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1、掌握双曲线的简单的几何性质 了解双曲线的渐近性及渐近线的概念 掌握直线与双曲线的位置关系,2.3.2 双曲线的简单几何性质,【课标要求】,【核心扫描】,双曲线的几何性质的理解和应用(重点) 与双曲线离心率，渐近线相关的问题(难点) 经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题的能力,1,2,3,1,2,3,双曲线的几何性质,自学导引,续表,F1(c，0)、F2(c，0),F1(0，c)、F2(0，c),|F1F2|2c,A1(a，0)、A2(a，0),A1(0，a)、A2(0，a),2a,2b,试一试：尝试用a，b表示双曲线的离心率,(2)顶点：双曲线与它的对称轴的交点叫双曲线
2、的顶点，双曲线只有两个顶点，相应的线段叫实轴，实轴长为2a.而虚轴长为2b，且a2b2c2.特别地当2a2b时的双曲线叫等轴双曲线，方程为x2y2a2或y2x2a2.,名师点睛,把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20. 当b2a2k20时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点 当b2a2k20时，0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；,0直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离 注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，
3、只有一个交点,题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质,求双曲线16x29y2144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程 思路探索 可先把方程化成标准方程，确定a，b，c，再求其几何性质,【例1】,规律方法 已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2a2b2得到c，从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确定a、b、c的值,求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率,【变式1】,思路探索 可设出双曲线的标准方程，依题意建立待定参数的方程或方程组求解,题型二根据双曲线的几何性质求标准方程,
4、【例2】,规律方法 根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法首先，由已知判断焦点的位置，设出双曲线的标准方程，再用已知建立关于参数的方程求得当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求得如本题中已知渐近线方程axby0，可设所求双曲线方程为a2x2b2y2(0)非常简捷,【变式2】,训练65,5、双曲线定义的应用 8、中位线定理的应用,审题指导 本题主要考查直线与双曲线的位置关系、向量知识及方程思想的应用,题型三直线与双曲线的位置关系,【例3】,【题后反思】 直线与双曲线相交的题目，一般先联
5、立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程要注意根与系数的关系，根的判别式的应用若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解,【变式3】,错解 假设存在m过B与双曲线交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中点，当m斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当m斜率存在时，设m的方程为y1k(x1)，,误区警示忽略判别式的限制致误,【示例】,对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点 正解 假设存在直线m过B与双曲线交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中点，当直线m的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点； 当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y1k(x1)，,关于中点的问题我们一般可以采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解不管应用何种方法我们都必须注意判别式的限制,单击此处进入 活页规范训练,