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1、材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析zyNFF9-1 应力状态的概念2cossin22 max maxmaxamaxaFFNFFaaapmaxmaxmin材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析ddd0 xyz 9-1 应力状态的概念FFAdzdydxA材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析三对相互垂直的平面均为主平面的单元体。 切应力为零的截面（ =0）。主平面上的正应力。123且可以证明，通过一点处的各不同方位的截面中，一定存
2、在三对相互垂直的截面，这些截面上的切应力 =0，只有正应力 。三个主应力记为：123、50MPa0MPa100MPa123MPaMPaMPa500100112233xxzzyy材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析111111221122112233材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析yxacbd9-2 平面应力状态分析1、正负号规定：拉为正压为负，：拉为正压为负，：绕单：绕单元体内部一点顺时针转为正，元体内部一点顺时针转为正，逆时针为负。逆时针为负。逆时针为正，逆时针为正，顺时针为负。顺时针为负。求、dAd cosxAdAd cosxAd sinyAd
3、sinyAcossinefdAebdAbfdA设的面积为，则的面积为的面积为xyx已知、 、 ，efnfebntyyxxaaaantxyxxyyxxyyaaaa材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-2 平面应力状态分析xyx已知、 、 ，求、0nF 0tF (d cos)sin(d co(d sin)cos(d sin)sids)cos0nxxyyAAAAA(d cos)cos(d co(d sin)sin(d sin)cods)sin0sxxyyAAAAAdAd cosxAdAd cosxAd sinyAd sinyAaaaantxyyxacbdefnxxyyxxyya
4、afebntyyxxaa材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析(d cos)sin(d co(d sin)cos(d sin)sids)cos0nxxyyAAAAA(d cos)cos(d co(d sin)sin(d sin)cods)sin0sxxyyAAAAA22=sin22sincos1 cos21 cos2cossin22xy(负号已包含在指向中）；、计算公式cos2sin222sin2cos22xyxyxxyx材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9090计算、9090cos2sin222sin2cos22xyxyxxyx9090 xy 常数co
5、s2sin222sin2cos22xyxyxxyxfebntyyxxaa材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析1I+xyz2222I-xyyzzxxyyzzx 3Ixxyxzyxyyzzxzyz材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxcos2sin222sin2cos22xyxyxxyx2222()()22xyxyx2、均以为参变量22(,0)22xyxyx、在直角坐标系内的轨迹是以为圆心，（）为半径的圆，此圆称为应力圆，或莫尔圆。febntyyxxaa材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分
6、析1 1、应力圆的绘制、应力圆的绘制: : 确定点确定点D1 1( ( x, , x) ): : 确定点确定点D2 2( ( y, , y) ) x= - y: : 连接连接D1 1D2 2与与 轴交于轴交于C点点: : 以以C为圆心，为圆心，CD1 1（ CD2 2 ）为半径画圆。）为半径画圆。试作图示单元体的应力圆试作图示单元体的应力圆: : 建立建立-坐标系坐标系02xyC圆心 点坐标为（， ）22()2xyx半径为oCyxacbdxxyyxxyyxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析证明：证明：12=2OBOBOC=2
7、xy221111=CDCBB D11CBOBOC=2xyx=2xy11xB D221= ()2xyxCD2222()()22xyxyx该圆即为方程所表示的圆。02xy圆心：(，)22()2xyx半径：yxacbdxxyyxxyyoCxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )1 1、应力圆的绘制、应力圆的绘制试作图示单元体的应力圆试作图示单元体的应力圆材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析oCxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )2 2、应力圆求斜截面上的应力、应力圆求斜截面上的应力试求图示单元体试求图示单元体截面上的应力截面上的应力2 2、以、以CD1为起
8、始半径，按为起始半径，按的旋转的旋转方向旋转方向旋转2 2，得到，得到E点。点。yxacbdefnxxyyxxyyaa1 1、作单元体的应力圆、作单元体的应力圆cos2sin222=xyxyxOFsin2cos22=xyxEFE点的坐标即为：点的坐标即为：（，）只需证明：只需证明：E( ， )2F材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析oCxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )2 2、应力圆求斜截面上的应力、应力圆求斜截面上的应力证明证明0=+cos(2+2 )OF OCCF OC CE00=+cos2cos2sin2sin2OC CECE=2xyOC0101cos
9、2cos2=2xyCECDCB01011sin2sin2=xCECDB Dcos2sin222xyxyxOFsin2cos22xyx0=sin(2+2 )EF CE1010=cos2sin2sin2cos2CDCDyxacbdefnxxyyxxyyaaFE( ， )22 试求图示单元体试求图示单元体截面上的应力截面上的应力材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析2 2、应力圆求斜截面上的应力、应力圆求斜截面上的应力作应力圆应注意的几点：作应力圆应注意的几点：、正负号，与应力圆上点的正负号，与应力圆上点的象限关系。象限关系。点面对应关系：应力圆上一点点面对应关系：应力圆上一点对应
10、于单元体中某一截面；对应于单元体中某一截面；单元体上单元体上A、B面夹角面夹角，应力圆上弧长应力圆上弧长AB的圆心角的圆心角为为2 角角, ,且转向一致。且转向一致。yxacbdefnxxyyxxyyaaBAoC起始半径选择：需视起始半径选择：需视角从哪角从哪一个轴开始度量；一个轴开始度量；与与2 2对应：单元体上斜截面对应：单元体上斜截面方位角方位角，对应于应力圆上为，对应于应力圆上为2 角，自起始半径旋转，且与角，自起始半径旋转，且与转转向一致；向一致；AB2试求图示单元体试求图示单元体截面上的应力截面上的应力oCxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )E( ， )2材料力学材料
11、力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析oCxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )E( ， )23 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体图解法图解法注意注意A1 1、A2 2点点111=OAOCCA222=OAOCCAyxacbdefnxxyyxxyyaa22()=22xyxyx22()=22xyxyx1222()2=2xyxyxA1点如何得到？点如何得到？以以CD1点为起始半径，点为起始半径，顺时针顺时针旋转旋转20至至CA1即可。即可。A1A22,0( )1,0( )2 材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析3 3、主应力、主平面与主单元
12、体、主应力、主平面与主单元体图解法图解法注意注意A1 1、A2 2点点yxacbdefnxxyyxxyyaa1222()2=2xyxyxA1点如何得到？点如何得到？以以CD1 1点为起始半径点为起始半径，顺时针顺时针旋转旋转20至至CA1即可。即可。1101ta ( 2)2nxxyB DCB02tan2xxy将负号放在分子上，以此确定的将负号放在分子上，以此确定的20的象限，的象限，0为为1与与x之间的夹角。之间的夹角。0tan210( );tan2aa0;tan2( )aaoCxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )E( ， )2A1A22,0( )1,0( )2 材料力学材料力学
13、第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析oCxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )E( ， )2A1A22,0( )1,0( )2 3 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体图解法图解法注意注意A1 1、A2 2点点yxacbdefnxxyyxxyyaa1222()2=2xyxyx02tan2xxy作作D1K轴轴，交圆与交圆与K点点，则则A2K方方向即为向即为 1方向。方向。 K点称为主点点称为主点。11111010,2D AAKD AAK对应的圆心角为，故对应的圆周角为K1的方位 x1 212材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析3 3、主应力、
14、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体解析法解析法0tan22xxy可得：cos2sin222sin2cos22xyxyxxyx12、为的极值d()sin22cos20dxyx 令由yxacbdefnxxyyxxyyaa1222()2=2xyxyxx1 212如何直观判断如何直观判断1的方位？的方位？ 2112材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析3 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体yxacbdefnxxyyxxyyaax1 212 2112xyxy1的方位1的方位xyxy1的方位1的方位如何直观判断如何直观判断1的方位？的方位？材料力学材料力学第第
15、9 9章章 应力状态分析应力状态分析A1A212oCDDA1A212oCDDoCD1D2A1A23 3、主应力、主平面与主单元体、主应力、主平面与主单元体yxacbdefnxxyyxxyyaa 2112xyxyxyxy1的方位1的方位1的方位一种证明方法一种证明方法 1的方位1的方位KKK1的方位 0145xy（），0245xy（ ），0345xy（ ）=，=1 1的方位均在的方位均在2 2、4 4象限内象限内1xy（）2xy（ ）3xy（ ）=00000tan22-0-022002002xxyxx（ ， ），（， ）若 ，则若 ，二、四象，则限（ ， ），（ ， ），一、三象限材料力学材料力
16、学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析4 4、切应力极值、切应力极值22()2xyx 极大极小0000,444极大值方位，极小值方位。13max2yxacbdefnxxyyxxyyaaG1G2极大极小 oCxB1 xx,x( )D1yB2yy,yD2( )E( ， )2A1A22,0( )1,0( )2 材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解析法cos2si
17、n222xyxyx解解: :0502045xxy ，sin2cos22xyx020020cos(-2 45 )( 50)sin(-2 45 )260MPa2 （）（）020sin(-2 45 )( 50)cos(-2 45 )210MPa （）50MPa20MPa45x材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解析法cos2sin22260MPaxyxyx 解解: :
18、0502045xxy ，sin2cos210MPa2xyx 1222()22xyxyx12341MPa061MPa 重新排序重新排序220( 20)0( 20)( 50)22411051MPa61 50MPa20MPa45x材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解析法60MPa 解解: :0502045xxy ，10MPa 122241()MPa6122xyxyx
19、12341MPa061MPa ，022 ( 50)1000( 20tan2)20 xxy ( )+0002278.69 ,39.35在第一象限，50MPa20MPa45x10=39.35x133材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解析法60MPa 解解: :0502045xxy ，10MPa 12341MPa061MPa ，022 ( 50)1000( 20ta
20、n2)20 xxy ( )+0002278.69 ,39.35在第一象限，50MPa20MPa45x10=39.35x13300278.69,39.352kk若不限定象限，则0,2内有四个值，0000339.3539.3539.3532529.3材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题1试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、试分别用解析法和图解法求图示单元体指定斜截面上的应力、主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。主应力大小和方位，最大的切应力、并作出主单元体。解析法解析法60MPa,10MPa 0502045xxy ，12341MPa061MPa
21、 ，039.3550MPa20MPa45x10=39.35x133图解法图解法20406020 40 6020MPaoD1D2CE2( ， )A1A2K21的方位量得：量得：60MPa10MPa 12341MPa061MPa ，039.35039.510=39.5x133材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析D1D2oo例题2几种典型的单元体、应力圆几种典型的单元体、应力圆=D1D2CA1A2oD1D2CA1A2A1A2C的方位1KoCK的方位1D1D2A1A2的方位1oD1D2A1A2CKoA1点圆oA1点圆oD1D2A1A2CK的方位1oD1D2A1A2C的方位1K材料力
22、学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析ooAA,( )AB,( )oAA例题3 试作图示单元体的应力圆试作图示单元体的应力圆1AABB、已知、试作应力圆2AAB、已知、 试作应力圆3AAB、已知、 试作应力圆BABAABCAB中垂线2DAD中垂线2CDE2AD中垂线AB( ),( ),A,( )B,( )CAABEADABDE材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-3 梁的主应力、主应力迹线一、梁截面内特征点的应力状态分析一、梁截面内特征点的应力状态分析aaeecc313( )1( )oD2A2CD1A1D2A2A1D1oCKoCA1A2D1D2的方位11 1、
23、a点：单向应力状态点：单向应力状态123a=0=，2 2、e点：单向应力状态点：单向应力状态123e，=03 3、c点：纯切应力状态点：纯切应力状态1230=,45c 0qlabced材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-3 梁的主应力、主应力迹线一、梁截面内特征点的应力状态分析一、梁截面内特征点的应力状态分析aaeecc31313( )1( )bbbdddoD2A2CD1A1D2A2A1D1oCKoCA1A2D1D2的方位1的方位1KoCA1A2D1D2KoCA1A2D1D2的方位1二向应力状态二向应力状态1223()22=02tan2qlabced4 4、b、d两点：
24、两点： b31材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析q二、梁的主应力迹线二、梁的主应力迹线9-3 梁的主应力、主应力迹线 aaeeccbd3131313( )1( )bbddqlabced材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析三、主应力迹线绘制及特点三、主应力迹线绘制及特点9-3 梁的主应力、主应力迹线q材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、三类特殊平面上的应力一、三类特殊平面上的应力 三向应力状态是最一般的应力状态，在弹性三向应力状态是最一般的应力状态，在弹性力学中详细分析，（解析法，图解法），本力学中详细分析，（解析法，图解法），本
25、节只介绍应用应力圆求其最大的应力。节只介绍应用应力圆求其最大的应力。 1 1、平行于、平行于3斜面上的应力斜面上的应力9-4 三向应力状态的最大应力 前后两个面上前后两个面上( (3作用面）是一对作用面）是一对相互平衡的力，相互平衡的力，该斜截面上的应该斜截面上的应力力（ ，）与与3无关，只由无关，只由1和和2确定。确定。2 2、平行于、平行于2斜面上的应力斜面上的应力3 3、平行于、平行于1斜面上的应力斜面上的应力材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、三类特殊平面上的应力一、三类特殊平面上的应力 9-4 三向应力状态的最大应力1 1、平行于、平行于3斜面上的应力斜面上的
26、应力2 2、平行于、平行于2斜面上的应力斜面上的应力3 3、平行于、平行于1斜面上的应力斜面上的应力二、其他任意斜截面上的应力二、其他任意斜截面上的应力 研究表明研究表明: : 对于与三个主应力均不平对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的应力，它们在行的任意斜面上的应力，它们在 - 坐标平面内对应的点必位于由上述三坐标平面内对应的点必位于由上述三个应力圆所构成的绿色区域内。个应力圆所构成的绿色区域内。三、最大的应力三、最大的应力 max1min3，231max材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律单向应力状态胡克定律单向应力状态胡克定律: :
27、E横向应变横向应变: :E剪切胡克定律剪切胡克定律: :GG9-5 广义胡克定律、体积应变图示单元体在三个主应力作用下，单元体在每个主应力方向图示单元体在三个主应力作用下，单元体在每个主应力方向均产生线应变。均产生线应变。主应变主应变: :主应力方向的线应变主应力方向的线应变1 1、1方向的主应变方向的主应变( (分别求每个主应力引起的线应变，再叠加分别求每个主应力引起的线应变，再叠加) )11E+ +2E+ +3E11231E a a）主应力单元体主应力单元体112233112233材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律9-5 广义胡克定律、
28、体积应变11231E 2、 2 、 3方向的主应变方向的主应变112322313312111EEE a a）主应力单元体主应力单元体11E+ + +3E1122331122331 1、1方向的主应变方向的主应变材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律9-5 广义胡克定律、体积应变112322313312111EEE a a）主应力单元体主应力单元体b b）一般单元体一般单元体可以证明，在线弹性，小变形条件下，各可以证明，在线弹性，小变形条件下，各向同性材料正应力只引起线应变，切应力向同性材料正应力只引起线应变，切应力只引起同一平面内的切应变。只引
29、起同一平面内的切应变。线应变只和正应力有关，与切应力无关；线应变只和正应力有关，与切应力无关；切应变只和切应力有关，与正应力无关。切应变只和切应力有关，与正应力无关。111xxyzyyzxzzxyEEE xyxyyzyzzxzxGGG材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律9-5 广义胡克定律、体积应变广义胡克定律：空间应力状态下，应力分量与应变分量之广义胡克定律：空间应力状态下，应力分量与应变分量之间的物理关系，称为广义胡克定律间的物理关系，称为广义胡克定律应力分量应力分量应变分量应变分量xyzxyyzzx、xyzxyyzzx、 、三个弹性常数
30、间关系三个弹性常数间关系=2(1+EG）112322313312111EEE a a）主应力单元体主应力单元体b b）一般单元体一般单元体111xxyzyyzxzzxyEEE xyxyyzyzzxzxGGG材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题4132240160Q235E=210GPa0.3 已知一受力构件内某点处于二向应力状态，实验测得：，材料为钢，。试求该点的主应力数值及解：解：2=0（？）11333111EE11323312+1-+1-EE9-612210 10(240-0.3 160) 10 =44.3MPa1-0.39-632210 10(-160+0.3 2
31、40) 10 =-20.3MPa1-0.333121E 69100.3 44.320.310210 1034.3材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析例题510mmFkN0.33在槽型钢块内放置边长为的正方形铝块，铝块与槽壁间无间隙如图所示，当铝块上受到合力为 =6的压力均匀压缩时，试求铝块内任意一点的应力。已知解：解：铝块内取一单元体分析铝块内取一单元体分析: :36 10160MPa0.01 0.01yFA 、20z、3?x、平衡条件可求吗？平衡条件可求吗？因铝块较软，可视槽型钢块不变形。因铝块较软，可视槽型钢块不变形。0 x1xxyzE 又10 xyE0.33 ( 60
32、)19.8MPaxy 若采用主应力记号，则：若采用主应力记号，则：123019.8MPa60MPa ，F1010 xy材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析一、广义胡克定律一、广义胡克定律9-5 广义胡克定律、体积应变二、体积应变二、体积应变体积应变：每单位体积的体积变化称为体积应变。体积应变：每单位体积的体积变化称为体积应变。123dddxyz设图示单元体原边长分别为， 。试求在三个主应力、作用下，其体积应变。V用表示，00VVVV=解：解：123ddddddxxyyzz变形后单元体的边长分别为，。0=d d dVx y z111=(dd )(dd )(dd )Vxxyyz
33、z123=(1)(1+)(1)d d dx y z0123=(1)(1+)(1)d d dd d dV VVx y zx y z123()d d dx y z01230VVVV1231 2()vE用主应力表示为:1231223131231 112233dxdydz材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析讨论讨论9-5 广义胡克定律、体积应变123dddxyz设图示单元体原边长分别为， 。试求在三个主应力、作用下，其体积应变。123V1231 2()vE用主应力表示为:该式表明任一点的体积应变与该点处三个主应力之和成正比。该式表明任一点的体积应变与该点处三个主应力之和成正比。12
34、3若=0V则有=0例例: :平面纯切应力状态有：平面纯切应力状态有：1230 ，123=0故其体积不发生变化。故其体积不发生变化。在小变形条件下，切应在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料力不引起各向同性材料的体积改变。的体积改变。一般空间应力状态：一般空间应力状态：1 2()vxyzEvxyz，与切应力无关。体积应力：体积应力：体积模量体积模量: :3)(321m）（213 EKoD1D2A1A2CK的方位1112233dxdydz一、广义胡克定律一、广义胡克定律二、体积应变二、体积应变材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度 弹性体在外力
35、作用下，将产生变形，弹性体在外力作用下，将产生变形， 外力对外力对弹性体作功，按照功能原理，若不计能量的损弹性体作功，按照功能原理，若不计能量的损失，则外力所作的功以变形能的形式积蓄在弹失，则外力所作的功以变形能的形式积蓄在弹性体内，当卸载后，随着变形的消失，变形能性体内，当卸载后，随着变形的消失，变形能全部转化为其他形式的能量。全部转化为其他形式的能量。弹性变形能：弹性变形能：以弹性变形形式积蓄的能量。以弹性变形形式积蓄的能量。又称为应变能。又称为应变能。 在数值上等于外力所作的功。在数值上等于外力所作的功。 (VW即：应变能） （外力所作的功）一、拉压杆的变形能一、拉压杆的变形能12WF
36、l2111110011d()d()()022lllFFWFllllF lll12VWF lF1llFolFld(l )F11l1材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度弹性变形能：弹性变形能：以弹性变形形式积蓄的能量。以弹性变形形式积蓄的能量。又称为应变能。又称为应变能。 在数值上等于外力所作的功。在数值上等于外力所作的功。 (VW即：应变能） （外力所作的功）一、拉压杆的变形能一、拉压杆的变形能12WF l12VWF lF1llFolFld(l )F11l1应变能密度：应变能密度：单位体积内的应变能，又称比能。单位体积内的应变能，又称比能。v
37、用 表示1122NF lVFlvVAlAl12杆内所有点应力状态相同杆内所有点应力状态相同单向应力状态单向应力状态22E22E应变能密度可视为应变能密度可视为在其相应的在其相应的所作的功。所作的功。材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度一、拉压杆的变形能一、拉压杆的变形能应变能密度：应变能密度：单位体积内的应变能，又称比能。单位体积内的应变能，又称比能。v用 表示12v单向应力状态单向应力状态二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度112233只在 上作功，同样只在上作功，只在上作功。根据叠加原理有：根据叠加原理有：1 1
38、2233111222v 代入广义胡克定律，化简可得代入广义胡克定律，化简可得22212312233112 ()2vE 1 1、单元体总的应变能密度、单元体总的应变能密度112233应变能密度可视为应变能密度可视为在其相应的在其相应的所作的功。所作的功。112322313312111EEE 材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度1 12233111222v 22212312233112 ()2vE 1 1、单元体总的应变能密度、单元体总的应变能密度2 2、体积改变应变能密度、形状改变应
39、变能密度、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度一般情况下，单元体产生的变形包含一般情况下，单元体产生的变形包含体积改变体积改变和和形状改变形状改变。Vv与体积改变相应的应变能密度称为体积改变能密度，用表示。dv与形状改变相应的应变能密度称为形状改变能密度，用 表示。单元体（单元体（b b）均匀受拉，不发生形状改变，只是体积变化。）均匀受拉，不发生形状改变，只是体积变化。单元体（单元体（c c）三个主应力之和为零，不发生体积改变，）三个主应力之和为零，不发生体积改变，只是形状变化。只是形状变化。123123(a)mmmmmm(b)1m3m2m2m3m1m(c)m1231()3平均应力平均应力材
40、料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度1 12233111222v 22212312233112 ()2vE 1 1、单元体总的应变能密度、单元体总的应变能密度2 2、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度一般情况下，单元体产生的变形包含一般情况下，单元体产生的变形包含体积改变体积改变和和形状改变形状改变。m1231()3平均应力平均应力222mmmmmmmmm12 ()2VvE 2m3(1 2 )2E123xyz2123)1 26(E21()2
41、6VxyzvE又可得：体积改变应变能密度体积改变应变能密度123123(a)mmmmmm(b)1m3m2m2m3m1m(c)材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析9-6 空间应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度二、三向应力状态下的应变能密度1 12233111222v 22212312233112 ()2vE 1 1、单元体总的应变能密度、单元体总的应变能密度2 2、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度、体积改变应变能密度、形状改变应变能密度2123)1 26(VvE2(16)2xyzVvE体积改变应变能密度体积改变应变能密度注意：此公式注意：此公式只能用主应力只能用主应力参与计算参与计算222123122212333111 22 ()26)EE 2221223311()()() 6dvE形状改变应变能密度形状改变应变能密度123123(a)mmmmmm(b)1m3m2m2m3m1m(c)dVvvv材料力学材料力学第第9 9章章 应力状态分析应力状态分析