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1、勾股定理勾股定理专题复习专题复习2019.4.20一、核心内容归纳：一、核心内容归纳： 基本知识：基本知识： 勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理 基本思想与方法：基本思想与方法： 数形结合，分类讨论，方程思想，转化化数形结合，分类讨论，方程思想，转化化归，由特殊到一般，数学建模。归，由特殊到一般，数学建模。 基本经验：基本经验： 已知两边求第三边通常利用勾股定理直接已知两边求第三边通常利用勾股定理直接计算或者列方程求解，立体图形中的勾股计算或者列方程求解，立体图形中的勾股定理问题通常转化为平面图形来解决。定理问题通常转化为平面图形来解决。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为
2、指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。a2=c2b2acb22cab22b2 =c2-a2b=c2-a2a2+b2=c2cabCAB知 识 回 顾勾股定理公式变形勾股定理公式变形“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。cabCAB 三角形的三边三角形的三边a,b,c 满足满足a2+b2=c2,则这个三角形是则这个三角形是直直角三角形角三角形; 较大边较大边c 所对的角是直角所对的角是直角.其中满足其中
3、满足a2+b2=c2的的三个正整数，称为三个正整数，称为勾股数。勾股数。在在ABC中中, a，b，c为三边长为三边长,若若 c为最大边为最大边, 则则C C为三为三角形最大角角形最大角。 若若a2 +b2=c2, 则则ABC为为直角直角三角形三角形; C C为为直角直角若若a2 +b2c2, 则则ABC为为锐角锐角三角形三角形; C C 为为锐角锐角 若若a2 +b2c2, 则则ABC为为钝角钝角三角形；三角形；C C为为钝角钝角知 识 回 顾“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治
4、安防控工程”。cbaBCA2:3: 1:cbacbaCAB2: 1 : 1:cba知 识 回 顾二、常见考点枚举 考点考点1：已知两边求第三边：已知两边求第三边1在直角三角形中在直角三角形中,若两直角边的长分别为若两直角边的长分别为1 cm，2cm ，则斜边长为，则斜边长为_cm2已知直角三角形的两边长为已知直角三角形的两边长为3和和4，则另一条边长，则另一条边长 是是_考查意图说明：考查意图说明：2，3训练学生分类讨论思想训练学生分类讨论思想3、三角形、三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC边上的高线边上的高线 AD=8,则则BC的长为的长为_.575或219或 分类思想分类思想 1
5、.直角三角形中，已知两边长时，直角三角形中，已知两边长时，应分类讨论。应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。种情况。考点考点2：勾股定理中的方程思想：勾股定理中的方程思想 一、利用方程求线段长一、利用方程求线段长如图，笔直公路上如图，笔直公路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两为两村庄，村庄， DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知DA=15km，CB=10km，现在公路，现在公路AB上建一车站上建一车站E。ADEBC152510（2）若使得）若使得C，D两村到两村到 E站的距离之和
6、最短，则站的距离之和最短，则 此时此时AE相距多远？相距多远？（1）若使得）若使得C，D两村到两村到E站的距离相等，则站的距离相等，则E站建在站建在离离A站多少站多少km处？处？ 此时此时DE与与CE的位置关系如何？的位置关系如何？ kmCEDEkm152.,101 C B A D E F1、如图，用一张长方形纸片、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，进行折纸，已知该纸片宽已知该纸片宽AB为为8cm，长，长BC为为10cm当当折叠时，顶点折叠时，顶点D落在落在BC边上的点边上的点F处（折痕为处（折痕为AE）想一想，此时）想一想，此时EC有多长？有多长？考点考点2：勾股定理中的方程思想：勾股
7、定理中的方程思想 二、利用方程解决翻折问题二、利用方程解决翻折问题EC=32、在矩形纸片、在矩形纸片ABCD中，中，AD=3cm，AB=9cm，按图所示方式折叠，使点按图所示方式折叠，使点B与点与点D重合，折痕为重合，折痕为EF，求，求DE和和EF的长。的长。ABCDEFCDE=510EF3.边长为边长为8和和4的矩形的矩形OABC的两边分别在直角坐的两边分别在直角坐标系的标系的x轴和轴和y轴上，若沿对角线轴上，若沿对角线AC折叠后，点折叠后，点B落在第四象限落在第四象限B1处，设处，设B1C交交x轴于点轴于点D，求（，求（1）三角形三角形ADC的面积，（的面积，（2）点）点B1的坐标，（的坐
8、标，（3）AB1所在的直线解析式所在的直线解析式.OCBAB1Dxy 6433512,52421011xyBSADC问题一：问题一：如图，已知圆柱体底面直径为如图，已知圆柱体底面直径为2cm，高为高为4cm 如果蚂蚁在圆柱体表面由如果蚂蚁在圆柱体表面由A点爬到点爬到CF边中点边中点H，求蚂蚁爬行的最短距离。，求蚂蚁爬行的最短距离。考点考点3：勾股定理在立体图形展开图中的应用勾股定理在立体图形展开图中的应用C42问题二：问题二：长方体的长为长方体的长为4cm，宽，宽2cm，高，高3cm，试求蚂蚁从长方体表面，试求蚂蚁从长方体表面A爬行到爬行到M点的最短路线长。点的最短路线长。EABCFG DH、
9、M2113215321372113最短路线长为考点4：判断一个三角形是否为直角三角形考查意图说明：勾股定理逆定理应用考查意图说明：勾股定理逆定理应用直接或间接给出三边的长度或比例关系直接或间接给出三边的长度或比例关系(1)若一个三角形的周长若一个三角形的周长12cm,一边长为一边长为3cm,其他两其他两边之差为边之差为1cm,则这个三角形是则这个三角形是_。 (2)将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是三角形是 _(3)在在ABC中，中， ，那么，那么ABC的的确切形状是确切形状是_。(5)在在ABC中，若三边长分别为中，若三边长分别为2、
10、3、4，那么，那么ABC的确切形状是的确切形状是_。2:1:1:cba(4) ABC的的三边长为（mn0）那么那么ABC的确切形状是的确切形状是_。直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形等腰直角三角形等腰直角三角形钝角三角形钝角三角形锐角三角形锐角三角形(5)如图，正方形如图，正方形ABCD中，边长为中，边长为4，F为为DC的中点，的中点，E为为BC上一点，上一点， ，请你证明，请你证明AFE是直是直角。角。 BCCE41902520520416541259169031, 241, 422222222222222AFEAFEFAEAFEFDFADAFFCECEFBEABAECDBBECEDF
11、CFBCCEFAE由勾股定理知又为中点，正方形边长为证明：连接考点考点5:勾股定理在找规律题中应用勾股定理在找规律题中应用如图，分别以直角如图，分别以直角ABC三边为直径向外作三个半圆，其面三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明表示，则不难证明S1=S2+S3 .问题：问题：如图，分别以直角如图，分别以直角 ABC三边为边向外作三个正方形，三边为边向外作三个正方形，其面积分别用其面积分别用S1、S2、S3表示，表示，那么S1、S2、S3之间的关系为_变式一：变式一：如图，分别以如图，分别以 ABC三边为边向外作三个正三角形，三边为边向外作三个正三角形，其
12、面积分别用其面积分别用S1、S2、S3表示，表示，那么S1、S2、S3之间的关系为_变式二：变式二： 若分别以直角若分别以直角 ABC三边为边向外作三个正多边形，三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用其面积分别用S1、S2、S3表示，表示，那么S1、S2、S3之间的关系为_S1=S2+S3S1=S2+S3S1=S2+S3 寻找规律性问题一寻找规律性问题一 (1)如图，设四边形如图，设四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，以正方形以正方形ABCD的对角线的对角线AC为边作第二个正为边作第二个正方形方形ACEF，再以第二个正方形的对角线，再以第二个正方形的对角线AE为为边作第三个正
13、方形边作第三个正方形AEGH，如此下去，如此下去（1）记正方形记正方形ABCD的边长为的边长为 ，依上述方法，依上述方法所作的正方形的边长依次为所作的正方形的边长依次为 ，求出，求出 的值。的值。 (2)根据以上规律写根据以上规律写 出第出第n个正方形的边个正方形的边 长的表达式长的表达式 。11anaaa,32432,aaana1342312012222222212nnaaaaa寻找规律性问题二寻找规律性问题二 ?1?S1?S2?S3?S4?S5?.?O?A1?A2?A3?A4?A5?A6112nn2nSn1010OA4552102221SSS54321寻找规律性问题三寻找规律性问题三 三、
14、对于本章复习的想法：三、对于本章复习的想法： 基本计算的准确性基本计算的准确性 注意数学思想方法的渗透例如数形结合、分类注意数学思想方法的渗透例如数形结合、分类讨论，方程思想等讨论，方程思想等 注意勾股定理与实际相结合的问题注意勾股定理与实际相结合的问题 注意培养学生的动手操作能力及合作探究能力注意培养学生的动手操作能力及合作探究能力如勾股定理探索，数学活动中的折纸问题如勾股定理探索，数学活动中的折纸问题 注意勾股定理在综合性问题中的应用例如动点注意勾股定理在综合性问题中的应用例如动点问题。问题。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。拓展题拓展题如图，笔直公路上如图，笔直公路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两为两村庄，村庄， DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知DA=15km，CB=10km，现在公路，现在公路AB上建一车站上建一车站E。若使得。若使得ED-EC的值最大，则的值最大，则E站建在离站建在离A站多少站多少km处？处？ADEBC152510