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1、湖北省潜江市2021-2022学年九年级上数学测试模拟试卷（原卷版）一、选一选（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，）1. 下列各式是一元二次方程的是（）A. x21B. +x10C. ax2+bx+c0D. （2x+1）（2x1）4x2+5x2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）A. B. C. D. 以上答案都不对3. 将函数y2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（）A y2（x+2）2+3B. y2（x2）2+3C y2（x+2）23D. y2（x2）234. 若x2是关于x的一元二次方程x2axa20的一个根，则a的值为（ ）
2、A. 1或-4B. 1或4C. -1或4D. 1或45. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比个月多440辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A. 1000（1+x）21000+440B. 1000（1+x）2440C. 440（1+x）21000D. 1000（1+2x）1000+4406. 已知关于x的一元二次方程（m2）2x2+（2m+1）x+10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A. mB. mC. m且m2D. m且m27. 若abc是ABC的三边，且关于x的方程a（x21）2cx
3、+b（x2+1）=0有两个相等的实数根，则ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形8. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】A （3，0）B. （2，0）C. x=3D. x=29. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）A. 开口向下B. 对称轴是x=-1C. 顶点坐标是(1，2)D. 与x轴有两个交点10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出四个结论：c0； 若点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则；2ab=0； 0，其中，
4、正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填 空 题（每小题3分，共18分）11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为3和1，则p=_，q=_12. 已知关于x的方程x2+（m1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m为_13. 要组织篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛球队有个，则可以列方程为_（化为一般形式）14. 若二次函数y=ax2+1的图象点（2，0），则关于x的方程a（x2）2+1=0的实数根为_15. 一人患了流感，两轮传染后共有64人患了流感如果不及时，第三轮将又有_人被传染.1
5、6. 如图，一段抛物线：y=x（x2）（0x2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3；如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_三、解 答 题（共72分）17. 解方程：（1）2x24x3=0； （2）（2x5）2=4（2x5）18. 已知抛物线的顶点为（1，4），且过点（3，0）（1）求抛物线解析式；（2）写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；（3）若点（2，y1），（1，y2），（0.5，y3）在抛物线上，指出y1，y2，y3的大小关系.19. 已知关于的方程有两
6、个实数根.（1）求的取值范围；（2）若，求的值；20. 某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日量就减少1件据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可多少件商品商场获得日盈利是多少？（2）在商品正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利？利润是多少？21. 如图所示，某农户想建造一花圃，用来种植两种不同的花卉，以城镇市场需要，现用长为36m的篱笆，一面砌墙（墙的可使用长度l=13m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃宽AB为x，面积为S（1）求S与x的函数关系式并指出它
7、是函数，还是二次函数？（2）若要围成面积为96m2的花圃，求宽AB的长度（3）花圃的面积能达到108m2吗？若能，请求出AB的长度，若不能请说明理由22. 如图，二次函数的图象A(2，0)，B(0，6)两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC的面积（3）在x轴上是否存在一点P，使ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.23. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,水面AB的宽为20 m.如果水位上升3 m,则水面CD的宽为10 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求此抛物线的表达式;(2)现在一辆载有救
8、援物资的货车从甲地出发需此桥开往乙地,已知甲地距此桥280 km(桥长忽略不计).货车正以40 km/h的速度开往乙地,当行驶了1 h后,突然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以0.25 m/h的速度持续上涨(货车接到通知时,水位在CD处,当水位涨到拱桥点O时,禁止车辆通行).问:如果货车按原来速度行驶,能否通过此桥?若能,请说明理由;若不能,那么要使货车通过此桥,速度应超过每小时多少千米?24. 如图，抛物线yx2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当M
9、C+MA的值最小时，求点M的坐标25. 已知关于x的方程mx2-(3m1)x+2m2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m1)x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.湖北省潜江市2021-2022学年九年级上数学测试模拟试卷（解析版）一、选一选（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，）1. 下列各式是一元二次方程的是（）A. x21B. +x10C. ax
10、2+bx+c0D. （2x+1）（2x1）4x2+5x【答案】A【解析】【详解】A、x的次数是2，故是一元二次方程，故此选项正确；B、x的次数是2，不是一元二次方程，故此选项错误；C、含多个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误；D、化简后，x的次数为1，不是一元二次方程，故此选项错误；故选A2. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）A B. C. D. 以上答案都不对【答案】A【解析】【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14【详解】先移项得x2+6x=5，方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，所以（x+
11、3）2=14故选A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法3. 将函数y2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（）A. y2（x+2）2+3B. y2（x2）2+3C. y2（x+2）23D. y2（x2）23【答案】C【解析】【详解】将函数y=2x2向左平移2个单位，得：y=2（x+2）2；再向下平移3个单位，得：y=2（x+2）23；故选C4. 若x2是关于x的一元二次方程x2axa20的一个根，则a的值为（ ）A. 1或-4B. 1或4C. -1或4D. 1或4【答案】A【
12、解析】【详解】解：x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，（-2）2+a（-2）-a2=0，即a2+3a-4=0，整理，得（a+4）（a-1）=0，解得 a1=-4，a2=1即a的值是1或-4故选A【点睛】一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根5. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比个月多440辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A. 1000（1+x）210
13、00+440B. 1000（1+x）2440C. 440（1+x）21000D. 1000（1+2x）1000+440【答案】A【解析】【分析】根据个月的单车数量(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案【详解】解：由题意可得，1000（1+x）21000+440故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键6. 已知关于x的一元二次方程（m2）2x2+（2m+1）x+10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A. mB. mC. m且m2D. m且m2【答案】C【解析】【详解】分析：本题是根的判
14、别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以=b2-4ac0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0详解：关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，=b2-4ac0，即（2m+1）2-4（m-2）210，解这个不等式得，m，又二次项系数是（m-2）2，m2，故M得取值范围是m且m2故选C点睛：1、一元二次方程根情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点
15、7. 若abc是ABC的三边，且关于x的方程a（x21）2cx+b（x2+1）=0有两个相等的实数根，则ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【详解】原方程可变形为（a+b）x22cx（ab）=0，原方程有两个相等的实数根，=（2c）24（a+b）（ab）=4c2+4b24a2=0，即a2=b2+c2abc是ABC的三边，ABC为直角三角形故选B8. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】A. （3，0）B. （2，0）C. x=3D. x=2【答案】A【解析】【详解】设抛
16、物线与x轴的另一个交点为B（b，0），抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=1，=1，解得b=3B（3，0）故选A9. 对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说确的是（ ）A. 开口向下B. 对称轴是x=-1C. 顶点坐标是(1，2)D. 与x轴有两个交点【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函
17、数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h当a0时，抛物线开口向上，当a0时，抛物线开口向下10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出四个结论：c0； 若点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则；2ab=0； 0，其中，正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据抛物线与y轴的交点可判断，根据抛物线对称轴的左边的增减性可判断，根据抛物线的对称轴可判断，根据抛物线顶点的纵坐标可判断【详解】抛物线与y轴交于正半轴，c0，正确，符合题意； 对称轴为直线x=1， x1时，
18、y随x的增大而增大， y1y2错误，不符合题意；对称轴为直线x=1， =1，则2ab=0，正确，符合题意； 抛物线的顶点在x轴的上方， 0，错误，不符合题意；故选B【点睛】本题考查抛物线与两轴的交点问题，抛物线的增减性质，对称轴，顶点坐标，掌握抛物线与两轴的交点问题，抛物线的增减性质，对称轴，顶点坐标是解解题关键二、填 空 题（每小题3分，共18分）11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为3和1，则p=_，q=_【答案】 . 4； . 3【解析】【详解】试题解析：关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，-3+（-1）=-p，（-3）（-1）=q，p=4，q=312. 已知关
19、于x的方程x2+（m1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m为_【答案】或【解析】【详解】方程x2+（m1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，方程有一实数根为1或1，当x=1时，代入可得1+（m1）+=0，解得m=；当x=1时，代入可得1（m1）+=0，解得m=；m的值为或，故答案为或13. 要组织篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有个，则可以列方程为_（化为一般形式）【答案】【解析】【分析】设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，可得方程： 从而可得答案【详解】解：设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，所以：
20、 整理得： 故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决比赛场次问题是解题的关键14. 若二次函数y=ax2+1的图象点（2，0），则关于x的方程a（x2）2+1=0的实数根为_【答案】4或0【解析】【详解】把（2，0）代入二次函数y=ax2+1得：4a+1=0，解得：a=，所以二次函数的解析式为y=x2+1，当y=0时，x2+1=0，解得：x=2，即二次函数y=x2+1与x轴交点坐标是（2，0）和（2，0），所以把二次函数y=x2+1向左平移2个单位得出二次函数y=a（x2）2+1，即关于x的方程a（x2）2+1=0的实数根为4或0，故答案为4或015. 一人患
21、了流感，两轮传染后共有64人患了流感如果不及时，第三轮将又有_人被传染.【答案】448【解析】【详解】试题解析：设一个患者传染给x人，由题意，得x（x+1）+x+1=64，解得：x1=7，x2=-9（舍去），第三轮被传染的人数是：647=448人16. 如图，一段抛物线：y=x（x2）（0x2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3；如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_【答案】-1【解析】【详解】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质
22、可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果解：y=x（x2）（0x2），配方可得y=（x1）2+1（0x2），顶点坐标为（1，1），A1坐标为（2，0）C2由C1旋转得到，OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，1），A6（12，0）；m=1故答案为1“点睛”本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点
23、坐标三、解 答 题（共72分）17. 解方程：（1）2x24x3=0； （2）（2x5）2=4（2x5）【答案】(1) x1、2=；(2) x1=；x2=【解析】【详解】试题分析：试题解析：2x24x3=0a=2，b=4，c=3，=b24ac=16+24=400，x=即x1=,x2=（2）（2x5）2=4（2x5），（2x5）24（2x5）=0，（2x5）（2x54）=0，2x5=0，2x9=0，x1=；x2=18. 已知抛物线的顶点为（1，4），且过点（3，0）（1）求抛物线解析式；（2）写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；（3）若点（2，y1），（1，y2），（0.5，y3）在抛物线
24、上，指出y1，y2，y3的大小关系.【答案】（1）y=x22x3；（2）开口向上，对称轴为直线x=1，当x=1时函数的最小值为-4；（3）y1y2y3.【解析】【详解】试题分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a的值，即可得解；（2）由抛物线顶点式解析式即可写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；（3）根据函数图象可指出y1，y2，y3大小关系.试题解析：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x1）24抛物线点B（3，0），a（31）24=0解得 a=1 y=（x1）24，即y=x22x3（2）开口向上，对称轴为直线x=1，顶点为（1，4），当
25、x=1时函数的最小值为-4；（3）y1y2y319. 已知关于的方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若，求的值；【答案】（1）；（2）k3【解析】【分析】（1）依题意得0，即2(k1)24k20，求解即可得；（2）依题意x1x22(k1)，x1x2k2 ，以下分两种情况讨论：当x1x20时，则有x1x2x1x21，即2(k1)k21；当x1x20时，则有x1x2(x1x21)，即2(k1)(k21)，进行求解即可得【详解】解：（1）依题意得0，即2(k1)24k20 .解得；（2）依题意x1x22(k1)，x1x2k2 以下分两种情况讨论：当x1x20时，则有x1x2x1x21，即2(
26、k1)k21解得k1k21k1k21不合题意，舍去；当x1x20时，则有x1x2(x1x21)，即2(k1)(k21)解得k11，k23，k3 综合、可知k3【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数关系，根判别式，熟练掌握二次根与系数的关系及根的判别式是解题关键.20. 某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日量就减少1件据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可多少件商品商场获得的日盈利是多少？（2）在商品正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利？利润是多少？【答案】(1)
27、每天可30件商品，商场获得的日盈利是1500元；(2)每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元. 【解析】【分析】（1）先求出提高的价格170-130=40元，就可以求出此时减少的数量，就可以求出的数量，在由每件利润件数就可以得出日利润；（2）设每件商品的售价为x元，则每天商品的件数为70-（x-130）=200-x件，根据“总利润=单件利润量”得出函数关系式，再配方即可得其最值情况【详解】解：（1）由题意得：每天的数量为70-（170-130）=30件，日盈利为：30（170-120）=1500元，故每天的数量为30件，日盈利为1500元（2）设每件商品的售价为x元，则每天商品的件
28、数为70-（x-130）=200-x件，则商场的日盈利w=（x-120）（200-x）=-x2+320x-24000=-（x-160）2+1600，当x=160时，w取得值，值为1600，答：当每件商品的价定为160元时，能使商场的日盈利最多,1600元.【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时灵活运用问题的数量关系是解答的关键21. 如图所示，某农户想建造一花圃，用来种植两种不同的花卉，以城镇市场需要，现用长为36m的篱笆，一面砌墙（墙的可使用长度l=13m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃宽AB为x，面积为S（1）求S与x的函数关系式并指出它是函数，还是二次函数？
29、（2）若要围成面积为96m2的花圃，求宽AB的长度（3）花圃的面积能达到108m2吗？若能，请求出AB的长度，若不能请说明理由【答案】（1）S=（36-3x）x=-3x2+36x；（2）AB的长为8m；（3）花圃的面积不能达到108m2【解析】【详解】试题分析：（1）等量关系为：（篱笆长-3AB）AB=S，即可得出答案；（2）等量关系为：（篱笆长-3AB）AB=96，把相关数值代入求得合适的解即可；（3）把（1）中用代数式表示的面积整理为a（x-h）2+b的形式可得的面积试题解析：（1）设花圃宽AB为x，面积为S则S=（36-3x）x=-3x2+36x；（2）设AB的长是x米（36-3x）x=
30、96，解得x1=4，x2=8，当x=4时，长方形花圃的长为36-3x=24，又墙的可用长度a是13m，故舍去；当x=8时，长方形花圃的长为24-3x=12，符合题意；AB的长为8m（3）花圃的面积为S=（36-3x）x=-3（x-6）2+108，当AB长为6m，宽为16m时，有面积，为108平方米又当AB=6m时，长方形花圃的长为36-36=18m，又墙的可用长度a是13m，故舍去；故花圃的面积不能达到108m222. 如图，二次函数的图象A(2，0)，B(0，6)两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC的面积（3）在x轴上是否存在一
31、点P，使ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）yx24x6；（2）SABC6；（3）点P坐标为（-2，0）或或或【解析】【详解】试题分析：（1）把A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解（3）分类讨论，进行求解即可.试题解析：（1）的图象A（2，0）、B（0，-6）两点，解得b=4，c=-6，这个二次函数的解析式为yx2+4x6（2）令-x2+4x-6=0x2-8x+12=0解得：x1=2 x2=6C（4，0）AC
32、=2SABC=26=6（3）点P坐标为（-2,0）或23. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,水面AB的宽为20 m.如果水位上升3 m,则水面CD的宽为10 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求此抛物线的表达式;(2)现在一辆载有救援物资的货车从甲地出发需此桥开往乙地,已知甲地距此桥280 km(桥长忽略不计).货车正以40 km/h的速度开往乙地,当行驶了1 h后,突然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以0.25 m/h的速度持续上涨(货车接到通知时,水位在CD处,当水位涨到拱桥点O时,禁止车辆通行).问:如果货车按原来速度行驶,能否通过此桥?若能,请说明理由;若不能,那
33、么要使货车通过此桥,速度应超过每小时多少千米?【答案】（1）y=-x2.（2）要使货车通过此桥,货车的速度应超过60 km/h.【解析】【详解】试题分析：根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为y=ax2，设D、B的坐标求解析式；试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2（a不等于0），桥拱点O到水面CD的距离为h米则D（5，h），B（10，h3）解得抛物线的解析式为y=x2（2）水位由CD处涨到点O的时间为：10.25=4（小时）货车按原来速度行驶路程为：401+404=200280货车按原来速度行驶不能通过此桥设货车速度提高到x千米/时当4x+401=280时，x=60要使货车通过此
34、桥，货车的速度应超过60千米/时考点：二次函数的应用24. 如图，抛物线yx2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为yx2，顶点D的坐标为 （，）；（2）ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（，）【解析】【分析】（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角
35、形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MAMB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小则BC与直线x交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标【详解】（1）点A（1，0）在抛物线ybx2上，b（1）20，解得：b，抛物线的解析式为yx2yx2（x23x4 ），顶点D的坐标为 （）（2）当x0时y2，C（0，2），OC2当y0时，x20，x11，x24，B （4，0），OA1，OB4，AB5AB225，AC2OA2+OC25，BC2OC2+OB220，AC2+BC2AB2ABC是直角三角形（3）顶点D的坐
36、标为 （），抛物线的对称轴为x抛物线yx2+bx2与x轴交于A，B两点，点A与点B关于对称轴x对称A（1，0），点B的坐标为（4，0），当x0时，yx22，则点C的坐标为（0，2），则BC与直线x交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MAMB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小设直线BC的解析式为ykx+b，把C（0，2），B（4，0）代入，可得：，解得：，yx2当x时，y，点M的坐标为（）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式25. 已知关于x的方程mx2-(3m1)x+2m2=0（
37、1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m1)x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.【答案】（1）略（2）y1= x（x2）或y2=（x2）（x4）（3）当b或b=2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点【解析】【详解】解：（1）分两种情况讨论：当m=0 时，方程为x2=0，x=2 方程有实数根当m0时，则一元二次方程的根的判别式=（3m1）24m（2m2）=m2+2m+1=（m+1
38、）20不论m为何实数，0成立，方程恒有实数根综合，可知m取任何实数，方程mx2-(3m1)x+2m2=0恒有实数根.（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m1)x+2m2与x轴交点的横坐标.则有x1+x2=，x1x2=由| x1x2|=，由| x1x2|=2得=2，=2或=2m=1或m=所求抛物线的解析式为：y1=x22x或y2=x2+2x即y1= x（x2）或y2=（x2）（x4）其图象如图所示.（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，图象，求b的取值范围.，当y1=y时，得x23xb=0，=9+4b=0，解得b=；同理，可得=94（8+3b）=0，得b=.观察函数图象可知当b时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.由当y1=y2时，有x=2或x=1当x=1时，y=1所以过两抛物线交点（1，1），（2，0）的直线y=x2，综上：当b或b=2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.第21页/总21页