2022年高一数学知识点 .pdf

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1、知识点大全高中数学必修1 函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。CBAxyyxCxyyBxyxA、，如：集合lg|),(lg|lg|中元素各表示什么？A 表示，B 表示，而 C 表示2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合，Ax xxBx ax|22301若，则实数 的值构成的集合为BAa3. 注意下列性质：的所有子集的个数是，）集合（naaa211要知道它的来历：若B 为 A 的子集，则对于元素a1来说，有2 种选择（在或者不在

2、） 。同样，对于元素a2, a3, an,都有 2 种选择，所以，总共有2n种选择，即集合 A 有个子集。故真子集个数为，非空真子集个数为（ ）若，；2ABABAABB（3）德摩根定律：BAUCBAUC4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa50352的取值范围。注 意 ， 有 时 候 由 集 合 本 身 就 可 以 得 到 大 量 信 息 ， 做 题 时 不 要 错 过 ；如 告 诉 你 函 数f(x)=ax2+bx+c(a0) 在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是 x=1. 4. 函数的

3、三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备) 5 求函数的定义域有哪些常见类型？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页知识点大全例：函数的定义域是yxxx432lg函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10

4、. 如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0义域是 _。复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=2x-2x+5 ，x-1 ， 2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都

5、可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页知识点大全.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简，再用均值不等式xmxnx1例： y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1例： y（x+1）1211x1x1x14. 图像法例 求函数 y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已

6、学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=25xlog31x（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+1x的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一

7、目了然，赏心悦目。例：已知点P（x.y ）在圆 x2+y2=1 上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页知识点大全2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1) 令则是一条过 (-2,0)的直线 . d为圆心到直线的距离 ,R为半径 ) (2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxR dxbyxbR例求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。例求函数y=1362xx+ 542xx的值域9 、不等式法利用基本不等式a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，cR） ，求函数的最值，其

8、题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x (3-2x)(0 x0 且 a1）- f（xy） f（x） f（ y） ；f（yx） f（x） f（y）6.三角函数型的抽象函数f（ x） tgx-f（xy）)()(1)()(yfxfyfxf例 1 已知函数f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） f（x） f（y） ，且当 x0 时， f(x)0，f(1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域 . 分析：先证明函数f（x）在 R 上是增函数（注意到f（x2） f（x2x1） x1f（x2x1）f（x1）

9、） ；再根据区间求其值域. 例 2 已知函数f （x）对任意实数x、y 均有 f （ xy）2 f（x）f（y） ，且当 x0 时，f(x)2，f(3) 5，求不等式f（a22a2）0,xN； f（ab）f（a）f（b） ，a、bN； f（2） 4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出f（x） 2x；再用数学归纳法证明. 例 6 设 f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足f（xy） f（x） f（y） ，f（ 3）1，求：（1）f（1） ；（2）若 f（x） f（x8） 2，求 x 的取值范围 . 例 7 设函数 y f（x）的反函数是y g（x）

10、.如果 f（ab） f（a） f（b） ，那么 g（a b）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页知识点大全g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设f（a） m，f（b） n，则 g（m） a，g（n） b，进而 mn f（a） f（b）f（ab） f g（m）g（n）. 例 8 已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f（a）1（a0，a 是定义域中的一个数） ；当 0 x2a 时， f（x） 0.

11、试问：（1）f（ x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（ 0，4a）上， f（x）的单调性如何？说明理由. 分析： （ 1）利用 f （ x1x2） f （ x1 x2） ，判定 f（x）是奇函数；（3）先证明 f（x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f（x） （x0）满足 f（ xy） f（x） f（ y） ，（1）求证： f

12、（1） f（ 1） 0；（2）求证： f（x）为偶函数；（3）若 f（x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f（x） f（x21） 0. 例 10 已知函数f（x）对一切实数x、 y 满足 f（ 0） 0，f（xy） f（x） f（y） ，且当x0 时， f（x） 1，求证：（1）当 x0 时， 0 f（x） 1；（2）f（x）在 xR 上是减函数 . 练习题：1.已知： f（x y） f（x） f（y）对任意实数x、 y 都成立，则（）（A）f（0） 0 （B）f（0） 1 （C）f（0） 0 或 1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y 总有 f（xy） f（x） f（y） ，则下列各式

13、中错误的是（）（A）f（1） 0 （B）f（x1）f（x）（C）f（yx）f（x） f（y）（D） f（xn） nf（x） （nN）3.已知函数f（x）对一切实数x、y 满足： f（ 0） 0，f（xy） f（ x）f（y） ，且当 x0 时， f（x） 1，则当 x0 时， f（x）的取值范围是（）（A） （1，）（B） （， 1）（C） （0， 1）（D） （ 1，）4.函数 f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f（x）为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

14、- - -第 12 页，共 18 页知识点大全（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（ D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、 y 满足 f（xy） f（xy） 2f（x） f（ y），则函数 f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（ D）非奇非偶函数高中数学必修4 知识点正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090 ,kk

15、k第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在x轴上的角的集合为180 ,kk终边在y轴上的角的集合为18090 ,kk终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr

16、7、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.38、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页知识点大全PxyAOMT2Crl，21122Slrr9、 设是 一 个 任 意 大 小 的 角 ，的 终 边 上 任 意 一 点的 坐 标 是, x y， 它 与 原 点 的 距 离 是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为

17、正11、三角函数线：sin，cos，tan12、同角三角函数的基本关系：221 sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan13、三角函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk2 sinsin，coscos，tantan3 sinsin，coscos，tantan4 sinsin，coscos，tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限14、函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长

18、度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx的图象； 再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短） 到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx的图象函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页知识点大全sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象； 再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐

19、标伸长（缩短） 到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx的图象函数sin0,0yx的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk

20、k上是增函数；在在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页知识点大全32,222kkk上是减函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零 向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同 的向量

21、17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy， 则1212,xx yy19、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa；baCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

22、- - -第 16 页，共 18 页知识点大全当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa；abab坐标运算：设,ax y，则,ax yxy20、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,ax y，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量a、0b b共线21、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1 122aee （不共线 的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）22、 分点坐标公式： 设点是线

23、段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy， 当12时，点的坐标是1212,11xxyy23、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质： 设a和b都是非零向量， 则0aba b当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa aa ba b运算律：a bb a；aba bab；abca cb c坐标运算：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y若,ax y，则222axy，或22axy设11,ax y，22,bxy，则12120abx xy y设a、b都 是 非 零

24、向 量 ，11,ax y，22,bxy，是a与b的 夹 角 ， 则121222221122cosx xy ya ba bxyxy24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscos cossinsin；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页知识点大全coscoscossinsin；sinsincoscossin；sinsincoscos sin；tantantan1tantan（tantantan1tantan） ；tantantan1 tantan（tantantan1tantan） 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos2222cos2cossin2cos11 2sin（2cos21cos2，21cos2sin2） 22tantan21tan26、22sincossin，其中tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页