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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学学问点全解必修一第一章,集合与函数概念一,集合1.集合的有关概念：1 2集合的含义：一般的指定的某些对象的全体称为集合（也称为集）,集合中的每个对象是集合的一个元素；集合元素的三个特性：元素的确定性,如：世界上最高的山元素的互异性,如：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y, 元素的无序性,如： A,B,C 和A,C,B 表示同一个集合3） 集合的表示方法： 列举法,将集合中的元素一一列举出来；如平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 : 我们班的全体同学 ,太x描述法,将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内；如：R| x32,x
2、,y|2x+3y=0,xR,yR Venn图,c a b d 例题：（集合的意义与表示方法）1.始终集合 A=a2,a12,a23a3 如 1A ,求实数 a 的值2.试用列举法和描述法分别表示以下集合方程x220全部实根组成的集合3.由大于 10 小于 20 的整数组成的集合*摸索：能否用例举法表示不等式X7名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 作业：基础篇1,基础篇 以下集合中,表示方程组的解集的是（）的值（C）（ D）（A）（B）2,如集合只有一个元素,就实数加强篇1,集合 A 的元素由kx23x20的解组成,其
3、中kR ,如 A 中的元素之多有一个,求 k 的 值2,如,求实数的值；二,集合间的基本关系1,“ 包含” 关系 - 子集B 有两种可能（1）A 是 B 的一部分：（2）A 与 B 是同一集合留意： A 反之：集合 A 不包含于集合 B,或者集合 B 不包含 A,记作A B2“ 相等” 关系：A=B （55,且 55）2实例：设 A x | x 1 0 , B 1,1“ 两个集合表示的元素相通就集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集A 是集合 B 的真子集,记作AB 真子集：假如AB,且AB那就是说集合（或者 BA ）假如 AB ,BC,那么AC假如AB同时BA 那么AB 3 ,不含任何元素
4、的集合叫空集,记作 * 有 N个元素的集合,含有2N子集,2N1个真子集例题（集合间的基本关系）名师归纳总结 1,设、,如,就实数的取值范畴是（）第 2 页,共 12 页（A）（B）（C）（ D）2,如集合,满意,就与之间的关系为（- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）（B）（ C）（ D）作业：基础篇1 、图 中阴影部分表示的集合是 A. AC UBB. CUABU B C. CUABD. CUABA 2、已知集合A= x x 2,xR,B= x xa ,且AB,就实数 a 的取值范畴是（）（D）a（A ）a（B）a（C）a3、设全集Ux|x,8x
5、N,如AC UB8,1,CUAB26,C UA C UB,4 7,就（）（A ）A8,1,B2 ,6（B）A,1,38,5,B2 3, ,5 ,6（C）A8,1,B2 ,3 5, ,6（D）A,1,38,B,2,564、设 P=x|yx2,Qx,y|yx2,就 P、Q 的关系是（）（A ）P Q （B）P Q （C）P=Q （D）P Q=加强篇 1 ,已知集合的取值范畴；,且,求实数的取值范畴；,如 2 ,已知集合,求实数二,函数一、函数的概念与表示1、 映射（1）映射：设 A 、B 是两个集合,假如根据某种映射法就 f,对于集合 A 中的任一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,就这
6、样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到 B的对应法就 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f：AB；留意点：（ 1）对映射定义的懂得； （2）判定一个对应是映射的方法；一对多不是映射,多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法就值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例题名师归纳总结 1、以下各对函数中,相同的是2lgxvB、fx lgxf1,gx2lgx1（1）A、fxlgx2,gxlgxx1C、f u1u,gv1D、 f（x）=x,x x第 3 页,共 12 页1u1v- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、Mx|0x
7、2 ,Ny|0y3 给出以下四个图形,其中能表示从集合M到集合 N 的函数关系的有、 1 个 C、 2 个 D、3个y （）A、 0 个 By y y 3 2 1 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x 1 1 1 1 O O O O 二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必需大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于1；的定义域为6.（05 江苏卷）函数ylog0.54x23 2 求函数定义域的两个难点问题（1）已知 f 的定义域是 -2,5, 求f2
8、x+3 的定义域；（2）已知 f 2 x 的定义域是 -1,3, 求f x 的定义域例 2 设 f x lg 2 x,就 f x f 2的定义域为 _ 2 x 2 x2变式练习：f 2 x 4 x,求 f x 的定义域；三、函数的值域1 求函数值域的方法名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直接法：从自变量x 的范畴动身,推出y=fx的取值范畴,适合于简洁的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范畴；适合分母为二次且xR
9、的分式；分别常数：适合分子分母皆为一次式（单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数x 有范畴限制时要画图） ；几何意义法：由数形结合,转化距离等求值域；主要是含肯定值函数1（直接法）yx2112x32f x 2y24x2 x2 x3（换元法）2x4. （ 法）yx3x245. yx21x216. 分别常数法 yxx1y3x1 2 1x42x7. 单调性 yx3 2 xx 1,38. yx11x1,yx1x1 结合分子 / 分母有理化的数学方法 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - -
10、 9 图象法 y32xx2 1x210对号函数 y2x8x4x11. 几何意义 yx2x1四 函数的奇偶性1定义 :设 y=fx ,xA,假如对于任意x A,都有fx f x ,就称 y=fx 为偶函数；假如对于任意x A,都有fxf x ,就称 y=fx 为奇函数；2.性质 ：y=fx 的图象关于 y 轴对称 ,y=fx 是奇函数y=fx 的图象关于y=fx 是偶函数原点对称 , 如函数 fx 的定义域关于原点对称,就 f0=0 奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域 D1 ,D2,D1D2要关于原点对称 3奇偶性的判定名师归纳总结 看定义域是否关于原点对称看 fx与
11、 f-x的关系x,0时 ,fx xx4, 就 当1 已 知 函 数fx 是 定 义 在,上 的 偶 函 数 . 当x0,时,fx . 2 已知定义域为R 的函数f x 22xb是奇函数；x1a0恒成立,求 k 的取值范畴；第 6 页,共 12 页（）求a b 的值；（）如对任意的tR ,不等式f t22 f2t2kfx fyfxy,3 已知fx在（ 1,1）上有定义,且满意x ,y1,1 有1xy证明：fx在（ 1,1）上为奇函数；f2 ,就f5 _ 4 如奇函数fxxR 满意f21,fx2fx - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 五、函数的单调性1、函
12、数单调性的定义：2 设yfgx是定义在 M 上的函数,如fx 与 gx的单调性相反,就yfgx在 M1,x0时,fx上是减函数；如fx 与 gx的单调性相同,就yfgx在 M 上是增函数；1 判定函数fxx3xR的单调性；2 例 函数fx对任意的m,nR,都有fmnfm fn 1,并且当求证：f x 在 R 上是增函数；a 的取值范畴是如f3 4,解不等式fa2a523 函数ylog.016x2x2的单调增区间是_ 4 高考真题 已知f x 3 a1 x4 , a x1是 , 上的减函数,那么logax x1（）（A） 0,1（ B）0,1（C）1 1 , 7 3（ D）1 7,13六函数的周
13、期性：1（定义 ）如fxfTfxT0ff x 是周期函数, T 是它的一个周期；说明： nT 也是 x 的周期b ,就x 是周期函数,ba是它的一个周期（ 推广 ）如fxa fx对比记忆名师归纳总结 2如f xaf xa 说明：fx周期是 2 a第 7 页,共 12 页f axf ax 说明：fxafx；fxaf1；fxaf1；就xx1 已知定义在R 上的奇函数fx满意 fx+2 =fx,就,f6的值为D2 A 1 B 0 C 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 定 义 在R 上 的 偶 函 数f x , 满 足f2xf2x, 在 区 间 -2,
14、0 上 单 调 递 减 , 设a f 1.5, b f 2, c f 5,就 a b c 的大小次序为 _ 1 f x 3 已知 f x是定义在实数集上的函数,且 f x 2 , 如 f 1 2 3 , 就1 f x f 2005= . 4 已知 f x 是-,上的奇函数,f 2 x f x ,当 0 x 1 时,fx=x ,就 f7.5=_ 例 11 设 f x 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满意 f 2 x f x ,当 x 0 , 2 时2f x 2 x x求证：f x 是周期函数；当 x 2 , 4 时,求 f x 的解析式；运算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数
15、；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解 2 换 3 写定义域；3、关于反函数的性质（ 1）y=fx 和 y=f-1x 的图象关于直线 y=x 对称；（ 2）y=fx 和 y=f-1x 具有相同的单调性；（ 3）已知 y=fx ,求 f-1a,可利用 fx=a,从中求出x,即是 f-1a；（ 4）f-1fx=x; （ 5）如点a,b在 y=fx 的图象上,就b,a在 y=f-1x 的图象上；1,1,就yf1 x 的图（ 6）y=fx 的图象与其反函数y=f-1x的图象的交点肯定在直线y=x 上 ; 1 设函数yf x 的反函数为yf1 x ,且yf2x1的图
16、像过点2像必过（A）1 2,1（B）1 1, 2（C） 1,0（D） 0,1x2b,顶点坐标其次章,基本初等函数一二次函数 涉及二次函数问题必画图分析 1二次函数fx=ax2+bx+ca 0的图象是一条抛物线,对称轴ab,4acab22a42二次函数与一元二次方程关系名师归纳总结 一元二次方程ax2bxc0a0的根为二次函数fx=ax2+bx+ca 0y0的第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 的取值；一元二次不等式ax2bxc00的解集 a0 情形一元二次不等式解集二次函数Y=ax2+bx+c a0 =b2-4ac ax2+b
17、x+c0 ax2+bx+c0 a0 0 xxx 1 或xx 2xx 1xx 2图象 =0 xx0x与解 0 , a 1互为反函数对数函数名称指数函数一般形式Y=ax a0 且 a 1 y=log ax a0 , a 1 定义域-,+ 0,+ 值域0,+ - ,+ 过定点（, 1）（1,）图象指数函数 y=ax与对数函数 y=log ax a0 , a 1图象关于 y=x 对称单调性a 1,在-,+ 上为增函数a1,在0,+ 上为增函数 a1, 在-,+ 上为减函数 a1 . y0. y0. 2. 比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,第一要分清底数相同仍是指数相同, 假如底数相同,可
18、利用指数函数的单调性；象关系（对数式比较大小同理）记住以下特别值为底数的函数图象：指数相同, 可以利用指数函数的底数与图名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、 争论指数,对数函数问题,尽量化为同底,并留意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,争论复合函数的单调性是解决问题的重要途径；1、（1）ylgxlg 53x 的定义域为 _；1（2）y2x3的值域为 _；（3）ylgx2x的递增区间为_ ,值域为_ _2、（1）log21x10,就x_423、
19、要使函数y12x4xa在x1,上y0恒成立；求 a 的取值范畴；4. 如 a2x+1 2a x1 0（ a0 且 a 1）,求 y=2a 2x32a x+4 的值域 .四函数的图象变换（1）1、平移变换：（左 + 右- ,上 + 下- ）即xhfxfxyfxh0,右移;h0,左移yfyfxk0,下移;k0,上移yfx）k对称变换：（对称谁,谁不变,对称原点都要变）yfxx轴yfxyfxy轴yfxyyfx原点yfxyyfxyxyf1xyfxy轴右边不变,左边为右边部分的对称图yfx保留x轴上方图,将x轴下方图上翻1fx的图象过点 0,1 ,就 f4-x的反函数的图象过点（A.3,0 B.0,3
20、C.4,1 D.1,4 2作出以下函数的简图：名师归纳总结 （1）y=|logx 2|；（2）y=|2x-1|；第 11 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）y=2|x|；五函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以以下形式表达：fx 1f x 200单调递增x 1x2f x 1f x2单调递减x 1x 22函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：f x fx0奇函数偶函数f x fx03函数的凸凹性：名师归纳总结 ffx 12x2f x 1f x 2凹函数（图象“ 下凹”,如：指数函数）第 12 页,共 12 页2x 12x 2f x 1f x2凸函数（图象“ 上凸”,如：对数函数）2- - - - - - -