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1、2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷一、单选题1. 集合Ax|x2x20，B0,1，则集合AB中元素的个数是（ ） A.1B.2C.3D.42. 函数ytan(2x）的周期为（ ） A.2B.C.D.3. 方程的解的个数为（ ） A.0B.1C.2D.34. 对于全集U，命题甲“所有集合A都满足AUAU”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（ ） A.甲、乙都是真命题B.甲、乙都不是真命题C.甲为真命题，乙为假命题D.甲为假命题，乙为真命题5. 如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形
2、，当注水tt0时，壶中水面高度h达到最高h0在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（ ） A.B.C.D.6. 函数f(x)log3(x+2)+x1的零点所在的一个区间是（ ） A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质已知函数的图象可能为（ ） A.B.C.D.8. 为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每
3、年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（ ）（参考数据：lg20.301，lg30.477） A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年二、多项选择题 下列命题中正确的是（ ） A.若ab0，cdbdB.若ab，则kakbC.若ab，则|a|b0，则 已知点P(1,t)在角的终边上，下列关于的论述正确的是（ ） A.如果，B.如果，则t2C.如果t3，则sin2+sincos+8cos22D.如果sin+cosa(a为常数，0ay 水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图，一个半径为6
4、米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（ ） A.在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒B.当t0,15时，点P距水面的最大距离为6米C.当t10秒时，PP06D.若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒三、填空题 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，则f(2)=_ 函数在上的值域为_ 若正数a，b满足a+b2，则ab的最大值为_；的最小值为_ “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉如图所示，月牙泉由两段在同一平
5、面内的圆弧形岸连接围成两岸连接点间距离为米其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_米 四、解答题 求下列各式的值 （1）（e为自然对数的底数）； （2） 已知函数定义域为A，集Bx|x22mx+m240 （1）求集合A，B； （2）若xB是xA成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围 设函数 （1）解不等式 （2）若x1,9，求函数f(x)的最大值 已知函数满足下列三个条件中的两个条件：该函数的最大值为2；该函数的图象可由函数的图象平移得到；该函数图象相邻两对称轴之间的距离为 （1）请写出满足条件的一个函数表达式：并用“五点法”画出该
6、函数在一个周期内的图象； （2）由题目条件确定的所有函数中，选择两个不同的函数，分别记为f(x)和g(x)是否存在0,，使得f()g()？若存在，求出的所有的值；若不存在，请说明理由 已知函数f(x)x33x （1）判断并证明函数f(x)的奇偶性； （2）用定义证明函数f(x)在0,1上为减函数； （3）已知x0,2，且f(sinx)f(cosx)，求x的值 已知函数(a为常数，且a0，aR)请在下面四个函数：g1(x)2x，g2(x)log2x，中选择一个函数作为g(x)，使得f(x)具有奇偶性 （1）请写出g(x)表达式，并求a的值； （2）当f(x)为奇函数时，若对任意的x1,2，都有f
7、(2x)mf(x)成立，求实数m的取值范围； （3）当f(x)为偶函数时，请讨论关于x的方程f(2x)mf(x)解的个数参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷一、单选题1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，得到AB，再得到集合AB中元素的个数【解答】 集合Ax|x2x27x|1x2，B5， AB0,1， 集合AB中元素的个数是42.【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】直接利用正切函数的周期公式T，求出它的周期即可【解答】函数ytan(2x），所以T3.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】方程的解的个数即为函数y与函数ylo
8、gx的交点个数，结合图象可得结论【解答】因为方程的解的个数即为函数yx的交点个数，在同一直角坐标系中，画出草图可得：交点个数只有一个，故方程的解的个数为1，4.【答案】C【考点】命题的否定命题的真假判断与应用【解析】根据命题基本概念和集合基本概念分别判断即可【解答】因为命题乙为命题甲的否定，所以命题乙“存在集合A都满足AUAU”对于A，因为命题与命题的否定只有一个为真；对于B，因为AUAU对任何U的子集都成立，所以B错；对于C，因为任何集合AUAU都成立，但不存在集合A使AUAU，所以C对；对于D，由C知；5.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据烧水壶形状，判断单位时间内注水高
9、度和时间的变化关系进行判断即可【解答】由于壶底部较宽，口部较窄，则注水过程中，水面逐步增加，一开始递增速度较慢，超过中间部分后，则对应的图象为B，6.【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】根据f(x)log3(x+2)+x1，求出各区间端点的函数值，然后根据零点存在性定理，判断各区间是否存在零点【解答】 f(x)log3(x+2)+x1， f(0)log3210，f(1)1， f(0)f(1)0， f(x)在(0,1)上存在零点故选：A7.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】判断函数的奇偶性和对称性，结合当0x1时的函数符号进行排除即可【解答】f(x)f(x)，图象关于y轴对
10、称，C，当8x0，8.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】设经过n年后的投入资金为y万元，求出y与n的关系式，然后令y1600，再利用指数不等式的解法以及对数的运算性质求解不等式，即可得到答案【解答】设经过n年后的投入资金为y万元，则y500(1+20%)n，令y1600，即500(1+20%)n1600，故，所以，所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元二、多项选择题【答案】A,D【考点】不等式的概念【解析】由不等式的性质逐一判断即可【解答】对于A，若abbd；对于B，当k0时，故B不正确；对于C，若abb0，则，故D正确【答案】A,C,D【考点】任意角
11、的三角函数命题的真假判断与应用【解析】A根据正弦函数值及角的终边判断，B用特值法判断，C由角终边坐标求三角函数值判断，D三角函数恒等变换判断【解答】对于A，7角终边在三，又因为点P(1,t)在角的终边，所以A对；对于B，当t2时，所以B错；对于C，t3cossin2+sincos+4cos22；对于D，sin+cosa(a为常数6+2sincos+cos2a60，又sin，故B错误；x+ylog83+log334；xylog23log34-0，故D正确【答案】A,C,D【考点】三角函数模型的应用【解析】以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x轴建立平面直角坐标系
12、，点P距离水面的高度h关于时间t的函数为hf(t)Asin(t+)+B，由已知列式求得A与B的值，再由周期求得，再由f(0)0求得，得到函数解析式，然后逐一核对四个选项得答案【解答】以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，点P距离水面的高度h关于时间t的函数为hf(t)Asin(t+)+B则，解A8，又水轮每分钟转动一周，则， f(t)6sin（)+5，由f(0)6sin+34，得sin，则f(t)6sin（）+8对于A，由f(t)6sin（，得2，解得5t6米；对于C，当t10时，又OP6， ，故C正确；对于D，由6sin（，得，即t20，则P第二次到达最高点大约需要时间为60+2
13、080秒，故D正确三、填空题【答案】2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设出幂函数的解析式，利用已知条件求出幂函数的解析式，然后求解即可【解答】解：设幂函数为：y=xa， 幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)， 2=4a， a=12， f(2)=2故答案为：2【答案】【考点】正弦函数的定义域和值域【解析】由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果【解答】对于函数，当x时，故当2x时，y取得最大值为7，当2x-，y取得最小值为-， 函数在上的值域为-，【答案】1,【考点】基本不等式及其应用【解析】利用基本不等式的性质即可得出ab有最大值为1，由（+）(a+b)(5+）(5+2
14、），即可求得的最小值为，【解答】 正数a，b满足a+b2，解得ab1，当且仅当ab6时取等号， ab有最大值为1（+）(a+b)+）(5+2，当且仅当b8a 的最小值为，【答案】(40+30）【考点】弧长公式【解析】连接PO，可得POQT，由题意可得sinQPO，可求QPO，QPT的值，进而由图利用扇形的弧长公式即可计算得解【解答】由题意，如图所示米，PQ60米，连接PO，可得POQT，因为sinQPO，所以QPO，QPT，所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L）+60）米四、解答题【答案】【考点】三角函数的恒等变换及化简求值运用诱导公式化简求值对数的运算性质【解析】（1）根据指
15、数幂和对数的运算法则进行转化计算即可（2）根据三角函数的诱导公式进行化简即可【解答】【答案】由题意知：，解得x3或x1， 集合A(,3(3，对于集合B满足：x23mx+m24(xm+6)(xm2)0，其中m4m+2， Bm2；若xB是xA的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，由（1）知，只需满足m+82即可，此时解得m5，综述，满足题意的m的取值范围是(,+)【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）根据对数函数真数大于0求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B即可；（2）根据xB是xA的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，建立关系式，解之即可【解答】由题意知：，解得x3或x
16、1， 集合A(,3(3，对于集合B满足：x23mx+m24(xm+6)(xm2)0，其中m4m+2， Bm2；若xB是xA的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，由（1）知，只需满足m+82即可，此时解得m5，综述，满足题意的m的取值范围是(,+)【答案】令，则原式变为，而t2t+26恒成立， ，即，所以2tt2t+2，即t28t+26恒成立， ，即，所以2tt2t+2，即t28t+20，解得t(8,2)， ，解得x(3；当x4,9时，2当t6时，f(t)0；当t(0,2时， 时取等， f(x)的最大值为，经检验满足题意，综上所述，f(x)的最大值为【答案】和的一个函数，令，因为8,，所以，故
17、存在，使得f()g()【考点】五点法作函数y=Asin（x+）的图象函数y=Asin（x+）的图象变换由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【解析】（1）利用最值求出A的值，利用相邻的两条对称轴之间的距离求出周期，从而求出的值，得到函数f(x)的解析式即可；（2）利用条件得到f(x)和g(x)的解析式，然后利用f()g()结合0,，求出的值即可【解答】：函数的最大值为2，可得A2，条件：函数图象相邻两对称轴之间的距离为，则函数的周期为，所以，故，故满足条件的一个函数表达式为“五点法“列表如下：作出函数f(x)的图象【答案】奇函数函数f(x)x33x，定义域xRf(x)(x)33(x)(x
18、36x)f(x)故f(x)为奇函数任取0x1x41，因为，0x1x45f(x1)f(x2)所以f(x)在7,1上为减函数x0,7，1cosx1f(x)在R上为奇函数且f(x)在5，则有f(x)在1,1也是减函数，又x5,2，则或【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明（2）利用函数单调性的定义进行证明（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可【解答】奇函数函数f(x)x33x，定义域xRf(x)(x)33(x)(x36x)f(x)故f(x)为奇函数任取0x1x41，因为，0x1x45f(x1)f(x2)所以f(x)在7,1上为减函数
19、x0,7，1cosx1f(x)在R上为奇函数且f(x)在5，则有f(x)在1,1也是减函数，又x5,2，则或【答案】若选g1(x)2x，则f(x)，当f(x)为奇函数，f(0)，不满足条件；当f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即f(x)，整理得2a不是常数若选g8(x)log2x，则函数的定义域为(0，函数为非奇非偶函数若选，则f(x)，当f(x)为奇函数，f(0)，不满足条件；当f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即，整理得a-不是常数若选g(x)8x，当f(x)为奇函数，f(x)f(x)a4；当f(x)为偶函数，f(x)f(x)a1当f(x)为奇函数时，f(x)2x4x，x1,2，2x2
20、,4，若对于任意的x4,2，所以m的取值范围是当f(x)为偶函数时，f(x)2x+2x，f(8x)22x+42x(2x+5x)22，令t6x+2x2，则t42mt(t2)，又在2，所以h(t)2，1当m1；2当m102,+)，又因为f(x)2x+2x为偶函数，不防设6x14时，t02，此时方程有两个解，下证必要性：令h(x)6x+2xt0，h(x)为偶函数，h(x)在4,h(0)2t01，t22时一共有2两个零点【考点】函数奇偶性的性质与判断函数与方程的综合运用【解析】（1）求出f(x)，讨论f(x)为奇函数和为偶函数两种情况时，a的值；（2）由x1,2，可得2x2,4，从而可将不等式转化为m
21、，求出即可求得m的取值范围；（3）令t2x+2x2，则方程转化为t22mt(t2)，由h(t)1，对m分类讨论，即可判断方程的解的个数【解答】若选g1(x)2x，则f(x)，当f(x)为奇函数，f(0)，不满足条件；当f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即f(x)，整理得2a不是常数若选g8(x)log2x，则函数的定义域为(0，函数为非奇非偶函数若选，则f(x)，当f(x)为奇函数，f(0)，不满足条件；当f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即，整理得a-不是常数若选g(x)8x，当f(x)为奇函数，f(x)f(x)a4；当f(x)为偶函数，f(x)f(x)a1当f(x)为奇函数时，f(x)2x4x，x1,2，2x2,4，若对于任意的x4,2，所以m的取值范围是当f(x)为偶函数时，f(x)2x+2x，f(8x)22x+42x(2x+5x)22，令t6x+2x2，则t42mt(t2)，又在2，所以h(t)2，1当m1；2当m102,+)，又因为f(x)2x+2x为偶函数，不防设6x14时，t02，此时方程有两个解，下证必要性：令h(x)6x+2xt0，h(x)为偶函数，h(x)在4,h(0)2t01，t22时一共有2两个零点第21页 共24页 第22页 共24页