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1、第六章二次型与对称矩阵第一讲第1页，本讲稿共24页 (1)(1)的左边是一个二次齐次多项式的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。4.1 4.1 二次型概念二次型概念二次型概念二次型概念 定义定义1.1 含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数其中其中（1）第2页，本讲稿共24页 1 1、二次型的矩阵形式、二次型的矩阵形式第3页，本讲稿共24页其中其中 1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT
2、;2）A=(aij),若 aij 为复数，称 f 为复二次型；3）A=(aij),若 aij 为实数，称 f 为实二次型；4）称为R(A)为二次型 f 的秩。（2）第4页，本讲稿共24页 例例例例 1 1.把下面的二次型写成矩阵形式：把下面的二次型写成矩阵形式：第5页，本讲稿共24页 2、线性变换 定义定义1.2 把变量x1,x2,xn化为变量y1,y2,yn的一组线性关系式叫做由变量x1,x2,xn化为变量y1,y2,yn的一个线性变换。若记则线性变换可表示为x=Py。（3）第6页，本讲稿共24页上式中的矩阵P称为该变换的系数矩阵系数矩阵。当P可逆时，（3）称为可逆的线性变换可逆的线性变换；
3、当P不可逆时，（3）称为不可逆的可逆的线性变换线性变换。当线性变换（3）可逆时，线性变换y=P-1x (4)称为（3）式的逆变换逆变换。设x=Py是可逆的线性变换将二次型化为f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。令 B=PTAP，则B是对称矩阵，yTBy是新变量y1,y2,yn的一个二次型。变换前后两个二次型矩阵A、B间的这种关系称为合同关系。定义定义1.3 对于n阶矩阵A、B,如果有n阶可逆矩阵P使得PTAP=B则称矩阵A、B是合同（或相合），记为A B。对方阵A进行的运算PTAP称为对A的合同变换合同变换，P称为合同因子合同因子。第7页，本讲稿共24页 显然，合同矩阵具有如下性质：
4、2）对称性：若A B，则 B A；1）反身性：若A A；3）传递性：若A B，B C,则A C;4）若A B，则R(A)=R(B);5）若A B，且A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵。合同与相似是两个互相独立的概念。合同的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同。但是，对于实对称矩阵A，当合同因子P是正交矩阵时，由于P-1=PT，所以对A的合同变换与相似变换是一致的。显然，如果二次型xTAx经可逆的线性变换 x=Py化为二次型 yTBy，则必有A B，即f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。综上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的线性变换x=Py化为yTBy的充分必要条
5、件是有可逆矩阵P，使PTAP=B。第8页，本讲稿共24页 2二次型的标准形二次型的标准形 定义定义2.1 称只含有平方项的二次型为二次型的标准型（或法式）。显然，一个二次型为标准形的充分必要条件是它的矩阵为对角矩阵。（5）第9页，本讲稿共24页 所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：定理定理2.1 设A为n阶对称矩阵，二次型f(x)=xTAx能用可逆线性变换x=Py化为标准形（5）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵P使PTAP=B=ding(1,2,，n).定理2.1告诉我们，二次型经可逆线性变换化为标准形的问题与对称矩阵化为对角矩阵的问题实质上是同一问题。第10页，本讲稿共2
6、4页 显然，经可逆变换 x=C y 把 f 化成 yTC TACy，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。2.1 用正交变换化实二次型为标准形用正交变换化实二次型为标准形 定理定理2.2 对于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交变换x=Py，使f化为标准形其中1,2,，n恰是A的全部特征值。证明证明 由于A为n阶对称矩阵。由第五章定理5.3知有n阶正交矩阵P，使得PTAP=P-1AP=ding(1,2,，n)，其中1,2,，n恰是A的全部特征值。由定理2.1便知定理成立。应用定理2.2求实二次型f(x)=xTAx标准型问题，其实质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题。第
7、11页，本讲稿共24页 经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型的一般步骤：1、将二次型 写成矩阵形式；2、由|A-E|=0，求出A的全部特征值；4把求出的n个两两正交的单位向量，拼成正交矩阵P,作正交变换x=Py;第12页，本讲稿共24页 5、用x=Py，把f 化成标准型 解解 1）二次型的矩阵为 例例例例2 2.求一个正交变换求一个正交变换x x=PyPy，把二次型，把二次型第13页，本讲稿共24页第14页，本讲稿共24页得A的特征值为1=-3，2=3=4=1，由(A-E)x=0,求A的全部特征向量，当1=-3时，解方程(A-3E)x=0.第15页，本讲稿共24页得基础解系单位化，得
8、第16页，本讲稿共24页k2,k3,k4不同时为零.第17页，本讲稿共24页取单位化，得第18页，本讲稿共24页（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交变换x=Py,即5）用正交变换x=Py将f化成标准形第19页，本讲稿共24页 2.2用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 解解 由于 f 中含有的平方项，故把含有 x1 的项归为一类，配方得：第20页，本讲稿共24页 所用的线性变换为则该变换把f化成标准形为 例例2 用配方法化二次型成标准型，并求出所用的可逆的线性变换.解解 在f中不含有平方项，由于含有x1,x2的乘积项，故令第21页，本讲稿共24页代入可得第22页，本讲稿共24页所用的线性变换为则该变换把f化成标准形第23页，本讲稿共24页第24页，本讲稿共24页