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1、 数学教案双曲线的几何性质 84 双曲线的几何性质(第1课时) 课时目标1熟识双曲线的几何性质。2能理解离心率的大小对双曲线外形的影响。3能运用双曲线的几何性质或图形特征,确定焦点的位置,会求双曲线的标准方程。教学过程()情景设置 表达椭圆 的几何性质,并填写下表: 方程性质 图像(略) 范围-axa,-byb对称性对称轴、对称中心顶点(a,0)、(b,0)离心率e= (几何意义) 探究讨论1类比椭圆 的几何性质,探讨双曲线 的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。 双曲线与椭圆的几何性质比照如下: 方程性质 图像(略) (略) 范围-a
2、xa,-bybxa,或x-a,yR对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心顶点(a,0)、(b,0)(-a,0)、(a,0)离心率0e= 1e= 1 下面连续讨论离心率的几何意义: (a、b、c、e关系:c2=a2+b2, e= 1)2.渐近线的发觉与论证依据椭圆的上述四共性质,能较为精确地把 画出来吗?(能)依据上述双曲线的四共性质,能较为精确地把 画出来吗?(不能)通过列表描点,能把双曲线的顶点及四周的点,比拟准确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清晰。我们能较为精确地画出曲线y= ,这是为什么?(由于当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y= 的渐近线。问:双
3、曲线 有没有渐近线呢?若有,又该是怎样的直线呢?引导猜测:在讨论双曲线的范围时,由双曲线的标准方程可解出:y= =当x无限增大时, 就无限趋近于零,也就是说,这是双曲线y=与直线y= 无限接近。这使我们猜测直线y= 为双曲线的渐近线。直线y= 恰好是过实轴端点A1、A2,虚轴端点B1、B2,作平行于坐标轴的直线x=a, y=b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?明显,只要考虑第一象限即可。证法1:如图,设M(x0,y0)为第一象限内双曲线 上的仍一点,则y0= ,M(x0,y0)到渐近线ay-bx=0的距离为:MQ= = = 点M向远处运
4、动, x0随着增大,MQ就渐渐减小,M点就无限接近于 y=故把y= 叫做双曲线 的渐近线。3离心率的几何意义e= ,ca, e1由等式c2-a2=b2,可得 = = =e越小(接近于1) 越接近于0,双曲线开口越小(扁狭)e越大 越大,双曲线开口越大(开阔)4稳固练习 求以下双曲线的渐近线方程,并画出双曲线。 4x2-y2=4 4x2-y2=-4 已知双曲线的渐近线方程为x2y=0,分别求出过以下各点的双曲线方程 M(4, ) M(4, ) 学问应用与解题讨论例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例2 双曲线型自然通风塔的形状,是双曲线的一局部绕其虚轴旋转而成的曲面,如图;它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(准确到1m)提炼总结1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。2.渐近线是双曲线特有的性质,其发觉证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。