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1、学习必备欢迎下载专题六代数应用型问题一按住 ctrl 键 点击查看更多中考数学资源方程类考点透视 解方程或方程组是同学们最熟悉的，但利用方程（组）解应用题，就感到有点困难，特别是近年来中考题中应用题的取材大都来自现实生活，数据真实，同学们就更感困难。传统的方程应用题语句简短，数字简单，类型明显，数量关系比较明确，列方程（组）比较容易。但中考中的方程应用题往往涉及到日常生活、生产实践、经济活动、社会发展中的有关常识，因此解这类题时，首先要耐心地阅读题目，弄清楚题目中叙述的背景知识，一遍读不懂就再读一遍，将题目浓缩、读“短”。同时要边阅读、边思考，找到关键词语、关键数量，再借用做传统应用题的方法（
2、如列表法、图示法等）分析这些数量之间的关系，找到等量关系，建立方程（组）由于数据是来自实际情况，不是人为编造的，所以有时数据较复杂，这时可以利用科学计算器进行计算；当数据很大或很小时，可以利用科学记数法来表示数据，再进行计算，结果也可用科学记数法表示。对于求出的求知数的值，应根据问题的实际意义，检查它们是否符合题意，才能确定问题的解由于实际问题的复杂性，近年来的方程应用题开始与不等式联系起来，在一道题中既要列方程（组） ，又要列不等式（组），这就增加了试题的难度，需要细心分析数量间的关系，确定选用的数学模型。 典型例题 例 1某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400 元在搬运过程中不慎
3、打碎了 5 盏，该店把余下的灯以每盏比进价多4 元的价格全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9 盏求每盏灯的进价分析一 ： （1）简述题目所叙述的事件：先买灯，再卖灯，然后用卖灯的钱全部买灯（2）用列表法将数据之间的关系表示出来（设每盏灯的进价为x元） ：进价 (元 )进货款 (元) 进货盏数售价 (元 )售出盏数售货款第一次x400 x400 x+4 x400 5（x+4） (x4005) 第二次x？x4009（3）找等量关系，列方程第一次的售货款第二次的进货款即分析二：（1）简述事件：先买灯，再卖灯，结果用卖灯盈利的钱多买了9 盏灯（2）
4、设每盏灯的进价为x元第一次卖了5400 x盏，每盏盈利4 元，共盈利54004x元，但要注意损耗了5 盏， 还要除去 5x元， 实际只盈利了xx554004x 元9x? a5x? a4(400 x-5)?a4?a94005400)4(xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页学习必备欢迎下载（元） 可用图示法分析数量之间关系，如图11：图 11 （3）分析等量关系：卖灯实际盈利的钱多卖9 盏灯的钱即xxx9554004解： 设每盏灯的进价为x元根据题意，得xxx9554004解之，得x110,x2780经检验，这两
5、个根都是原方程的根，但进价不能为负数，所以x10答：每盏灯的进价为10 元说明： 从上述两种分析方法中可以看出，读懂题意、简述事件是很重要的以不同的角度观察同一事件，就产生不同的分析方法，列出的方程在形式上也就不同，但结果是一样的，这里显然第二种方法较简单因此同学们在解应用题时不要满足于自己做出来了，要反思，探讨有无其它解决问题的思路，并要注意与同伴多交流，培养自己多角度解决问题的能力例 2某水库共有6 个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以米小时匀速下降 某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米小时匀速上升，当水库水位超警戒线h米时开始泄洪（1）如
6、果打开n个水闸泄洪小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；（2）经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30 个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸，则需10 个小时水位才能降至警戒线问该水库能否在3 小时内使水位降至警戒线分析： 事件简述：当洪水注入时水位上升，打开一个（或若干个）泄洪闸时水位下降，这时相对于警戒线的水位是多少（1）洪水注入时每小时水位上升b米，打开n个泄洪闸水位每小时下降米，这时水位实际上升（bna）米， x 小时就上升（ bna）x 米，又因为原来水位超警戒线h 米，因此这时水位为（bna） x+h 也可以认为：当洪水注入时，打开n个泄洪闸小时水位下降（
7、 nab）x 米，又因为原来水位为h 米，所以这时水位为h（ nab）x （2）根据第（ 2）题所给的条件可得到两个方程组成的方程组，但方程组中含有3 个未知数、b、 ，这时方程的个数少于未知数的个数，因此不可能求出所有未知数的解，只能以其中的一个未知数去表示其它两个未知数，或求出三个未知数的比解法 1： （1）此时相对于警戒线的水面高度的代数式为：（bna）x+h（2）根据题意，得0)2(10, 0)(30habhab解之，得a=2b，h=30b设想 6 个水闸全部打开，则3 小时后相对于警戒线的水面高度为（bna）x+h=(b12b) 330b=3b因为 b0，所以 3b0，即表示水面高度
8、低于警戒线所以水库能在3 小时内使水位降至警戒线解法 2： （1）此时相对于警戒线的水面高度的代数式为：h（ nab）x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习必备欢迎下载（2）根据题意，得0)2(10, 0)(30bahbah解之，得a=2b，h=30bn（1 n6，n 为整数）个水闸同时打开，3 小时后水位不高于警戒线即h（ na b）x =30b (2nbb)3=33b6nbb（336n） 0因为 b0，所以 336n0，得633n6，且 n 为整数，所以n6所以，当6 个泄洪闸同时打开时，水库能在3 小时内使
9、水位降至警戒线例 320XX 年亚洲铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行。比赛程序是：运动员先同时下水游泳1.5 千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车行40千米到第二换项点，再跑步10 千米到终点。下表是20XX 年亚洲铁人三项赛女子组（19 岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（表内的成绩、所用时间的单位均为秒）。运动员号码游泳成绩第一换项点所用时间自行车成绩第二换项点所用时间长跑成绩191 1997 75 4927 40 3220 194 1503 110 5686 57 3652 195 1354 74 5351 44 3195 （1）填空：第 191 号运动员骑自行车
10、的平均速度是米秒（精确到0.01） ；第 194 号运动员骑自行车的平均速度是米秒（精确到0.01） ；第 195 号运动员骑自行车的平均速度是米秒（精确到0.01） （2） 如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191 号运动员会追上194 号或 195 号吗？如果会，那么追上时离开第一换项点走了多少米（精确到0.01)？如果不会，为什么？（3） 如果长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员中有可能某人追上某人吗？为什么？分析：（1）事件简述：三人同时下水游泳，然后以不同时间从第一换项点出发骑自行车，再以不同时间从第二换项点出发长跑，最后到达终点（2）第（ 1）小题是为下面
11、解题作铺垫的，可利用科学计算器计算第（2） 、 （ 3）小题是开放型的提问，看起来复杂，实质上都是常规的追及问题首先要明确在一段匀速运动中甲追上乙的三个因素：乙先走， 甲后走；甲的速度比乙快；在规定的距离内追上再结合本题找到这三个因素，主要是要分清每人在各段赛程前及赛程中所用的时间解： （1）V1918.12 ；V1947.03；V1957.48（2）从第一换项点出发前191 号已用了 2072 秒， 194 号已用了 1613 秒， 195 号已用了1428 秒因此从第一换项点出发时，194 号比 191 号早 459 秒， 195 号比 191 号早 644 秒解法 1：设 191 号追上
12、 194 号时离开第一换项点走了x 米，则,45912.803.7xx解之，得 x24037.9640000所以191 号能骑车途中追上194 号，这时离开第一换项点走了 24037.96 米解法 2： 设 191 号出发 x 秒后追上194 号， 则8.12x=(x+459)7.03， 解之得，x2960.348.122960.3424037.9640000所以 191 号能在骑车途中追上194 号，这时离开第一换项点走了24037.96 米解法 1： 设 191 号追上 195 号时离开第一换项点走了y 米，则64448. 703.7yy 解精选学习资料 - - - - - - - - -
13、 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页学习必备欢迎下载之，得 y75254.1240000 所以 191 号追上 195 号时已超过骑自行车所走的路程40 千米，故在骑自行车的途中191 号不能追上195 号解法 2：到达第二换项点时，195 号共用了6779 秒， 191号共用了6999 秒，显然是 195号先到达第二换项点，所以在骑自行车途中191 号不会追上195 号，否则应是191 号先到达第二换项点（3）从第二换项点出发时，191 号已用了7039 秒， 194 号已用了7356 秒，195 号已用了 6823 秒可见从第二换项点开始，195 号比 191
14、 号早出发，且长跑所用时间比191 号少、速度比191 号快，所以195 号在长跑时始终在191 号前面； 191 号比 194 号早出发，且长跑所用时间比 194 号少、速度比194 号快，所以191 号在长跑时始终在194 号前面因此在长跑时，始终是 195 号在最前， 191 号在第二， 194 号在最后，谁也追不上谁。分析： 从发展的观点来看，应用题越来越强调取材于现实生活，数据要求真实可靠，这样就会使问题的背景与数据复杂化，分析问题的思路多元化，解题的方法多样化但根据修订版大纲和课程标准的要求，有关方程应用题的建模还是简单的，只有一元一次方程（组） 、一元二次方程、简单的二元二次方程
15、组和分式方程因此分析问题时，要化归到课本上的简单的应用题类型来研究，即把复杂问题简单化对于较复杂的数据，可以使用科学计算器进行计算，把复杂计算机械化例 4先阅读下面两个图表（图12、图 13） ，再解答提出的问题图 12 图 13 （1） 请计算出近三年来徐州市人均国内生产总值（精确到1 元） ，填入下表：年份2000 年20XX 年20XX 年人均国内生产总值（元）（ 2）从 2000 年到 20XX 年，人均国内生产总值平均每年增长的百分率是多少（精确到0.1%）？分析： （1）通过图表获取数据，是小学里学过的知识，也是近年来中考应用题中常用的形式（2）对于较大（或较小）的数的计算，可以利
16、用科学记数法例如，1亿可化为108，1 万可化为104第（ 1）小题的第一空，可以这样计算：71906 .71891071896.01044.896105.644448徐州市近三年年末总人口数（万人）896.44901.84904.44890895900905910 2000 年2001年2002年人数（万人）徐州市近三年国内生产总值（亿元）644.5715.71794.8802004006008001000 2000 年2001年2002年国内生产总值（亿元）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习必备欢迎下载（3
17、）在规定了精确度的情况下使用科学计算器计算时，也可以不考虑中间计算过程中的精确度，但最后结果要按规定的精确度给出解： （1）7190，7936，8789（2）设人均国内生产总值平均每年增长的百分率为x根据题意，得7190 (1x)28789解之，得x10.106，x2 2.106（负值不合题意，舍去）答：从 2000 年到 20XX 年，徐州市人均国内生产总值平均每年增长约为10.6说明： 在第（ 1）小题的计算中，有的同学将人均国内生产总值计算为不到1 元，有的计算为几十万、几百万元除了计算错误外，也说明同学平时对家乡的建设成就、身边大事不够关心要做好应用题，除了要有扎实的数学基本功外，平时
18、还要多看报、看书、看新闻联播，关心社会的发展和科学的发展，积极参加社会实践活动第（2）小题有些同学先分别算出20XX 年到 2000 年的增长率和20XX 年到 20XX 年的增长率，再将二个增长率的和除以2，作为 2000 年到 20XX 年的平均增长率这样的做法对吗？请看下面的分析：假设某工厂第1 年的产量为a，第 1 年到第 2 年的增长率为m，第 2 年到第 3 年的增长率为 n则第 2 年的产量为a（1m） ；第 3 年的产量为a（1m） （1n） 有同学认为第1 年到第 3 年的平均增长率为2nm,则第 2 年的产量为21nma；第 3 年的产量为221nma那么， 等式221nm
19、a a （1m） （1n）成立吗？两边同除以a，则左边22)(1nmnm，右边 1mnmn左边右边22nmmn)42(4122mnnmnm2)(41nm所以，当mn 时，左边右边0，等式成立；当mn 时，左边右边0，等式不成立因此，在一般情况下由于m n，把2nm当作第 1 年到第 3 年的平均增长率是错误的但在本题中由于m 与 n 相差不大，用错误的解法计算出的结果与正确答案相差无几，但其解法仍是错误的，同学们应弄清其中的道理例 5某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案方案规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资每位销售人员的月销售定额为10000 元，在销售定额内，得
20、基本工资200 元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资奖励工资发放比例如表1 所示（1）已知销售员甲本月领到的工资总额为800 元，请问他本月的销售额为多少元？（2）依法纳税是每个公民应尽的义务根据我国税法规定，全月工资总额不超过800 元不缴个人所得税；超过800 元的部分为“全月应缴税所得额”表 2 是缴纳个人所得税税率表若销售员乙本月共销售A、B 两种型号的彩电21 台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为 1275 元，又知 A 型彩电的销售价为每台1000 元，B型彩电的销售价为每台1500 元，请问销售员乙本月销售A 型彩电多少台 ? 精选学习资料 - - - - -
21、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载销售额奖励工资比例全月应纳税所得额税率超过 10000 元但不超过 15000 元的部分5不超过 500 元部分5超过 15000 元但不超过 20000 元的部分8超过 500元至 2000 元部分1020000 元以上的部分10（表 1）（表 2）分析： 本题来自生活实际，限制的因素较多，其中含有几个分段计算的问题：工资分段计算，个人所得税分段计算；涉及的因素也较多，有甲、乙二人，有A 型、 B 型两种彩电因此在解题时要分段讨论，分别计算受题型训练的影响，有些同学看到这类题就联想到分段函数，把
22、问题复杂化了，应该具体问题具体分析，本题实质上就是方程问题要正确理解表内的语言例如某销售员月销售总额为26000 元，那么根据表1 中的规定，他的“超过10000 元但不超过15000 元的部分”是5000 元，他的“超过15000 元但不超过 20000 元的部分”是5000 元，他的“超过20000 元以上的部分”是4500 元，因此，他的该月工资为20050005 50008 6000 10 1450（元）再根据表2 的规定，他应缴个人所得税费为5005（ 1450800 500） 10 40（元） 解第（ 1）小题时，要注意800 元中除了基本工资200 元外，还含有哪几个区段的奖励工
23、资解第（ 2）小题时，要运用分析综合法根据表1 的规定，可由乙实得的工资推算出乙本月的工资；再根据表2 的规定，可由乙的工资推算出乙在本月的销售额；再根据条件，由乙的销售额列方程求出两种型号彩电的台数解： （1）当销售额为15000 元时，工资总额20050005 450 元，当销售额为20000 元时，工资总额20050005 50008 850 元，而 450800850，所以如果设甲该月的销售额为x 元，则得20050005（ x100000） 8 800解之，得x19375答：销售员甲该月的销售额为19375 元（2）求乙该月的工资设乙月工资为（800 a）元（ 0a500） ，他应缴
24、个人所得税a5（元），实际领得的工资为（ 800a） a5由乙实际领得的月工资为1275 元，得800（ aa5） 1275解之，得a500500800500 1300所以，乙该月的工资为1300 元 求乙该月的销售额由（ 1）的计算中可知，当销售额为20000 元时，工资总额为850 元因为 1300850，所以乙该月的销售额超过20000 元乙该月的销售额20000 （1300 850） 10 24500（元） 求乙销售 A 型彩电的台数设乙销售 A 型彩电 x 台，则销售B 型彩电（ 21x）台由题意，得1000 x 1500（21x） 24500解之，得x14答：销售员乙本月销售A 型
25、彩电 14 台例 6随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人民的居住环境已成为城市建设的一项重要内容 某城市计划到20XX年要将该城市的绿地面积在20XX年的基础上增加44，同时要求该城市到20XX年人均绿地的占有量在20XX年的基础上增加21，为保证实现这个目标，这两年该城市人口的增长率应控制在多少以内（精确到1）？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页学习必备欢迎下载解： 设 20XX 年该城市总人口为m，绿地总面积为n这两年该城市人口的年平均增长率至多为x由题意，得%)211()1(%)441 (2mnxmn，即
26、21.144.1)1(2x解之，得%9x答：这两年该城市人口的年平均增长率应控制在9以内说明： 设辅助求知数可以使复杂问题简单化，便于分析量与量之间的关系，较快的找到等量关系，列出方程该题在解答过程中，虽然在一个方程中出现了3 个用字母表示的求知数，但其中两个求知数是可以通过约分而化为1，实际上仍是解一个一元二次方程例 7某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10（相对于进价） ，另一台空调调价后售出则亏本10（相对于进价） ，而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（） （A）既不获利也不亏本（B）可获利 1（C
27、）要亏本2（D）要亏本1解： 设一台的进价为m 元，另一台的进价为n 元由题意，得m(1+10%)= n(110) ，解之，得nm1. 19 .0两台进价的和调价后两台售价的和nmnm9. 01.1，将nm1 .19 .0代入式，得99. 01.19.09.01. 19. 01.1nnnn10990011所以两台空调调价售出后比进价要亏本1，故选（ D） 说明： 本题与例 7 一样，也要设辅助求知数，从等式中得到用n 表示 m 的代数式，再代入，就可以约去辅助求知数有关利润问题要明确几个关系式：利润售价进价；利润率进价利润；售价进价（1利润率）；若进价售价 1，则盈利；若进价售价1，则亏本；若
28、进价售价1，则不盈也不亏例 8某商人现在的进货价比原来的进货价便宜8，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由原来的x% 增加到现在的（x 10），则x是（）（A ） 12（B）15（C）30（D） 50（2000 年湖北省荆州市中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学习必备欢迎下载考题改编）解：设商品原来的进价为a元，则现在的进价为 （18）a元，再设售价为b元则）（）（2)%10(%)81(%)81 (1%xaabxaab由（ 1）得， b（ 1x%）a,代入（ 2） ，得（1x%）a（ 18） a（ x
29、10）（ 18） a解之，得x15所以选（ B） 习题一 1 填空题（1）为了绿化北京，北京市现在执行严格的机动车尾气排放标准，同时正在不断设法减少工业及民用燃料所造成的污染随着每年10 亿立方米的天然气输送到北京，北京每年将少烧300 万吨煤，这样，到20XX 年底，北京的空气质量将会基本达到发达国家城市水平某单位1 个月用煤 30 吨，若改用天然气，一年大约要用立方米的天然气（2）某银行设立大学生助学贷款，6 年期的贷款年利率为6，贷款利息的50由国家财政贴补某大学生预计6 年后能一次性偿还2万元，则他现在可以贷款的数额是万元（精确到0.1 万元）（3）某市开展 “保护母亲河” 植树造林活
30、动 . 该市金桥村有1000 亩荒山绿化率达80, 300 亩良田视为已绿化, 河坡地植树绿化率已达20%,目前金桥村所有土地的绿化率为60%,则河坡地有亩2选择题（1）花果山景区某一景点改造工程要限期完成甲工程队独做可提前1 天完成，乙工程队独做要误期6 天，现由两工程队合做4 天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是（） （A）1614xxx（B）614xxx（C）1614xxx（D）xxxx614（2）已知水的密度为1，冰的密度为0.9 现将 1个单位体积的水结成冰后的体积增长率为p,1 个单位体积的冰溶成水后的体积的下降率为q, 则p、 q的大
31、小关系为 （） （A ）pq（B）pq （ C）pq（D）不能确定（3）一家商店将某种服装按成本价提高40后标价，又以8 折（即按标价的80）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15 元，则这种服装每件的成本价是（） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页学习必备欢迎下载（A）120 元（B）125 元（C）135 元（D）140 元3 为了保护生态平衡，绿化环境， 国家大力鼓励 “退耕还林、 还草” ， 其补偿政策如表 （一）；丹江口库区某农户积极响应我市为配合国家“南水北调”工程提出的“一江春水送北京”的号召，承包了一片
32、山坡地种树种草，所得到国家的补偿如表（二）问该农户种树、种草各多少亩？表（一）种树、种草每亩每年补粮补钱情况表表（二）该农户收到乡政府下发的当年种树种草亩数及补偿通知单种树种草补粮150 千克100 千克补钱200 元150 元4(1) 据 20XX 年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356 万平方公里，其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26 万平方公里问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方公里？（ 2）某省重视治理水土流失问题2001 年治理了水土面积400 平方公里，该内年加大治理力度，计划今明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分
33、数，到 20XX 年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324 平方公里求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数5为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从20XX 年 1 月起进行居民“峰谷”用电试点，每天8： 00 至 22：00 用电每千瓦时0.56 元（ “ 峰电 ” 价） ，22：00 至次日 8：00 每千瓦时 0.28 元（ “ 谷电 ” 价） ，而目前不使用“ 峰谷 ” 电的居民用电每千瓦时0.53 元（1）一居民家庭当月使用“峰谷” 电后,付电费 95.2 元，经测算比不使用“ 峰谷 ” 电节约10.8 元，问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦? （2）当“峰电”
34、用量不超过每月总用电量的百分之几时，使用“峰谷”电合算（精确到 1%）？6 据有关部门统计：20 世纪初全世界共有哺乳类和鸟类动物约13000 种由于环境等因素的影响，到20 世纪末这两类动物种数共灭绝约1.9 ，其中哺乳类动物灭绝3.0 ，鸟类动物灭绝约15（1）问 20 世纪初哺乳类动物和鸟类动物各有多少种？（2）现在人们越来越意识到保护动物就是保护人类自己到本世纪末，如果要把哺乳类动物和鸟类动物的灭绝种数控制在09以内，其中哺乳类动物灭绝的种数与鸟类动物灭绝的种数之比约为6：7为实现这个目标，鸟类灭绝不能超过多少种？（本题所求结果均精确到十位）7 到 20XX年底，沿海某市共有未被开发的
35、滩涂约510 万亩，在海潮的作用下，如果今后二十年内，滩涂平均每年以2 万亩的速度向外淤长增加为了达到既保护环境，又发展经济的目的，从20XX年初起，每年开发0.8 万亩（1）多少年后，该市未被开发的滩涂总面积可超过528 万亩？（2）由于环境得到保护，预计该市的滩涂旅游业每年将比上一年增加收收入200 万元；开发的滩涂，从第三年起开始收益，每年每亩可获收入400 元问：要经过多少年，仅这两项收入将使全市的收入比20XX年多 3520 元？8 周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发。设甲、乙两组行进同一段所用的时间之比为23 。种树、种草补粮补钱30 亩40
36、00 千克5500 元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习必备欢迎下载（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且 A处离山顶的路程尚有1.2 千米。试问山脚离山顶的路程有多远？（3）在题（ 2）所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇。请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答（要求：问题的提出不得再增添其他条件；问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）代数应用型问题二【考点透视】
37、纵观近几年的中考数学试卷，应用题占有较大的比重，约占全卷总分的20%左右这些应用题联系实际，贴近生活，从同学们的生活经验和已有的知识背景出发，创设了一个生动活泼的数学学习情景本专题主要研究应用数与式、不等式、函数以及统计知识解决的应用问题【典型例题】一、 用数与式知识解决的应用题数式是最基本的数学语言由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法例 1某水库共有若干个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a 米/小时匀速下降某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以 b 米/小时匀速上升，当水库水位超警戒
38、线h 米时开始泄洪如果打开n 个水闸泄洪x 小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式分析： 因为打开一个水闸泄洪，水库水位以a 米/小时匀速下降，所以打开n 个水闸泄洪，水库水位每小时下降na 米，同时汛期上游的洪水使水库水位以b 米/小时的速度上升，两者相抵，水库实际每小时上升(bna)米解：表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式为(bna)x+h说明：（1）防洪抗洪是关系到国家和人民利益的大事，近几年的各种媒体加强了这精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习必备欢迎下载方面的宣传力度题中涉及的防洪专业名
39、词较多，也是同学们应该了解和掌握的（ 2）本题时可以与水池的进水和放水相类比，可以增强对题意的理解例 2 某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多有A、B 两组检验员，其中A 组有 8 名检验员，他们先用两天将第一、第二两个车间的所有成品（指原有的和后来生产的）检验完毕后，再去检验第三、第四两个车间的所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B 组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a 件，每个车间每天生产b 件成品（1）试用 a，b 表示 B 组检验员检验的成品总数；（2）求 B 组检验员的
40、人数分析（1）B 组检验员检验了5 个车间的成品，每个车间原有a 件成品，每天生产b件成品，则每个车间5 天后的成品数为（a+5b）件B 组检验员检验的所有成品数为5（ a+5b）=5a+25b（件） （2） A 组有 8 名检验员，在前两天内检验了两个车间，每天检验的成品数为2)2(2ba，后检验的2 个车间 5 天后的成品数为2（ a5b） ，8 名检验员在后三天内每天检验的成品数为3)5(2ba因为检验员的检验速度相同，所以，有bababa43)5(22)2(2，即因为 8 名检验员每天检验的成品数为2)2(2ba，所以， 一名检验员每天检验的成品数为bba4382)2(2（件）由（1）
41、可知， B 组检验的5 个车间 5 天后的成品数为5（a+5b） ，这些检验员每天检验的成品数为5)5(5ba件，即（ a+5b）件根据题意，a0，b 0，所以， B 组检验员的人数为1243943)5(bbbba说明建立3)5(22)2(2baba的相等关系是本题的难点，突破难点的关键是抓住A 组 8 名检验员“前两天每天检验的成品数=后三天每天检验的成品数”，这是比较隐蔽的条件二、用不等式知识解决的应用题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页学习必备欢迎下载现实世界中的不等关系是普遍存在的许多问题有时并不需要研究
42、他们之间的相等关系，而只需确定某个量的变化范围即可对所研究的问题有比较清楚的认识例 3某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整，该企业现有生产性行业人员 100 人，平均每人全年创造产值a 元，现欲从中分流出x 人去从事服务性行业假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20%，而分流从事服务性行业的人员平均每人全年可创造产值3.5a 元如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数分析 ：设分流后从事服务性行业的人数为x 人，可创造
43、产值3.5a 元，则企业生产性人员还有（ 100 x）人，可创产值（120%）a（100 x） 分流前共创产值100a 元，于是可列不等式组求解解：由题意，得.100215 .3,100%)201)(100(aaxaax即.505. 3,100)100(2 .1xx解得3507100 xx 为正整数， x 的取值为15， 16答：从事服务性行业的人员为15 人或 16 人说明 ：本题的最后两句话提出了全年总错误！链接无效。的目标，这是列不等式组的依据请你进一步思考：本题从事服务性行业的人员15 人或 16 人中，哪一个结果更好？例 4为了保护环境，某企业决定购买10 台污水处理设备，现有A、
44、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：A 型B 型价格（万元 /台）12 10 处理污水量（吨/月）240 200 年消耗费（万元/台）1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105 万元（1）请你设计该企业有几种购买方案；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页学习必备欢迎下载（2）若企业每月产生的污水量为2040 吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（ 2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10 年，污水厂处理费为每吨10 元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂
45、处理相比较，10 年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）分析 ：若企业购买A 型号的设备x 台，则购买B 型号的设备 (10 x)台，根据表格给出的 A、B 两种型号设备的有关信息，即可求出企业购买设备的资金解：（1）设购买污水处理设备A 型 x 台，则 B 型(10 x)台由题意知， 12x+10(10 x) 105，解得 x2.5x 取非负整数， x 可取 0，1，2有三种购买方案：购A 型 0 台， B 型 10 台；购 A 型 1 台， B 型 9 台；购 A 型 2 台，B 型 8 台(2)由题意，得240 x+200(10 x)2040，解得 x1
46、 x 为 1 或 2当 x=1 时，购买资金为121+l09=102(万元 )；当 x=2 时，购买资金为122+ l08=104(万元 )为了节约资金，应选购A 型 1 台， B 型 9 台(3)10 年企业自己处理污水的总资金为102+1010=202(万元 )若将污水排到污水厂处理，10 年所需费用20401210 l0=2448000( 元)=244.8(万元 )244.8202=42.8( 万元 )，能节约资金428 万元说明：对于不同的购买方案，何种最优？最好的办法就是分类讨论三、用函数知识解决的应用题函数应用问题主要有下列两种类型：（1）从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系
47、式；（2）由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式例 5某化工材料经销公司，购进了一种化工原料共7000 千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于30 元市场调查发现：单价定为70 元时，日均销售60 千克；单价每降低1 元，日均多售出2 千克在销售过程中，每天还要支出其他费用500 元（天数不足一天时，按整天计算）设销售单价为x 元，日均获利为y 元（1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页学习必备欢迎下载（
48、2）将（ 1）中所求出的二次函数配方成abacabxay44)2(22的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系中画出草图；观察图像，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？分析：若销售单价为x 元，则每千克降低（70 x）元，日均多售出2（70 x）千克，日均销售量为 602（ 70 x）千克，每千克获利为（x30）元从而可列出函数关系式解：（1）根据题意，得65002602500)70(260)30(2xxxxy（30 x 70） （2）1950)65(22xy，顶点坐标为（65，1950）
49、，二次函数的草图（略）经观察可知，当单价定为65 元时，日均获利最多，是1950 元（3）当日均获利最多时，单价为65 元，日均销售602（7065）=70 千克，获总利为 19507000 70=195000 元；当销售单价最高时，单价为 70 元，日均销售60 千克，将这种化工原料全部售完需700060117 天，获总利为（7030） 7000117500=221500 元因为 221500195000，且 221500195000=26500 元，所以，销售单价最高时获总利较多，且多获利26500 元说明：根据题意，正确列出二次函数关系式，是解决（2） 、 （ 3）两小题的关键这里，特别
50、要注意自变量x 的取值范围例 6 某市 20 位下岗职工在近郊承包50 亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表请 你 设 计 一下种植方案， 使每作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜211100 元烟叶31750 元小麦41600 元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页学习必备欢迎下载亩地都种上农作物，20 位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多解：设种植蔬菜x 亩，烟叶y 亩，则小麦有（50 xy）亩根据题意，有所以 y= 903x再设预计总产值为w，则