2020-2021学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷-(解析版).docx-淘文阁

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1、学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷2020-2021一、选择题（共小题）.8若角的终边经过点（，）（），则（P 3 a a 0）1 A sin B sinCcos0Dcos000设函数 y的定义域为，函数（）的定义域为，则（A y ln x 1 B A B）2（，）1 2（，1 2（，）C 2 1 ，）D 2 1AB设实数满足，函数 x的最小值为（）34x 0 y 2+3x+A4 1B 4 +2C 4 +1D 6已知，，都是负数，且，则（a b m a b）A 5有一组实验数据如表所示：B C a+m b+mDt1.91.53.04.04.0

2、7.55.112.06.1v18.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（） A v 2t 2 B v C v log t D v log t0.53若函数（）f x与（）g x都在区间（，）上单调递减，则的最大2cosx a b b a67sin2x值是（A）BCD函数（）f x在，的图象大致为（）A BCD若函数（）同时满足：定义域内存在实数，使得（）（）；对于定8f x x f xfx0义域内任意，，当时，恒有（）（）（）；则称函数（）x x x xx xf x1f x 0f x1212122为

3、“DM 函数”下列函数中是“DM 函数”的为（）Af（x）x3 （）B f x sinx （） C f xe （）D f xlnxx 1二、多项选择题（共小题）.4关于函数（）tan2x，下列说法中正确的是（f x）9A最小正周期是B图象关于点（，）对称0图象关于直线对称xCD在区间（，）上单调递增已知曲线： 1，：（C y sinx C y sin 2x+2），下列说法中正确的是（）10把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C 2AC2C2C2C21把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到CBC1把上所有点的横坐标变

4、为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C1把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到CD1 11我们知道，如果集合 AS，那么 S 的子集 A 的补集为 Ax|xS，且 xA类似地，S对于集合，，我们把集合 | ，且叫作集合与的差集，记作据此，A Bx x Ax BABA B下列说法中正确的是（A若 AB，则 AB）B若 BA，则 ABAD若 ABC，则 ABAC12高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设xR，C若 AB，则 ABA用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：3.54，2.1y xxx2已知函数

5、（） +1 ，下列说法中正确的是（）f xxxAf（x）是周期函数Bf（x）的值域是（0，1Cf（x）在（0，1）上是增函数DxR，f（x）0三、填空题（共 4 小题）.13已知幂函数 yx 的图象过点，则实数的值是14已知函数 f（x），若 f（f（0）3a，则 a 的值为15已知 sin（+ ），则 sin（）+sin （）的值为216地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级（M）是用据震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式为 M lgA lgA，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的A A00

6、振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）根据该公式可知，7.5 级地震的最大振幅是 6 级地震的最大振幅的四、解答题（共 6 小题，满分 70 分）倍（精确到 1）17（10 分）已知集合 Ax|1，Bx|2x +（m2）xm02（1）当 1 时，求；A Bm（2）已知“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围x A x Bm18（12 分）已知 sin（+）cos（），且 0（1）求 cos+cos（ +）的值；（）求 tan 的值2（分）（）计算：12（）+ 0.125+log 9；1912（）已知 2， a log 3 b log 3，求证：

7、ab a+b 00.44（分）已知函数（）为上的奇函数x|x a| R2012 f x（）求实数的值；1a（）若不等式（2）（ f sin x +f t 2cosx）对任意 x ，恒成立，求实数的最 t02小值（分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置（静s21 12t止时的位置）的高度（单位：）由关系式（t+ ）确定，其中，h cm h Asin A 0 ，，）在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为且最高0 t 0 +1s点与最低点间的距离为 10cm（）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：

8、）之间的函数关系；cm1hts（）小球在内经过最高点的次数恰为次，求的取值范围t s 502t00（分）对于定义在上的函数（），如果存在实数，使得（），那么称f x022 12Df xxx00是函数（）的一个不动点已知（） ax +12x0f x f x（）当时，求（）的不动点；f x1a2（）若函数（）有两个不动点，，且 x 2 x2f x x x1212求实数的取值范围；a设（）g x（），求证：（）在（，）上至少有两个不动点g x a +log f x xa 参考答案一、单项选择题（共小题）.8若角的终边经过点（

9、，）（），则（P 3 a a 0）1Asin0 B sin0Ccos0Dcos0【分析】三角函数的定义可知： sin符号不确定， cos，由此能求出结果解：角的终边经过点（，）（），P 3 a a 0由三角函数的定义可知：sincos符号不确定，故，圴错误；A B，故正确，错误DC故选： C设函数 y的定义域为，函数（）的定义域为，则（A y ln x 1 B A B）2（，）1 2（，1 2（，）C 2 1 ，）D 2 1AB解：函数 y的定义域为，函数（）的定义域为，A y ln x 1 B ，A x|4 x2 0 x| 2 x 2 B

10、x|x 1 0 x|x 1 （， A B x|1 x 2 1 2故选： B设实数满足，函数 x的最小值为（）3x 0 y 2+3x+A4 1B 4 +2C 4 +1D 6【分析】可看出数的最小值，从而可得出x+1 0，这样即可求出原函解：，，x 0 x+1 0 y2+3x+，当且仅当，即时等号成立，函数 y 2+3x+的最小值为 14故选： A已知，，都是负数，且，则（a b m a b）4A B C a+m b+mD解：对于，由题意，则，选项错误；a b 0AA对于，由，不等式两边同除，可得a b ab，即，选项错误；BB对于，由不等式的可加

11、性可知，由，可得a ba+m b+m，选项错误；CC对于，由D，所以，选项正确D故选： D5有一组实验数据如表所示：t1.91.53.04.04.07.55.16.1v12.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（） A v 2t 2 B v C v log t D v log t0.53解：法一、从图表数据可知，随着的变大，变大，则函数为单调递增，且增加速度越vt来越快，选项为线性增加的函数，选项为递减函数，选项为比线性增加较为缓慢的函数，DAC排除选项、、 A C D故选： B法二、取，对于选项，，故选项错误；t

12、4 A v 2 4 2 6 A对于选项， v ，故选项可能正确；7.5BB对于选项， C ，故选项错误；2 Cv log t0.5 对于选项，，故选项错误v log t log 4 DD33以上只有选项最接近，B故选： B若函数（）f x与（）g x都在区间（，）上单调递减，则的最大2cosx a b b a6sin2x值是（A）BCD解：由题意函数（）f x在（，）上单调递减，函数（）在（，g x 2cosx 0sin2x）上单调递减，则，所以的最大值为b a，故选： C函数（）f x在，的图象大致为（）7ABCD【分析】由（）的解析式

13、知（）为奇函数可排除，然后计算（），判断正负即f x f xAf可排除， B C 解：（）f x，，，x （）x （），f xf （）为，上的奇函数，因此排除；f xA又（），因此排除，；B Cf故选： D若函数（）同时满足：定义域内存在实数，使得（）（）；对于定8f x x f xfx0义域内任意，，当时，恒有（）（）（）；则称函数（）x x x xx xf x1f x 0f x1212122为“DM 函数”下列函数中是“DM 函数”的为（）Af（x）x3 （）B f x sinxCf（x）ex1 （）D f x l

14、nx解：由定义域内存在实数，x使得（）（）的限制可知，定义域内需有正有负，且函数值有正有负，f xfx0由的限制可知，函数单调递增，对于，（）的定义域内有正有负，函数值有正有负，函数单调递增，故成立；A f xx3A对于，（）B f x不是单调增函数，故不成立；Bsinx对于，（）e 的值域中没有负数，故不成立；C f xCx1对于，（）的定义域中没有负数，故不成立D f x lnx D故选： A二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，4 5 20有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得分

15、，部分选对得35分，不选或有选错的得分0关于函数（）tan2x，下列说法中正确的是（f x）9A最小正周期是B图象关于点（，）对称0图象关于直线对称xCD在区间（，）上单调递增解：由题意函数（）的最小正周期为，故选项正确；Af x tan2x 由（），故选项正确；0 Bf因为函数（）f x不存在对称轴，故选项错误；Ctan2x因为（，），所以（，），此区间不是函数 2x y tanx的单调递增区x间，故选项错误；D故选： AB已知曲线：，：（10 C y sinx C y sin 2x+1 2），下列说法中正确的是（）把向左平移个单位长度，再将

16、所有点的横坐标变为原来的倍，得到C 2AC2C2C2C21把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到CBC1把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C1把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到CD1解：变换方式一：由函数 y sinx的图象可向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到（y sin 2x+）；变换方式二：因为，所以由函数 y sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到（y sin 2x+）故选： BD我们知道，如果集合，那么的子集的补集为，且类似

17、地，11 A SSAA x|x S x AS对于集合，，我们把集合，且叫作集合与的差集，记作据此，A Bx|x Ax BABA B下列说法中正确的是（）若，则 A B A B若，则 B A A B AAB若，则 A B A B A若，则 A B C A B A CCD【分析】利用集合间的关系以及差集的定义对应各个选项逐个判断即可求解解：由差集的定义可知，对于选项，若，则中的元素均在中，则，AA B A B A B故选项正确；A对于选项，若，则中的元素均在中，则，故选项错误；BB A B A A BB ABA对于选项，若，则、无公共元素，则

18、，故选项正确；CA B A BA B AC 对于选项，若，则，故选项正确；DA B CA BC A CDA故选：ACD高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，12 x R用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，x x y x 3.5 4 2.1 已知函数（）2 ，下列说法中正确的是（）f x x+1 x （）是周期函数A f x （）的值域是（，B f x 0 1 （）在（，）上是增函数C f x 0 1 ，（） x R f x 0D，1且值域为（，，0 1在（，）上单调递减，0 1故选项、正确，

19、错误；A BC对于选项，（），所以选项错误，D f x 1D故选： AB三、填空题：本大题共小题，每小题分，共分请把答案填写在答题卡相应位置上4 5 20已知幂函数的图象过点13 y x，则实数的值是【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得的值解：幂函数的图象过点y x，则， 2故答案为：已知函数（）14 f x，若（（），则的值为f f 0 3a a 4 【分析】由分段函数求得（），再由分段函数解的方程，可得的值f 0aa解：（）f x，（（）（f f 0 f 2 +1）（），f 2 4+2a 3a0解得，a 4故答案为：

20、4已知（），则（sin）+sin2（）的值为15sin+解：sin+sin 2 （sin）+，故答案为：地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级（）16 M是用据震中千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏100震级的计算公式为 M lgA lgA，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的A A00振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）根据该公式可知，7.5 级地震的最大振幅是级地震的最大振幅的倍（精确到）6 32 1【分析】由题意可得出结果，分别令，求出对应的最大振幅，从而求M 7.5 M

22、合题意；若 1 即 2 时，，符合题意；mB若 1，则 | 1，Bxx所以2 1，解得2 4m综上， 2，4m18（12 分）已知 sin（+）cos（），且 0（1）求 cos+cos（ +）的值；（2）求 tan 的值解：（1）因为 sin（+）cos（）sincos，且 sin（+）cos（），所以 sincos （2 分）故（cossin） cos 2sincos+sin 22212sincos12 （4 分）又因为 0 ，所以 cossin，即 cossin0，所以 cossin所以 cos+cos（ +）cossin（6 分）（2）法一：由（1）知 sincos ，又因为

23、 sin +cos 1，22所以因为 0 ，cos0，，即 tan 8tan+10，（9 分）所以2解得 tan4或 tan4+（10 分）因为 0 ，所以 0tan1，所以 tan4（12 分）法二：由（1）知因为 0 ，所以 cossin0，故所以 tan4（12 分）19（12 分）（1）计算：2+（0.125） +log 9；（2）已知 log 3， log 3，求证： + 0ab a bab0.44【分析】（1）利用对数的运算性质求解（2）由函数 log 的单调性可得 0，由函数 log 的单调性可得 0 + 1，y0.4xabyx4进一步得到 + 0ab a b解：（1）原式5

24、+（2） +log （） 5+4+41334（2）证明：因为 log 在（0，+）上递减， log 在（0，+）上递增，0.4xyyx4所以 log 3log 10， log 3log 10，所以 0，abab0.40.444因为 + log 0.4+log 4log （0.44）log 1.6，且 log 在（0，+）递增，yx33333所以 0log 1log 1.6log 31，即 0 + 1，333所以 0 （ + ），即 + 0ab abab a b 20（12 分）已知函数 f（x）x|xa|为 R 上的奇函数（1）求实数的值；a（2）若不等式（sin ）+ （ 2cos

25、）0 对任意 f t，t恒成立，求实数的最f2xxx小值【分析】（1）由奇函数的定义可得（）（），化简整理，结合恒等式的性质f xfx可得所求值；（2）求得求得（）是上的单调增函数，原不等式化为 2cos sin 对任意 f x，Rtx2xx恒成立，令 mcosx，结合余弦函数和二次函数的单调性，可得最值，即可得到所求最小值解：（1）因为函数（） | |为上的奇函数，f x x x aR所以（）（）对任意 R 成立，f xfxx即（） | | | |对任意 R 成立，xx a x x ax所以| | |，所以 0x a x aa（2）由（sin ）+ （ 2

26、cos ）0 得（sin ）（ 2cos ），f2xf t x f 2x f tx因为函数（）为上的奇函数，所以（sin ）（2cos ）f x R f 2x f x t由（1）得，（） | |f x x x是上的单调增函数，R故 sin 2cos 对任意 x t，恒成立，恒成立2xx所以 2cos sin 对任意，tx2xx因为 2cos sin cos +2cos 1（cos +1） 2，x2x2xxx2令 cos ，由，x m，得 cos 1，，即 1，，mxx所以（ +1） 2 在1，递增，可得最大值为，ym2故，t即的最小值为 t21（12 分）

27、如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式 sin（ + ）确定，其中 0，hcm h AtA 0， 0，+）在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为 1 且最高ts点与最低点间的距离为 10 cm（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；cmhts（2）小球在内经过最高点的次数恰为 50 次，求的取值范围t st00【分析】（1）根据题意可求得 5， 2，由周期公式可求得，从而可得函数关系AT式；（2）由函数解析式可得当时，小球第一次到达最高点，再由已知及函数的周期可t得

28、的取值范围t0解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 ，所以 5cmA因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 ，所以周期为 2，s即 2，所以 T所以 5sin（ + ）， 0htt（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，t以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在内经过最高点的次数恰为 50 次，t s0所以 +49 +50 T t0T因为 2，所以 98 100 ，Tt所以的取值范围为98 ，100 ）t0（注：的取值范围不考虑开闭）t022（12 分）对于定义在 D 上的函数 f（x），如果存在实数 x ，使得 f（x ）x ，那么称000是函

29、数（）的一个不动点已知（） +1x0f x f xax2 （1）当 2 时，求（）的不动点；f xa（2）若函数（）有两个不动点，，且 2 f x x xxx1212求实数的取值范围；a设（）log （），求证：（）在（，+）上至少有两个不动点g xf x x g xaa【分析】（1）方程（）可化为 2 + 10，求解即可f xxx2 x（2）因为函数（）有两个不动点，，说明方程（），即 +10 的两f x x xf xxax2 x12个实数根为，，x x12记（） +1，则（）的零点为和，利用零点判定定理推出（4 1）

30、p x ax2 x p xxxaa120，求解即可说明（）0 有两个不相等的实数根设（） 2 +10 的两个实数根为，p x p xax xm，不妨设推出 1 记（）（ +1），判断 1 是gnm n m n h xaxax2 x（）的一个不动点说明（）的图象在，上的图象是不间断曲线，利用函数的单h xxn调性，推出（）在（，+）上至少有两个不动点g xa解：（1）当 2 时，（）2 +1f xax2方程（）可化为 2 + 10，解得 1 或，f xxx2 xxx所以（）的不动点为1 和（2 分）f x（2）因为函数（）有两个不动点，

31、，f x x x12所以方程（），即 +10 的两个实数根为，，f x x ax2 x x x12记（） +1，则（）的零点为和，p x ax2 x p xxx12因为 2 ，所以 a p（2）0，xx12即（4 1）0，解得 0 aaa所以实数的取值范围为（0，）（6 分）a因为（）log （） log （ 2 +1）g xf x x ax xaa方程（）可化为 log （ +1），即g xxax2 xxa因为 0 ，14 0，所以（）0 有两个不相等的实数根p xaa设（） +10 的两个实数根为，，不妨设 p x ax2 x m nm

32、 n 因为函数（） p x ax x+1图象的对称轴为直线，（），，（）x p 1 a 0 1 p2 ，1 0所以 1 mn记（）（），h x ax x+1ax2因为（），且（），所以是方程（）的实数根，x 1h 1 0 p 1a 0g xx所以是（）的一个不动点（分）g x18（）（ h n a an n+1），a 0n2n因为，所以，（），1 a 1 00 a 4 ha4且（）的图象在，上的图象是不间断曲线，h x n所以（，），使得（），（分）xnh x 0 1000又因为（）在（，）上单

33、调递增，所以（）（），p np x n p x00所以是（）的一个不动点，g xx0综上，（）在（，）上至少有两个不动点（分）g x a + 12（1）当 2 时，求（）的不动点；f xa（2）若函数（）有两个不动点，，且 2 f x x xxx1212求实数的取值范围；a设（）log （），求证：（）在（，+）上至少有两个不动点g xf x x g xaa【分析】（1）方程（）可化为 2 + 10，求解即可f xxx2 x（2）因为函数（）有两个不动点，，说明方程（），即 +10 的两f x x xf xxax2 x1

34、2个实数根为，，x x12记（） +1，则（）的零点为和，利用零点判定定理推出（4 1）p x ax2 x p xxxaa120，求解即可说明（）0 有两个不相等的实数根设（） 2 +10 的两个实数根为，p x p xax xm，不妨设推出 1 记（）（ +1），判断 1 是gnm n m n h xaxax2 x（）的一个不动点说明（）的图象在，上的图象是不间断曲线，利用函数的单h xxn调性，推出（）在（，+）上至少有两个不动点g xa解：（1）当 2 时，（）2 +1f xax2方程（）可化为 2 + 10，解得 1 或，f xxx2 xxx所以（）的不动点为1 和（2 分）f x（2）因为函数（）有两个不动点，，f x x x12所以方程（），即 +10 的两个实数根为，，f x x ax2 x x x12记（） +1，则（）的零点为和，p x ax2 x p xxx12因为 2 ，所以 a p（2）0，xx12即（4 1）0，解得 0 aaa所以实数的取值范围为（0，）（6 分）a因为（）log

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