《2022年几何计算型综合-中考数学二轮考点复习专题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年几何计算型综合-中考数学二轮考点复习专题 .pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载专题八几何计算型综合问题按住 ctrl 键 点击查看更多中考数学资源【考点透视】几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题. 在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量. 这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活 . 考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、 分类讨论思想、 数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、
2、分解基本图形， 或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决. 值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、 探究型、 开放型、 运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、 动手操作能力、 抽象思维能力、 建模能力力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 【典型例题】例 1. 在生活中需要测量一些球（如足球、篮球）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图11-1，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子 AB，设光线 AD 、CB
3、分别与球相切于点E、F，则 E、F 即为球的直径若测得AB的长为41.5cm， ABC=37 . 请你计算出球的直径（精确到1cm）分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题，作 AG CB于 G，在 RtABG中，求出AG即可解：作 AG CB于 G ，AD 、CB分别与圆相切于E、F，EFFG ，EFEA ，四边形AGFE是矩形，AG=EF 在 RtABG中， AB=41.5， ABG=37 ，AG=AB sin ABG=41.5sin37 25. 球的直径约为25cm. 说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点这类题一般难度不太大，关键是考
4、查建模能力. 例 2在边长为2 的菱形 ABCD 中， B=45， AE为 BC边上的高，将ABE沿 AE所在直线翻折得 ABE，那么 AB E与四边形AECD 重叠部分的面积是 . 图 11-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载图 112 D A B C Q P 图 11-3 分析：解答本题首先要根据题意，画出图形（如图11-2）然后根据对称性和相关几何知识进行求解解：在 Rt ABE中， B=45， AB=2 ， AE=BE=2， SABE=1由翻折知：AB E ABE ， EB =EB=2B
5、 C=BB BC=222，四边形ABCD 是菱形， CFBA BFC=BAB=90, BCF= B=45CF=2222BCSBFC=221CF=322 S阴=S AB ESCFB =2 22说明：图形折叠问题的本质是全等变换, 也是近年中考题中的一个亮点这类问题的解决方法是要抓住因折叠而形成的等线段和等角，这些相等关系是解决问题的关键. 常用代数方程求解例 3如图113，在矩形ABCD中， AB=12cm ，BC=6cm ，点 P 沿 AB边从点 A 开始向点B以 2cm/s 的速度移动；点Q沿 DA边从点 D开始向点 A以 1cm/s 的速度移动 . 如果 P、Q同时出发，用 t(s)表示移
6、动的时间（0t6） ，那么：当 t 为何值时，QAP为等腰直角三角形？求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；当 t 为何值时，以点Q 、A、P为顶点的三角形与ABC相似？分析：中应由QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP ，由 AQ=6 t，AP=2t，可求出t 的值；中四边形QAPC是一个不规图形，其面积可由矩形面积减去DQC与 PBC的面积求出；中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此须分类讨论. 解： AP=2t，DQ=t，QA=6 t ，当 QA=AP ，即 6t=2t ，t=2 （s）时， QAP为等腰直角三角形；SDQC=2112t=6t, SP
7、BC=216(1 22t)=36 6t, S四边形 QAPC=12 66t （ 366t ）=36（ cm2） ，由计算结果可见：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变； QAP= ABC=90 ，当BCAPABQA时， QAP ABC ，62126tt，解之得 t=1.2 （ s） ；当ABAPBCQA时， PAQ ABC ，12266tt，解之得 t=3 （s）. 故当 t=1.2s或 3s 时，以点Q 、A、P为顶点的三角形与ABC相似 . 说明：本例是动态几何题，同时也是一道探究题要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓其本质，揭示出变
8、中不变的规律其结论也可提出：“P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变” ， 四边形 QAPC 的面积也可由QAC与 CAP的面积求出， ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载图 114 D E C A O F B 图 11-5 中考察了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性. 例 4. 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站何处观赏最理想？如图 11 4，设墙壁上的展品最高处点P距离场面a 米，最低处点Q距离场面b 米，观赏者的眼睛点 E距离地面m米当过点 P、Q 、E三点的圆与过点E的水平线相切于点
9、E时，视角 PEQ最大，站在此处观赏最理想(1) 设点 E到墙壁的距离为x，求 a、b、m 、 x 的关系式；(2) 当 a=2.5 ，b=2，m=1.6 时，求：1和墙壁的距离为x 米；2视角 PEQ的度数（精确到1 度）解： (1) 水平直线HE切 O于点 E. HE2=QH HP 又 HE=x ， QH=b m ，PH=a m ，x2=（ am ） （ bm ）. (2) 1当 a=2.5 ，b=2，m=1.6 时，由 (1) 中所得：x2=（2.5 1.6 ） （21.6 ） x=0.6 点 E与墙壁距离x 的值为 0.6 米. 2作 OD PR于 D ，则 POQ=2 POD ， P
10、OQ=2 PEQ ， PEQ= POD.在 Rt POD 中， tan POD= 125ODPD PEQ=23 说明： 将几何计算题富于一个实际情境是中考中的一个新视点，符合新课程标准的精神，在今后的中考命题将会有很强的生命力，解这类题时， 要能从实际中抽象出纯数学问题，然后利用相关知识解决问题. 复习中应注意对常规题进行演变，有对针性训练. 例 5. 如图 11-5, 方形 ABCD 的 AB边为直径， 在正方形内部作半圆，圆心为 O ，DF切半圆于点 E，交 AB的延长线于点F，BF=4求： (1)cos F 的值； (2)BE 的长分析： (1) 要求 cosF的值，就要把F“放”到直角
11、三角形中，由于DF是半圆切线，只要连结 OF即可，然后利用相似三角形与切割线定理，求出OF 、 EF；(2) 利用勾股定理和相似三角形即可求得解： (1) 连结 OE.DF切半圆于E， OEF=90 ，在正方形ABCD 中， AB=AD ， DAF=90 ， OEF= DAF.又 F 为公共角，OEF DAF.21ABOEDAOEAFEF. 即 AF=2EF. DF 切半圆O 于 E， EF2=FB FA=BF 2EF， EF=2BF=8 ，AF=2EF=16.AB=AF BF=12，FO=21AB+BF=2112+4=10. 在 RtOEF中， cosF=54108FOEF. 精选学习资料
12、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载O2 O1 图 11-6 图图(2) 连结 AE ， DF切半圆于E， EAF= BEF. F=F， BEF EAF. 21168AFEFEABE.设 BE=k(k0) ，则 AE=2k， AB为半圆 O的直径， AEB=90 . 在 Rt AEB中， AE2+BE2=AB2， （2k）2+k2=122, BE=k=5512. 说明：在相似形、圆等问题中渗透三角形函数知识、方程知识，围绕有关相似比、面积之比来命题是近年中考题命题又一新特点解这类题要善于把三角函数的值与线段比相互转
13、化，并能设参数来表示有关线段，运用勾股定理或相似三角形的有关比例式来解决例 6已知：如图11-6 与 O2相交于 A、B两点， O1在 O2上， O2的弦 BC切 O1与 B，延长 BO1、CA交于点 P，PB与 O1交于点 D求证： AC是 O1的切线；如果 PD=1， O1的半径为2，求 BC的长分析：由于AC与 O1有共公点A，只要证AC AO1即可欲证 ADO1C，借公共弦这一“桥梁”证 ACO1=PAD ，根据图形借助切割线及其推论或三角形相似，通过线段比来解决. 解：连结AO1， BC是 O1的切线， O1BC=90 , 四边形 AO1BC是 O2的内接四边形， O1BC+ O1A
14、C=180 . O1AC=90 ， AC是 O1的切线连结 AB,PC切 O1于点 A, PAD= ABP, 又 ACO1=ABO1, PAD= ACO1 ADO1C PC是 O1的切线， PB是 O1的割线， PA2=PD PB PD=1 ，PB=5 ， PA=5AC 、BC分别切 O1于 A、B O1BBC ， O1APC PBC= PAO1=90又 P=P PBC PAO1 552,1BCPAPBAOBC即BC=52说明： 解几何计算综合题要善于把复杂的几何图形“分解” 为若干个基本图形，并综合这些基本图形的性质及图形中元素的内在联系去思考，则能快速找到解题途径如本题若把原图分解为下列两
15、个图形，则的解题思路一目了然例 7. 有一长方形的餐厅，长10m ，宽 7m ，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5m 的圆形（如图1171 所示） . 在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5m 的前提下，问此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载图 1171 图 1172 图 1173 图 1174 A B C 图 118 在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方1420 方格纸内画出设计示意图. （提示
16、： 画出的圆应符合比例要求；为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上）分析：这是一道方案设计问题，图11-7-2 中每一正方形小格宽度均表示0.5m，餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子，就看能否在图11-7-2 中画出三个或四个半径为三格宽的圆， 并使圆与圆之间、圆与方格纸外边框之间的间距不少于一格，我们可以按画三个圆、画四个圆分别计算. 解：此餐厅内能摆下三套和四套同样大小的圆桌和椅子. 摆放三套与四套的设计方案参考图117 3、图 1174，只要满足如下条件：每个圆的半径为1.5cm；每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于2cm ；任意两圆的圆心距不小于3
17、.5cm. 说明：对于一道运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断. 该试题是在考生容易想象的情境中考查学生用数学的能力，源于生活， 打破常规， 重视学生探究问题的能力的培养和动手操作意识的形成，这是今后中考试题的一个方向. 【习题 11】如图 11-8 ，在 ABC中, 已知 BC=6, C=600,sinA=0.8, 求 AB和 AC的长 .( 结果保留根号) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载D F C A B E 图 1
18、111 A B C P Q 图 1110 图 119 图 1112 D E C A B O2O1如图 11-9 ，挂着“庆祝凤凰广场竣工”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4m ，在地面 A点测得气球中心O的仰角 OAD=60 ，测得气球的视角BAC=2 （ AB 、 AC为 O的切线， B、C 为切点）则气球中心O 离地面的高度OD为（） 。（精确到1m ，参考数据sin1 =0.0178 ， =1.732 ）A 94m B 95m C 99m D 105m 3. 如图 11-10,Rt ABC中， AC=5 ，BC=12 ， ACB=90 ，P是 AB边上的动点（与点A、B不重合）
19、，Q是 BC边上的动点（与点B、C不重合） . 如图，当PQ AC ，且 Q为 BC的中点时，求线段CP的长；当 PQ与 AC不平行时， CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ长的取值范围；若不可能，请说明理由. . 如图 1111，将矩形 ABCD （AB AD ）沿 BD折叠后，点C落在点 E处，且 BE交 AD于点 F. 若 AB=4 ，BC=8 ，求 DF的长；若 DA平分 EDB ，求BCAB的值 . 已知：如图11-12 ， ABC内接于 O1，以 AC为直径的 O2交 BC于 D，AE切 O1于点 A，交O2于点 E. 连 AD 、CE，若 AC=7 ， AD=325
20、tan, 5B. 求： BC的长； CE的长 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载A B C O E D M 图 1114 A B C E D 6. 已知：如图1113，在半径为4 的 O中， AB 、CD是两条直径， M为 OB的中点， CM的延长线交 O于点 E，且 EM MC ，连结 DE ，DE=15. 求 EM的长；求sin EOB的值 . 7. 如图 1114，如图， BD 是 O 的直径， E 是 O 上的一点，直线AE 交 BD 的延长线于点A，BCAE 于 C，且 CBE DBE
21、 。（1）求证： AC 是 O 的切线；（2）若 O 的半径为2， AE24，求 DE 的长。8. 如图 11-15，正三角形ABC的边长为63cm,O的半径为rcm，当圆心O从点 A出发，沿着线路 ABBC CA运动，回到点A时， O随着点 O的运动而移动 . 若 r=3cm,求 O首次与 BC边相切时， AO的长；在 O移动过程中， 从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r 的取值范围及相应的切点的个数；设 O在整个移动过程中，在ABC内部， O未经过的部分面积为S，在 S 0 时，求关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围 . 9. 如图 11-16, 已知 A
22、、B都经过点C，BC是 A的切线， B交 AB于点 D，连结 CD并延长交 A于点 E，连结 AE. (1) 求证 :AE AB; A(O) O B C 图 11-15精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载图 1116 (2) 求证 :DBAD2DCDE; (3) 如果8DCDE,AE=3, 求 BC的长 . 答案部分：【习题 11】过B 点 作 ABC 的 高BD, 则 在Rt BCD 中 ， CD=21BC=3,BD=33, 在Rt ABD中,AB=43158 .033sin ABD,AD=4392
23、2BDAB, 从而， AC=AD+CD=3+439说明：遇到600、sinA 应联想到解直角三角形，为了保证600 、sinA 的方便使用，应考虑由B点向 AC作高；本题主要应用了锐角三角函数和勾股定理 C 3. 在 RtABC中， AC=5 ， BC=12 ， ACB=90 ， AB=13， Q为 BC的中点， CQ=QB. 又PQ AC ，AP=PB.即 P是 AB的中点 . 在 Rt ABC中，CP=2132AB. 当 PQ与 AC不平行时，只有当 CPQ=90 时， CPQ才可能为直角三角形，以CQ为直径作半圆D，当半圆D与 AB相切时，设切点为M ，连结 DM ，则 DM AB ，且
24、 AC=AM=5 ， MB=AB AM=13 5=8. 设 CD=x ，则DM=x ，DB=12 x，在 RtDMB 中，DB2=DM2+MB2，即（12x）2=x2+82，解得 x=310. CQ=2x=320.即当 CQ=320，点 P运动到切点M位置时， CPQ 为直角三角形. 当320CQ 12 时，半圆D与直线 AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，CPQ为直角三角形. 当 0CQ320时， 半圆 D与直线 AB相离，即点 P在 AB边上运动时， 均在半圆 D外， 0 CPQ 90，此时 CPQ不可能为直角三角形. 综上可知，当320CQ 12 时， CPQ可能为直角三角形
25、. 4. 在矩形ABCD 中， AD BC ， DBC= BDA ，而 DBC= DBE ， DBE= BDA ，因此 BF=DF ，设 BF=DF=x ，则 AF=EF=8 x，在 RtAFB中， 42+(8x)2=x2，解得 x=5，即 DF的长为 5；若DA 平分EDB ，则BDC= BDE=2 ADB，而 BDC+ ADB=90 ，ADB=30 ，BCAB=ADAB=tan30 =33. 5.(1)AC是 O2的直径， ADC=90 ，由 AC=7 ，AD=3, 5得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必
26、备欢迎下载A(O)O B C B1C1A1F E D G DC=222ADAC，在 RtADB中， tanB=25BDAD, BD=25536,BC=BD+DC=8 ；(2) AC是 O2的直径，AEC=90 ，又 AE切 O1于点 A， EAC= ABC,因此 Rt AECRtBDA, ABACADCE，在 RtADB中， AB=922BDAD，CE=357ABADAC. 6. DC为 O的直径，DEC=90 ， EC=. 7)15(82222DEDCOA=OB=4 ， M为 OB的中点，AM=6 ， BM=2.设 EM=x ， 则 CM=7 x， 由 AM MB=EM MC得， 6 2=x
27、 （7x） ,解得 x1=3，x2=4. 但 EM MC ， EM=4. 由 知 ， EO=EM ， 作EF OB 于F ， 则OF=MF=41OB=1， 在Rt EOF 中 ，EF=,15142222OFOEsin EOB=415OEEF. 7.（1）证明： 连结 OE ，在 OEB中，OE=OB ， OEB= OBE 而 CBE= DBE= OBE OEB=CBE ，OEBC又BCAE，OEAC点E在 O上，AC是 O的切线. （2）AC切 O于E，2AEAD AB，而4 2,24,AEDBOB，代入上式得：2(42)(4)ADAD， 解得4AD或8AD（舍去） . 由于2AEAD AB，
28、AA，ADEAEB12DEADEBAE. 设 DE=x,则在 RtDEB中，2BEx，22(2 )16xx解得DEx334. 8. 设 O首次与 BC相切于点D，连结 OD ，则有 OD BC ，且 OD=r=3. 在 RtBOD中， OBD=60 ， OB=060sin3=2. AO=AB OB= （632）cm. 在正 ABC中，由 AB=63得高 AF=923AB，当O的半径为9 时，O在移动过程中与ABC边共相切三次 （圆心在三个顶点A、B、C处） ，切点个数为3；当0r 9 时， O在移动过程中与ABC边共相切六次（O点在 AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
29、纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载边与 AC 、BC各相切一次， 同理在 BC边与 AB 、AC各相切一次， 在 AC边与 BC 、AB各相切一次） ，切点个数为6；当 r 9 时， O在移动过程中与ABC边不相切，即切点个数为0. S 0 时， O在移动过程中，在ABC内部未经过部分为正三角形A1B1C1内部，这个正三角形与原正三角形三边平行，且平行线之间的距离为r ，连接 AA1并延长 AA1分别交 B1C1于 E、F，则 AF BC ，A1EB1C1，且 EF=r, 又过 A1作 A1G AB于 G ，则 A1G=r. GAA1=30， AA1=2
30、r. A1B1C1的 高A1E=AF 3r=9 3r. B1C1=)3(323321rEA. A1B1C1的 面 积S=21B1C1A1E=2)3(33r. 即所求解析式为S=2)3(33r（0r3）. 9.(1)因为 BC是 A的切线，所以 BC AC ， 由 ACE= B， BCD= BDC= ADE ， 所以 B+ADE=ACE+ BCD=90o，AE AB (2) 作 BF CE于 F，易证 ADE FDB ，所以 DE DF=AD DB ，又因为BC=BD ，所以 DF=21DC ，所以DBAD2DCDE(3) 由 (2) 得 AD DB=4 ，在 RtABC中， AC=AE=3 ，所以 AB2-BC2=3 设 BC=BD=x, AD=y 则9)(422xyxxy，解得 x=4,y=1, 所以 BC=4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页