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1、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案1第四章第四章 弯曲应力弯曲应力4- -1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图4- -2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4- -3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图4- -4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件4- -5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件4- -6 梁的合理设计梁的合理设计 -3 -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组组 合截面的惯性矩和惯性积合截面的惯性矩和惯性
2、积材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案24- -1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图. 关于弯曲的概念关于弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案3弯曲变形第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案4第四章第四章 弯曲应力弯曲应力工程实例F2F1材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案5纵向对称面 对称弯曲对称弯曲外力作
3、用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲非对称弯曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案6本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案7. . 梁的计算简图梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵
4、对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。 这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案8(1) 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端实例如图a，计算简图如图b, c。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)(c)MRFRxFRy(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案9 2. 固定铰支座实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。 3. 可动铰支座实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案
5、案10悬臂梁(2) 梁的基本形式梁的基本形式简支梁外伸梁第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案11 在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3) 静定梁和超静定梁静定梁和超静定梁 图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案12例题例题4- -1 试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) 解：1. 此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy和MA；右端B处为
6、可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知支约束力。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案13 对于平面力系，虽然可列出3个独立平衡方程，但此梁具有中间铰C，故根据铰不能传递力矩的特点，作用在中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。由此也可知，此梁是静定梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案14第四章第四章 弯曲应力弯曲应力于是可求得约束力如下：0m5mN105m2.5m3mN1020033ByCFMkN29ByF
7、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案150, 0AxxFFmkN5 .96AM0m5 . 61029mN105m4m3mN1020m1N105003333AAMM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力0kN29m3mkN20kN50, 0AyyFF kN81AyF材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案16 2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体求约束力FAx，FAy和MA。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案17 3.
8、显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中间铰传递到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷载是不会传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主梁)，把梁的CB段称为副梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案18思考： 1. 如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷载，但另外加一个作用在中间铰C上的集中荷载F =100 kN，试求该梁的约束力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案19 2. 在中间铰C的左侧加一个力矩为Me的力偶和在中间铰C的右侧加一力矩同样大小的力偶，它们产生的约束力是否一样？第四章第四章
9、弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案204-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图. 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度为l的简支梁其约束力为lFaFlalFFBA , 梁的左段内任一横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知：xlalFxFMlalFFFAA,S第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案21 它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是 mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。 故根据作用与反作用
10、原理，mm左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案220, 0SByFFFF00 xlFxaFMMBClalFlFaFFFFBS从而有xlalFxllFaxaFxlFxaFMB从而有第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案23 梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对
11、应，故称为弯矩。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案24 为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案25. . 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材
12、 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案26 例题例题4- -4 图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案27 距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有 lxqxxqxxMlxqxxF02202S解：1. 列剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 xMFS(x)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案282. 作剪力图和弯矩图 根
13、据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。 lxqxxF0S lxqxxqxxM0 222第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (b)(c) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案29 由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为 (负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。22maxqlM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (b) (c) (a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案30 例题例题4-5 图a所示简
14、支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1. 求约束力2qlFFBA第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案312. 列剪力方程和弯矩方程 lxqxqlqxFxFA02S lxqxqlxxqxxFxMA02222 xMFS(x)第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案32 由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 (正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为 发生在跨中横截面上。2max,SqlF82maxqlM3. 作剪力图和弯矩图 lxqxqlxF02S lxq
15、xqlxxM0222第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案33 简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案34 综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 1. 不论在左侧梁段上或右侧梁
16、段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案35 2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案36 例题例题4-6 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F(a)解：解：1. 求约束力lFaFlFbFBA ,材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案372. 列剪力方程和弯矩
17、方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FAC段梁 axxlFbxFxMaxlFbFxFAA0 0 S xMFS(x)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案38CB段梁 lxalFalblFFlFbxFS第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FFx xMFS(x) lxaxllFaaxFxlFbxM 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案393. 作剪力图和弯矩图 如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0 xa的情况下，C截面右侧(x
18、=a+)横截面上的弯矩绝对值最大， 为 （负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。lMFeSlbMMemax第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案46思考思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问： (a) 此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？ (b) 荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电
19、电 子子 教教 案案47思考思考2：对于图示带中间铰C的梁，试问： (a) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的集中力F，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？ (b) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同为顺时针的力偶矩Me的力偶，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？第四章第四章 弯曲应力弯曲应力C材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案48思考思考3：根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确。(a) 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为 反对称；(b) 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力
20、力 学学 电电 子子 教教 案案49 例例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：解：1. 求支座约束力得和由00ABMMqlFqlFBA81 ,83 可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。 0yF第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) xBAl/2l/2CqFAFB材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案502. 建立剪力方程和弯矩方程 AC段： CB段： qxqlxF83)(S22183)(qxqlxxMqlxF81)(S)2(lxl)20(lx )20(lx )(81)(xlqlxM)2(lxl第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) xBAl/2l
21、/2CqFAFB材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案513求控制截面内力，绘FS , M图 FS图：AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可qlFA83S右qlFC81S左CB段内 剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。 qlFB81S左第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案52M图：AC段内 弯矩方程是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。 0AM216
22、1qlMC)0)(0d)(d1SxFxxM211289)83(qllMlx83第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案53我们可以发现，对于该梁来说有 qxxMxFxxMqxxF22SSddddddCB段内 弯矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，并连成直线即可。 0BM2161qlMC第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力
23、学学 电电 子子 教教 案案54 （a） 当梁上有向下的均布荷载时，剪力图为一条直线，其斜率 为负； xxFddS而且，这微分关系也体现在该梁的剪力图和弯矩图中：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案55第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2 （b）从剪力图可见，随x的增大剪力FS由正值逐渐变为负值，故弯矩图切线的斜率 也应随x的增大而由正值逐渐变
24、为负值；且在 的截面处 ，即弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值； xxMdd0SF 0ddxxM材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案56 （c）由 可知，弯矩图的曲率 为负，亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时，弯矩图为下凸的二次曲线。 qxxM22dd 22ddxxM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案57. . 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用M(x), FS(x)与q(x)间微分关系
25、的导出 从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案58 0dd0SSSxxqxFxFxFFy从而得： xqxxFddS 02dddd0SxxxqxxFxMxMxMMC得及00CyMF由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项 ，即得 2ddxxxq xFxxMSdd第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案59 应用这些关系时需要注意，向上的
26、分布荷载集度为正值，反之则为负值。由以上两个微分关系式又可得 xqxxM22dd第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案60常见荷载下常见荷载下FS，M图的一些特征图的一些特征向上）(0 cq向下）(0 cq0q)0(ScbcxF)0(212cdbxcxM)0(ScbcxF)0(212cdbxcxMcF SbcxM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案61集中力作用处集中力偶作用处 若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。 0)(d)(dSxFxxM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学
27、电电 子子 教教 案案62 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1) 求支座约束力； (2) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max 。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案63 例题 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。第四章第四章 弯
28、曲应力弯曲应力x+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案64kN100m2mkN10021BAFF而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为 xqxxFddSkN100SAFF1. 校核剪力图 解：解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 该梁的AC段内无荷载，材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教
29、案案65 对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。kN100m2kN/m100kN100第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq xqxxFddS kN/m100ddSxxF 根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案66 对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直
30、线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是kN100SBFF第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案672. 校核弯矩图mkN100m1kN1000CM这与图中所示相符。 该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为 xFxxMSddmmkN100kN100即第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-
31、100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案68 事实上，这个弯矩值也可根据 xFxxMSdd mkN100m1kN1000dSACACxxFMM此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。 ACxxFdS第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）通过积分来复核：材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案69 对于该梁的CD段，根据 可知： mkN100dd22xqxxM 弯矩图是如图(c)
32、中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案70 由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力
33、力 学学 电电 子子 教教 案案71 mkN100m1kN10021mkN150dmkN150m1kN10021mkN100dSSEDEDCECExxFMMxxFMM 在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据 可知， xFxxMSdd这些均与图(c)中所示相符。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案72 对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再
34、考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案73已知：图中梁的约束力为 qaFqaFDA2 ，思考：思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案74图中梁的约束力为 qaFqaFBA31 35，正确答案：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案
35、案75图中梁的约束力为0 0AAMF，正确答案：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (c) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案76. 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案77 (1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为 lxqxFxxMlxqxFxF0 ,20 ,2S第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案78 这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集
36、中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)(c) (a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案79 (2) 叠加原理 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案804/qlF (3) 示例 图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中荷载 作用的悬臂梁，其剪力图和弯矩图显然就是图b和图c
37、所示，该梁分别受集中荷载F和满布均布荷载q作用时两个剪力图和两个弯矩图的叠加。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F=ql/4lq(a)F=ql/4l(b)lq(c)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案81第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 -42ql322qlM2/ lx Flq(a) -xSFF43qlF=ql/4l(b)lq(c)M42qlxSFxF -SFqlx-22qlMx材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案82第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 图d为直接将图b和图c中两个弯矩图叠加后的图形，将图中斜直线作为弯矩图的水平坐标轴时，它就是图a中的弯矩图。lq(c) -SFqlx
38、-22qlMx-x42ql22qlM(d)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案83 作剪力图时虽然(如上所示)也可应用叠加原理，但由于梁上通常无集度变化的分布荷载，而剪力图由直线段组成，作图比较简单，故往往只说按叠加原理作弯矩图。 由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为 (负值) ,最大弯矩为 (负值)，而极值弯矩 并非最大弯矩。43max,SqlF42maxqlM3224qlMl第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 -42ql322qlM2/ lx Flq(a) -xSFF43ql材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案844- -3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图.
39、. 平面刚架平面刚架 平面刚架由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。 平面刚架杆件的内力当荷载作用于刚架所在平面内时，杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外，还会有轴力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案85 作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定： 弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号； 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号； 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案86 例题例题4-
40、13 试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案87各杆的内力方程为：CB杆： 0NxF(杆的外侧受拉) 1SFxF)0()(1axxFxM 11NFxF(杆的外侧受拉)BA杆： 21SFxF lxxFaFxM112110 解：此刚架的C点为自由端，故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象，则可不求固定端A处的约束力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案88 绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号(图b及图c)；弯矩图则
41、画在杆件弯曲时受拉的一侧(图d)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案89 作为校核可取该刚架的结点B为分离体，标出结点处的外力及内力，考察结点是否满足平衡条件。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案90思考思考：能根据概念绘出图示平面刚架(框架)的内力图吗？第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案91. 平面曲杆平面曲杆 平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力 。第四章第四
42、章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案92 图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面m m上的内力有 此即内力方程。根据内力方程将内力值在与q 相应的径向线上绘出，即可得到内力图，如图b，图c及图d。 0cosNqqqFF 0sinSqqqFF 外侧受拉为正0cos1qqqFRFxM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案93-+(c) FN图第四章第四章 弯曲应力弯曲应力F(d) FS 图+FF材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案944- -4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条
43、件梁的正应力强度条件 纯弯曲纯弯曲 (pure bending) 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力MeM材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案95 横力弯曲横力弯曲 (bending by transverse force) 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力FCSFMFMFAC材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案96. . 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导计算公式的推导 (1) 几何方面几何方面 藉以找出与
44、横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案97第四章第四章 弯曲应力弯曲应力弯曲变形弯曲变形材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案98 1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案99 2. 相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图
45、a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案100 根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案101 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知
46、，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中中性轴性轴 (neutral axis)。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力（f)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案102令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义 有xdd1qrryxyOOBBABBBdd21111q纵向线应变在横截面范围内的变化规律纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为第四章第四
47、章 弯曲应力弯曲应力(c)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案103 即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变与该点至中性轴的距离 y 成正比。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(c)弯曲变形弯曲变形ry材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案104 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。 (2) 物理方面物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。ry 梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有ryEE 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。第四
48、章第四章 弯曲应力弯曲应力M材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案105 (3) 静力学方面静力学方面 藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。MAyMAzd 梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素dA(图d )不可能组成轴力( )，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩( )，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即0dNAAF0dAyAzM第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(d)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案106将 代入上述三个静力学条件，有ryE0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b
49、)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c) 以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案107 其中 为截面对于z轴的静矩(static moment of an area)或一次矩，其单位为m3。AzAySd 为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。AyzAyzId 为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单位为m4。AzAyId2第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案1
50、08 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求：rE 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；0dAAy 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。0dAAyz0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c)第四章第四章 弯曲应力弯曲应力材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案109由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，