中任一点（该轴）的应变和圆筒中任一点（该轴）的应变和圆筒中任一点（该轴）的应变和圆筒中任一点（该点到圆筒横截面中心的距离为点到圆筒横截面中心的距离为点到圆筒横截面中心的距离为点到圆筒横截面中心的距离为 ）处的径向应变为）处的径向应变为）处的径向应变为）处的径向应变为 因此因此因此因此,该圆筒变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变
35、化,仍然为仍然为仍然为仍然为 d d d d =10mm.=10mm.132bhzb=50mmh=100mm例题例题例题例题13 13 已知矩形外伸梁受力已知矩形外伸梁受力已知矩形外伸梁受力已知矩形外伸梁受力F F1 1,F F2 2作用作用作用作用.弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量E E=200GPa,=200GPa,泊泊泊泊松比松比松比松比 =0.3,=0.3,F F1 1=100KN,=100KN,F F2 2=100KN.=100KN.求求求求:（1 1）A A点处的主应变点处的主应变点处的主应变点处的主应变 1 1,2 2,3 3（2 2）A A点处的线应变点处的线应变点处的线应变点
36、处的线应变 x x,y y,z zaAF1F2F2l133解解解解:梁为拉伸与弯曲的组合变形梁为拉伸与弯曲的组合变形梁为拉伸与弯曲的组合变形梁为拉伸与弯曲的组合变形.A A点有拉伸引起的正应力和弯曲点有拉伸引起的正应力和弯曲点有拉伸引起的正应力和弯曲点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力引起的切应力引起的切应力引起的切应力.（拉伸）拉伸）拉伸）拉伸）（负）负）负）负）A x=20 x x=30=30 （1 1）A A点处的主应变点处的主应变点处的主应变点处的主应变 1 1，2 2，3 3134 （2 2）A A点处的线应变点处的线应变点处的线应变点处的线应变 x x,y y,z z135例题例
37、题例题例题14 14 简支梁由简支梁由简支梁由简支梁由1818号工字钢制成号工字钢制成号工字钢制成号工字钢制成.其上作用有力其上作用有力其上作用有力其上作用有力F F=15kN,=15kN,已知已知已知已知 E E=200GPa,=200GPa,=0.3.=0.3.0.50.50.25FA04590求：求：求：求：A A 点沿点沿点沿点沿 0 0 ,45,90,45,90方向的线应变方向的线应变方向的线应变方向的线应变h/4136 解解解解:y yA A ,I Iz z ,d ,d 查表得出查表得出查表得出查表得出为图示面积对中性轴为图示面积对中性轴为图示面积对中性轴为图示面积对中性轴z z的
38、静矩的静矩的静矩的静矩zAh/4A A A=50.8 A A =68.8=68.81370.5F1351350 00.50.25A04590h/4A A A=50.8 A A =68.8=68.81381.轴向拉压杆7-6 空间应力状态下的应变能密度一一.概述概述1392.等直圆杆扭转等直圆杆扭转O1403.3.梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能(1).纯弯曲：纯弯曲：(2).横力弯曲：W141 在在线线弹弹性性范范围围和和小小变变形形条条件件下下，应应变变能能与与加加载载顺序无关，只取决于外力顺序无关，只取决于外力(变形变形)的最终值。的最终值。1、单向应力状态dzdydx二二.应变能密度应变能密
39、度1422、三向应力状态 比比例例加加载载：图图示示主主单单元元体体中中，各各面面上上的的应应力力按按同同一一比比例例增增加加直直至最终值。至最终值。dzdydx213 此此时时，对对每每一一主主应应力力，其其对对应应的的应应变变能能仅仅与与对对应应的的主主应应变变有有关关，而而与与其其它它主主应应力力在在该该主主应应变变上上不不作功，同时考虑三个主应力，有：作功，同时考虑三个主应力，有：143广义虎克定律广义虎克定律则则应变能密度为：应变能密度为：主单元体体积为：主单元体体积为：空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度144 体积改变能密度密度 形状改变能密度密度复杂应力状态下的
40、应变能密度复杂应力状态下的应变能密度一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。3、形状改变能密度=+23 1(a)mmm(b)2-m=21-m=13-m=3(c)(b)无形状改变，仅发生体积改变。无形状改变，仅发生体积改变。(c)因为：因为：则则无体积改变无体积改变，仅发生形状改变。，仅发生形状改变。146 mmm(b)23 1(a)1472-m=21-m=13-m=3(c)148可证明：可证明：对对一一般般空空间间应应力力状状态态的的单单元元体体，应应变变能能密密度度可可由六个应力分量和对应的应变分量来表示，即为：由六个应力分量和对应的应变分量来表示
41、，即为：149例：选择题。例：选择题。纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案：积改变有四种答案：（A）变大变大（B）变小变小（C）不变不变（D）不确定不确定 例例 圆轴直径为圆轴直径为d d，材料的弹性模量为材料的弹性模量为E E，泊松比为泊松比为 ，为了测得轴端的力偶之值，为了测得轴端的力偶之值，但只有一枚电阻片。但只有一枚电阻片。(1)(1)试设计电阻片粘贴的位置和方向；试设计电阻片粘贴的位置和方向；(2)(2)若按照你所定的位置和方向，已测得线应变若按照你所定的位置和方向，已测得线应变为为 0 0，则外力偶？，则外力偶？纯剪切应力状态纯剪切应力状态:解：解：(1)将应变片贴于与母线成将应变片贴于与母线成45角的外表面上角的外表面上(2)153