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1、文本为Word版本，下载可任意编辑双曲线的几何性质教案双曲线的几何性质教案1 课时目标 1熟悉双曲线的几何性质。 2能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。 3能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。 教学过程 情景设置 叙述椭圆的几何性质，并填写下表： 方程 性质 图像（略） 范围-axa，-byb 对称性对称轴、对称中心 顶点（a,0）、（b,0） 离心率e=(几何意义) 探索研究 1类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。 双曲线与椭圆的几何性质对比如下： 方程 性质 图像
2、（略）（略） 范围-axa，-bybxa,或x-a,yR 对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心 顶点（a,0）、（b,0）（-a,0）、（a,0） 离心率0e=1 e=1 下面继续研究离心率的几何意义： （a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e=1） 2.渐近线的发现与论证 根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把画出来吗？（能） 根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把画出来吗？（不能） 通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。 我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫
3、做曲线y=的渐近线。 问：双曲线有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？ 引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出： y= = 当x无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y= 与直线y=无限接近。 这使我们猜想直线y=为双曲线的渐近线。 直线y=恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=a, y=b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。 证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线上的仍一点，则 y0=，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为
4、： MQ= = = 点M向远处运动，x0随着增大，MQ就逐渐减小，M点就无限接近于y= 故把y=叫做双曲线的渐近线。 3离心率的几何意义 e=，ca, e1由等式c2-a2=b2,可得= e越小（接近于1）越接近于0，双曲线开口越小（扁狭） e越大越大，双曲线开口越大（开阔） 4巩固练习 求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。 4x2-y2=4 4x2-y2=-4 已知双曲线的渐近线方程为x2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程 M（4，）M（4，） 知识应用与解题研究 例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 例2双曲线型自然通风塔的外形，
5、是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m） 提炼总结 1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。 2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。 3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。 双曲线的几何性质教案2双曲线的几何性质（第1课时） 课时目标 1熟悉双曲线的几何性质。 2能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。 3能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。 教学过程情景设置 叙述椭圆 的几何性质，并
6、填写下表：方程性质 图像（略）范围-axa，-byb对称性对称轴、对称中心顶点（a,0）、（b,0）离心率e=(几何意义) 探索研究1类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。双曲线与椭圆的几何性质对比如下： 方程性质 图像（略） （略）范围-axa，-bybxa,或x-a,yR对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心顶点（a,0）、（b,0）（-a,0）、（a,0）离心率0e=1e=1 下面继续研究离心率的几何意义：（a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e=1） 2.渐近线的发现与论证根据椭圆的上述四个
7、性质，能较为准确地把 画出来吗？（能）根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（不能）通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。问：双曲线 有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：y= = 当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y= 与直线y= 无限接近。这使我们猜想直线y= 为双曲线的渐近线。直线y= 恰好是过实轴端点A1、A2，
8、虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=a, y=b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线 上的仍一点，则y0= ，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：MQ= = 点M向远处运动， x0随着增大，MQ就逐渐减小，M点就无限接近于 y=故把y= 叫做双曲线 的渐近线。 3离心率的几何意义e=，ca, e1由等式c2-a2=b2,可得 =e越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）e越大 越大，双曲线开口越大（开阔） 4巩固练习 求下列双曲线
9、的渐近线方程，并画出双曲线。 4x2-y2=4 4x2-y2=-4 已知双曲线的渐近线方程为x2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程 M（4， ） M（4， ）知识应用与解题研究例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m） 提炼总结 1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。 2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。
10、 3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。 双曲线的几何性质教案3 一、课前预习目标 理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征。 二、预习内容 1、双曲线的几何性质及初步运用。 类比椭圆的几何性质。 2。双曲线的渐近线方程的导出和论证。 观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究 1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析 2、描述双曲线的渐进线的作用及特征 3、描述双曲线的离心率的作用及特征 4、例、练习尝试训练： 例1。求双曲线9y216x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 解： 解： 5、双曲线的第二定义 1）、定义（由学生归纳给出） 2）、说明 （七）小结（由学生课后完成） 将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结。 作业： 1、已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程。 （1）16x29y2=144； （2）16x29y2=144。 2、求双曲线的标准方程： （1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； （2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上； 曲线的方程。 点到两准线及右焦点的距离。第 9 页 共 9 页