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1、高一数学知识点全解必修一第一章，集合与函数概念一，集合1.集合的有关概念：1)集合的含义：一般的指定的某些对象的全体称为集合（也称为集），集合中的每个对象是集合的一个元素。2)集合元素的三个特性：元素的确定性，如：世界上最高的山元素的互异性，如：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y, 元素的无序性，如：A,B,C 和A,C,B 表示同一个集合3） 集合的表示方法：列举法，将集合中的元素一一列举出来。如: 我们班的全体学生 ，太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 描述法，将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内。如：x23| xR,(x,y)|2x+3y=0,xRyR, Venn图，例
2、题： （集合的意义与表示方法）1.一直集合 A=33,222) 1(aaaa 若 1A，求实数 a的值2.试用列举法和描述法分别表示下列集合方程022x所有实根组成的集合由大于 10 小于 20 的整数组成的集合*思考：能否用例举法表示不等式?37Xc d a b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页作业：基础篇1，基础篇下列集合中，表示方程组的解集的是（）（A）（B）（C）（ D）2，若集合只有一个元素，则实数的值加强篇1，集合 A 的元素由0232xkx的解组成，其中,Rk若 A 中的元素之多有一个，求k的 值2
3、，若，求实数的值。二，集合间的基本关系1， “包含”关系 - 子集注意： ABAABBABABAB，记作不包含，或者集合不包含于集合反之：集合是同一集合与）的一部分：（是）有两种可能（212“相等”关系：A=B （55，且 55）实例：设 1 , 1,01|2BxxA“两个集合表示的元素相通则集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集真子集：如果ABAB，且那就是说集合A 是集合 B 的真子集，记作AB （或者 BA ）如果 AB，CB，那么CA如果BAABBA那么同时 3 ，不含任何元素的集合叫空集，记作 * 有 N个元素的集合，含有个真子集子集，122NN例题（集合间的基本关系）1，设，若，
4、则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（ D）2，若集合、，满足，则与之间的关系为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页（A）（B）（C）（ D）作业：基础篇1 、图中阴影部分表示的集合是( ) A. BCAUB. BACUC. )(BACUD. )(BACU2、已知集合A=x x2，Rx，B=xxa，且BA，则实数 a 的取值范围是（）（A）a（B）a（C）a（D）a3、设全集NxxxU, 8|，若8 , 1)(BCAU，6 ,2)(BACU，7, 4)()(BCACUU，则（）（A）6,2,8 , 1BA（B
5、）6,5,3 ,2,8 , 5, 3, 1BA（C）6,5 ,3,2,8 , 1BA（D）6, 5, 2,8, 3, 1BA4、设 P=| ),(,|22xyyxQxyx，则 P、Q 的关系是（）（A）PQ （B）P Q （C）P=Q （D）PQ=加强篇 1 ，已知集合，且，求实数的取值范围。 2 ，已知集合，若，求实数的取值范围。二，函数一、函数的概念与表示1、 映射（1）映射：设A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B 以及 A 到 B的对应法则f）叫做集合A 到集合 B 的映射，记作f：AB。
6、注意点：（1）对映射定义的理解。 （2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例题1、下列各对函数中，相同的是（）A、xxgxxflg2)(,lg)(2B、) 1lg() 1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、vvvguuuf11)(,11)(D、 f（x）=x，2)(xxfA B U 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页2、30|,20|yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合 N 的函数
7、关系的有（）A、 0 个 B、 1 个 C、 2 个 D、3个二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；6.（05 江苏卷）函数20.5log(43 )yxx的定义域为2 求函数定义域的两个难点问题（1）( )x已知 f的定义域是 -2,5,求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知 f 的定义域是 -1,3,求f() 的定义域例 2 设2( )lg2xf xx，则2()( )2xffx的定义域为 _ 变式练习：24)
8、2(xxf，求)(xf的定义域。三、函数的值域1 求函数值域的方法x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且xR 的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）
9、；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1 （直接法）2123yxx22( )2242f xxx3 （换元法）12xxy4. （法）432xxy5. 11y22xx6. (分离常数法 ) 1xxy31( 24)21xyxx7. (单调性 )3( 1,3)2yxxx8. 111yxx，11yxx (结合分子 / 分母有理化的数学方法) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页9 (图象法 )232( 12)yxxx10(对
10、号函数 )82(4)yxxx11. (几何意义 )21yxx四函数的奇偶性1定义 :设 y=f(x) ，xA，如果对于任意xA，都有()( )fxf x，则称 y=f(x) 为偶函数。如果对于任意xA，都有()( )fxf x，则称 y=f(x) 为奇函数。2.性质 ：y=f(x) 是偶函数y=f(x) 的图象关于y轴对称 ,y=f(x) 是奇函数y=f(x) 的图象关于原点对称 , 若函数f(x) 的定义域关于原点对称，则f(0)=0 奇 奇=奇偶 偶=偶奇 奇=偶偶 偶=偶奇 偶=奇两函数的定义域 D1，D2，D1D2要关于原点对称 3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看 f(x)与 f
11、(-x)的关系1 已 知 函 数)(xf是 定 义 在),(上 的 偶 函 数 . 当)0,(x时 ，4)(xxxf， 则 当),0(x时，)(xf. 2 已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数。（）求,a b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；3 已知)(xf在（ 1，1）上有定义，且满足),1()()()1 , 1(,xyyxfyfxfyx有证明：)(xf在（ 1，1）上为奇函数；4 若奇函数)(Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
12、结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设xgfy是定义在M 上的函数，若f(x) 与 g(x)的单调性相反，则xgfy在 M上是减函数；若f(x) 与 g(x)的单调性相同，则xgfy在 M 上是增函数。1 判断函数)()(3Rxxxf的单调性。2 例 函数)(xf对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0 x时，1)(xf，求证：)(xf在R上是增函数；若4)3(f，解不等式2)5(2aaf3 函数)26(log21. 0 xxy的单调增区间是_ 4( 高考真题) 已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf
13、xx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）(0,1)（ B）1(0,)3（C）1 1, )7 3（ D）1,1)7六函数的周期性：1 （定义 ）若)0)()(TxfTxf)(xf是周期函数， T 是它的一个周期。说明： nT 也是)(xf的周期（ 推广 ）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期对照记忆()()f xaf xa说明：()()f axf ax说明：2若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf周期是 2a1 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足 f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A) 1 (B) 0
14、(C) 1 (D)2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页2 定 义 在R 上 的 偶 函 数( )f x， 满 足(2)(2)fxfx， 在 区 间 -2,0 上 单 调 递 减 ， 设(1.5),(2),(5)afbfcf，则, ,a b c的大小顺序为 _ 3 已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(fxfxfxf若则f (2005)= . 4 已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf， 当 0 x1 时，f(x)=x ， 则 f(7.5)=_ 例 11 设)(xf
15、是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(xfxf，当2,0 x时22)(xxxf求证：)(xf是周期函数；当4,2x时，求)(xf的解析式；计算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解 (2)换 (3)写定义域。3、关于反函数的性质（ 1）y=f(x) 和 y=f-1(x)的图象关于直线y=x 对称；（ 2）y=f(x) 和 y=f-1(x)具有相同的单调性；（ 3）已知 y=f(x) ，求 f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是 f-1(a)；（ 4）f-1f(x)=x; （ 5）若点(a
16、,b)在 y=f(x) 的图象上，则(b,a)在 y=f-1(x) 的图象上；（ 6）y=f(x) 的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x 上 ; 1 设函数( )yf x的反函数为1( )yfx，且(21)yfx的图像过点1(,1)2，则1( )yfx的图像必过（A）1(,1)2（B）1(1, )2（C）(1,0)（D）(0,1)第二章，基本初等函数一二次函数 (涉及二次函数问题必画图分析) 1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴abx2，顶点坐标)44,2(2abacab2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程)0(02acbxax的根
17、为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a 0)0y的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页x的取值。一元二次不等式)0(02cbxax的解集 (a0) 二次函数情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a0) =b2-4ac ax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0) 图象与解0 21xxxxx或21xxxx=0 0 xxx0 , a 1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax (a0 且 a1) y=logax (a0 , a1) 定义域(-,+ ) (0,+ ) 值域(0,+ ) (- ,+ )
18、 过定点（， 1）（1，）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax (a0 , a 1)图象关于 y=x 对称单调性a 1,在(-,+ )上为增函数 a1,在(0,+ )上为增函数 a1 ? y0? y0? 2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同， 如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同， 可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注
19、意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。1、 （1）)35lg(lgxxy的定义域为 _；（2）312xy的值域为 _；（3）)lg(2xxy的递增区间为_，值域为_2、 （1）041log212x，则_x3、要使函数ayxx421在1 ,x上0y恒成立。求a的取值范围。4. 若a2x+21ax210（a0 且a1） ，求y=2a2x3ax+4 的值域 .四函数的图象变换（1）1、平移变换：（左 + 右- ，上 + 下- ）即kxfyxfyhxfyxfykkhh)()()()(,0;,0
20、,0;,0上移下移左移右移对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）)()()()()()()()()()()()(1xfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxxyxyyx轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴1f(x)的图象过点 (0,1) ，则 f(4-x)的反函数的图象过点（）A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4) 2作出下列函数的简图：（1）y=|logx2|；（2）y=|2x-1|；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页（3）y=2|x|；五函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0fxf xxx单调递增1212()()0f xf xxx单调递减2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：( )()0f xfx奇函数( )()0f xfx偶函数3函数的凸凹性：1212()()()22xxf xf xf凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）1212()()()22xxf xf xf凸函数（图象“上凸” ，如：对数函数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页