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1、立体几何初步与解析几何初步1、圆柱是由矩形旋转得到，圆锥是由直角三角形旋转得到，圆台是由直角梯形旋转得到，球是由半圆旋转得到. 2、中心投影的投影线相交于一点，平行投影的投影线互相平行. 3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心；圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三视图都是圆. 4、空间几何体的表面积：（1）直棱柱的侧面展开图是矩形；设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱的侧面积chS直棱柱侧面积；（2）正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形；设正棱锥底面正多边形的边长为a，底面周长为c，斜高为h，则正n棱
2、锥的侧面积1122nahchS正棱锥侧面积；（3）正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形；设正n棱台的上底面、下底面边长分别为a、a，对应的周长分别为c、c，斜高为h，则正n棱台的侧面积1122n aa hcc h正棱台侧面积S；（4）圆柱的侧面展开图是矩形；设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的底面面积为2r，侧面积为2 rl，圆柱的表面积2 r rlS圆柱表面积；（5）圆锥的侧面展开图是扇形；设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为rl，表面积r rlS圆锥表面积；（6）圆台的侧面展开图是扇环；设圆台的两底面半径分别为r、r，母线长为l，则圆台的侧面积为rr l，表面积22r l
3、rlSrr圆台表面积；（7）设球的半径为R，则球的表面积24SR球表面积. 5、空间几何体的体积：（1）设柱体（棱柱、圆柱）的底面积为S，高为h，则柱体的体积ShV柱体；（2）设锥体（棱锥、圆锥）的底面积为S，高为h，则锥体的体积13ShV锥体；（3）设台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别为S、S，高为h，则台体的体积13h SSSSV台体；（4）设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积2hVr圆柱；（5）设圆锥的底面半径为r，高为h，则圆锥的体积213hVr圆锥；（6）设圆台的上、下底面半径分别为r、r，高为h，则圆台的体积2213hrrVrr圆台；精选学习资料 - - - - - - -
4、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页（7）设球的半径为R，则球的体积343VR球. 6、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展. 7、平面的基本性质：公理 1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 数学符号表示：,lll公理 2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 数学符号表示：, ,CC三点不共线有且只有一个平面 使公理 3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 数学符号表示：ll且公理 4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. 数学符号表示：/ , /ab bcac推论 1、经过一条直线和
5、直线外的一点，有且只有一个平面. 推论 2、经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论 3、经过两条平行直线，有且只有一个平面. 8、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 9、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 数学符号表示：, /aba ba直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示：/ ,/aaba b10、平面与平面平行的判定定理： （1）一
6、个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 数学符号表示：, / , /ababab（2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 数学符号表示：,/aa（3）平行于同一个平面的两个平面平行. 数学符号表示：/ ,/平面与平面平行的性质定理： （1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. 数学符号表示：/ ,/aa（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 数学符号表示：/ ,/aba b11、直线与平面垂直的判定定理： （1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,mnm nlmlnl（2）如
7、果两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 数学符号表示：/ ,a b ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面. 数学符号表示：/ ,aa直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 数学符号表示：,/aba b12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 数学符号表示：,aa平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示：,
8、b aaba13、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 数学符号表示：,为在 内的射影 ,a,aa三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线， 如果它与这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 数学符号表示：,为在 内的射影 ,a,aa14、求异面直线所成的角（090）的步骤：（1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小. 15、求直线与平面所成的角（090）的步
9、骤：（1）在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线 ,连结垂足和斜足 ,则斜线与射影的夹角就是直线与平面所成的角. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小. 16、求二面角的平面角（0180）的步骤：（1）在二面角的棱上找适当的点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便易求此角大小. 17、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为0
10、180，斜率为k，则tan2k. 当2时，斜率不存在 . （2）当090时，0k；当90180时，0k. （3）过111,yx，222,yx的直线斜率211221kyyx xx x. 18、两直线的位置关系：两条直线111222:;:yxyxlkb lkb斜率都存在，则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页（1）121212/l lk k b b且；（2）12121llk k1212,0,llll当 的斜率不存在 的斜率为时；（3）112122llk k b b重合且与. 19、直线方程的形式：（1）点斜式：00yk
11、xyx（定点，斜率存在）（2）斜截式：ykx b（斜率存在，在y轴上的截距）（3）两点式：1112122121,yxyxyyx xyyx x（两点）（4）截距式：1xyab（在x轴上的截距，在y轴上的截距）（5）一般式：2200 xy C20、直线的交点坐标：设11221122:0,:0 xyxylClC，则联立方程组11122200 xyxyCC（1）当方程组有惟一解时，两条直线相交，此解是交点的坐标；（2）当方程组无解时，两条直线平行；（3）当方程组有无数组解时，两条直线重合. 设11221122:0,:0 xyxylClC，则：（1）1l与2l相交1122；（2）11112222/Cl
12、lC；（3）1l与2l重合111222CC. 21、两点111,yx，222,yx间的距离公式22122121yyxx原点0,0与任一点, x y的距离22yx22、点000,yx到直线:0lxyC的距离0022Cdyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页（1）点000,yx到直线:0lxC的距离0Cdx（2）点000,yx到直线:0lyC的距离0Cdy（3）点0,0到直线:0lxy C的距离22Cd23、两条平行直线10 xyC与20 xyC间的距离1222dC C24、过直线1111:0 xylC与2222:0 x
13、ylC交点的直线方程为1122120 xyxyRCC25、与直线:0lxyC平行的直线方程为0 xyDCD与直线:0lxy C垂直的直线方程为0 xy D26、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1222,yyxx关于点00,yx对称，则12012022x xxyyy（2）轴对称：设1212,yyxx关于直线:0lxyC对称，则：a、0时，有122Cx x且12yy；b、0时，有122Cy y且12x xc、0时，有12121212022Cy yx xy yx x27、圆的标准方程：222x ay br（圆心,a b，半径长为r）圆心0,0，半径长为r的圆的方程222yxr28、点与圆的位置
14、关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页设圆的标准方程222x ay br，点00,yx，则：（1）当点在圆上时，22200abyxr；（2）当点在圆外时，22200abyxr；（3）当点在圆内时，22200abyxr. 27、圆的一般方程：2222040DxEy FFyxDE（1）当2240FD E时，表示以,22DE为圆心，22142FDE为半径的圆；（2）当2240FD E时，表示一个点,22DE；（3）当2240FD E时，不表示任何图形 . 28、直线与圆的位置关系：设 直 线:0lxy C与 圆222:C
15、x ay br， 圆 心 到 直 线 的 距 离22abCd， 方 程 组2220 xyCx ay br，为方程组消去一元后得到的方程的判别式，则：（1）相交0dr方程组有两组实数解；（2）相切0dr方程组有一组实数解；（3）相离0dr方程组无实数解 . 29、圆与圆的位置关系：设圆1C的半径为1r，圆2C的半径为2r，则：（1）1C与2C相离1212CCrr；（2）1C与2C相切1212CCrr；（3）1C与2C相交121212CCrrrr；（4）1C与2C内切1212CCrr；（5）1C与2C内含1212CCrr. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
16、 - - - -第 6 页，共 7 页30、过两圆221110 xyyxDEF与222220 xyyxDEF交点的圆的方程222211122201xyxyyyxxDEFDEF当1时，即两圆公共弦所在的直线方程. 31、点, ,a b c关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标：（1）关于xoy平面的对称点坐标为, ,a bc；（2）关于xoz平面的对称点坐标为,ab c；（3）关于yoz平面的对称点坐标为, ,a b c；（4）关于x轴的对称点坐标为,abc；（5）关于y轴的对称点坐标为, ,a bc；（6）关于z轴的对称点坐标为,ab c；（7）关于原点的对称点坐标为,abc；32 点11221212,yyxxzz间的距离22212212121yyxxzz点120,0,0 , ,x y z间的距离22212yxz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页