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1、 Research on the derivative problem-solving strategies teaching in the senior high school mathematics A thesis submitted to Northwest University in partial fulfillment of the requirements for the degreeof Master in Education By Han Dong Supervisor: Xue XifengProfessor June 2016 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了
2、解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 d 学 位 论 文 作 者 签 名 ： 指 导 教 师 签 名 “. 4 年 g月丨曰 J年 / 月 曰 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的
3、研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年 ;=lnx + 1-x2，则 j/=丄 -2x； = lnjc + 3_jc2,则 丄一 2x0， 2 时， |/ c) + g c)| = l 等价于 lnx+jc2- 7 = 0lnx+x2-5 = 0,令少 = lnx + x2-7,贝 !/ =丄 + 2x0,函数少 = lnx + jc2-7 x 在 2， +
4、)上单调递增， j;(2) = ln2-30,故方程 lnjc+Jc2-7 = 0 在 2， + )上有一解；令 3； = lnx+x2-5， 则 y=丄 + 2x0， 函数 y = lnj!： + x2-5在 2,4 )上 x 单调递增，： K2) = ln2-10,故方程 ln;c + x2-5 = 0在 2,4 )上有一解。 综上所述， |/ +的 | = 1实数根的个数为 4。 用函数和方程思想解题时要思考这些问题：解题时是否需要把题中的代数式看做一 个函数；是否需要把字母看作变量；若题目从表面上看并不是一个函数问题，是否能够 通过构造一个函数去解决问题；所构造的新函数具有什么性质；若
5、将问题转化为方程问 题，则对此方程的根有什么要求。 2、 数形结合思想方法 数形结合是高中数学中最常用的一种数学思想方法，主要是指数与形之间的一一对 应关系，通过以数解形和以形助数将抽象思维和形象思维结合起来，简化运算，使繁琐 问题简易化，抽象问题形象化，从而达到优化解题的目的。 例 2、 （ 2015新课标 I理）设函数 + ,其中 ar*(- 2e 综上所述， a的取值范围为 2,】），答案选 D。 2e 通常我们利用导数研宂函数的性质，根据得到的单调性、极值、最值等条件画出函 数的图形，达到以数解形的目的，通过图形解决问题，使问题直观化简单化。另一方面 , 我们也常常从导函数的图像中提取
6、有关数据来研宂函数的性质。数形结合思想在导数知 识模块中主要用来解决方程根的问题和有关函数图像的问题。 3、转化思想 转化思想就是把陌生的、复杂的问题转化为熟悉的、简易的问题进行解答的一种数 学思想方法。在利用导数证明不等式成立和已知函数单调性求参的问题中常常用到，我 们往往将这些问题转化为求最值的问题，还有一种是导数与解析几何相结合时，将问题 转化为导数几何意义的相关知识。 例 3、 （ 2012新课标理）设点户在曲线 ;上，点 0在曲线少 = ln(2jc)上，则 |P0| 的最小值为 （ ）。 A、 l-ln2 B, yfl(-ln2) C、 l + ln2 D、 V(l + ln2)
7、解 .“ 由于函数 j = 与产 ln(2x)互为反函数，故他们的图像关于直线 :v = :c对称， 则 |P0|的最小值为可转化为少 =图像上的点户到直线少 =上的最小距离的二倍，设 与 J = X平 行 的 直 线 与 少 相 切 时 的 切 点 坐 标 为 P( x0 ， h),则 / OCohl， 解得 x0 = ln2,代入曲线方程中得外 =1,故户 (ln2， l)， 此时点 P到直线 7 = JC上的距离最小， I-ln2 因此 |户 0|_=20时， JC， (:C)-/(X)0成立的 x的取值范围是 （ ）。 A、 （ -， -l)u(0， l) B、（ -l， 0)u(l，
8、 + o) C、（ - o， -l)u(-l， 0) D、 （ O， l)u(l， + ) 解 ： /(x)是奇函数，故 /(0) = 0, /(1) = -/(-1) = 0,设 = 则 F(x):X( X):( X)，由题意知当 :c0 时， )-/(x)则 0，即 ,所以 00则 0时， x 8 / )()。 A、 有极大值，无极小值 B、 有极小值，无极大值 C、 即有极大值又有极小值 D、 即无极大值又无极小值 分析：条件中含有类似 , )公 (乂 )/( 的式子，构造函数 F ) = x2/(:v:)求导解决。 在导数中还有一种常见的构造方法将在导数在不等式的应用中详细 介绍。 5
9、、分类讨论 分类讨论思想在导数的应用中随处可见，主要体现在解决含参问题上，在利用导数 研宄函数的单调性、极值、最值和证明不等式时都会看到分类讨论的身影，分论讨论思 想实际上就是 化整为零，各个击破，再积零为整 的数学解题策略。在解决导数相关 问题时，当问题所给的对象不能进行统一研宄时，即在某个大范围内我们得不到确定的 结果，就需要将研宄对象按某种标准分类，对每一类情况分别进行研宄，目的是在每一 种情况下都能够得到确定的结果，再将每种结果综合起来得到最终结果。用分类讨论的 数学思想对问题进行求解的一般步骤为： (1) 首先要确定分类讨论的对象，一道题中可能会出现不止一个参数，这是我们 首先要确定
10、对哪个参数进行讨论； (2) 对分类对象按照一定的标准进行分类，要做到 统一标准，不重不漏，逐层 分级 ; (3) 逐类讨论，在将对象分好类后对每类问题进行详细的分析，逐步解决； (4) 反思整个解题过程，归纳总结，从中发现局部与整体之间的关系，充分发挥 题中的潜在条件，尽可能简化和避免分类讨论，使解题过程更加的简捷、合理。 在导数的应用中常见的引起分类讨论的原因有以下几种： (1) 研宄函数单调性时， /(JC)在某区间上无法确定正负而引起分类； (2) /(JC)或 / c)零点的大小关系不确定引起的讨论； (3) 极值点与区间的位置关系不确定引起的讨论。 当然在做导数有关的题目时还有各种
11、各样的情况会涉及到分类讨论，这里只具体说 明了最常见的三种情况，其它需根据具体情况进行讨论。 例 6、 （ 2014陕西文 ） 设函数 /(x) = lnx+二 ,me及。 x (l) 当 m=咖为自然对数的底数 )时，求 /(x)的极小值； (II)讨论函数芨 (x) = _T(x)-f零点的个数； (m) 若对任意 6fl0， /(6)_/(fl) 0)， = X X 当工 e (0, e)时， /(x) 0， /(x)在 (幻 + )上单调递增， 故当 x = e时， /(X)取得极小值 / = + f = 2。 e (n)由题意可得 =尸 -三 =丄 -4-三 h )， 3 x x 3
12、 令 = ,解得 w = 尤 3 + x(x )。 设 A(JC) = -1 jc3 + x(x 0)， A( x) =-x2 +1 =-(JC - l)(x +1)， 当 jce(0， l)时，的 x)0， 在 (0,1)上单调递增； 当 jce(l， + o)时，叫 a ， 0)，由 /(Z) - 6 0)个旦成 x x 2 4 立，因此 w之丄。 4 6、分离参数 分离参数是解决含参问题的常用思想，可以有效的避免分类讨论，简化运算，特别 是在利用函数解决不等式恒成立问题时，若含参不等式中参数的系数可以判断正负，则 利用不等式的运算性质将参数从不等式中分离出来，得到一个一端是参数，另一端是
13、变 量表达式，只要研宄变量表达式的性质就可以解决问题。 例 7、 （ 2014辽宁理改编）当 ;csl,3时，不等式 ax3-x2+4x + 3 0恒成立，则实数 的取值范围为 _ 。 解：当 xel， 3时， OX3-X2+4JC+3 2 0恒成立，贝 ja X 一 .4f 3 t亘成立 , 令 g(x) = _#L_1， 只需令 即可。 X , (2x -* 4)x3 (x2 4x 3)3x2 x1 8x 9 (JC 一 9)(x + l) S(X) - 6 - = - 4一 = - ? X X X 调递増， # _ =容 (3 =-|，故 a乏 -备。 y *7 0,故总 0)在 1，
14、3上单 第三章高考中导数内容的解题策略研究 3. 1导数基础知识的解题策略 3. 1. 1导数的概念 近几年高考题中直接考查导数概念的题几乎没有，多是以应用题的形式出现，需要 学生充分了解平均变化率和瞬时变化率的实际意义，掌握变化率与导数之间的联系，从 导数概念的实际背景出发结合题目所给的条件，提取相关信息解决问题，体会导数在解 决实际问题中的应用。 例 8、 （ 2011湖北理 ） 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素， 其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯 137的衰变过程中，其含 量 M (单位：太贝克 ） 与时间 /(单位：年 )满足函数关系：叫 =从。
15、 24,其中鳩为 / = 0 是铯 137的含量。已知 / = 30时，铯 137含量的变化率是 -101n2 (太贝克 /年 ）， 则 M(60) = () A、 5太贝克 B、 75In2太贝克 C、 150丨 n2太贝克 D、 150太贝克 -L 1 解： AT(/) = A/Q23(Mn2.(-)，因为 / = 30时，铯 137 含量的变化率是 -101n2， 所以从， (30)=从。 2十 1112.(-士 ) = -101112，解得 71/。 = 600，故从 (60)=从。 2-2 = 150,答 案选 D。 分析：这道题的关键是理解导数是瞬时变化率，同时在学习瞬时变化率的时
16、候要注意它 的实际意义，要结合现实生活中的经验，通常会借助物理、化学、地理等方面的知识综 合考虑。 3.1.2导数的运算 在高考中利用定义求导的题基本是不会出现的，但基本初等函数的求导公式 、导数 的四则运算、复合函数的求导公式是每年必考的重点，其中复合函数的求导公式虽然在 选修 1系列中没有出现，但在每年的文科试卷中总是会出现简单的复合函数求导，因此 也需要对复合函数的求导公式有一定的了解。 基本初等函数的求导公式是导数运算的基础，在对函数求导时，一般要遵循先化简 解析式再求导的规则，常用的化简方式有： (1) 对于连乘形式的函数，要先展开化为多项式的形式再进行求导； (2) 对于根式形式的
17、函数，先将其化为分数指数幂的形式再进行求导； (3) 对于复杂的分式函数，在分子上凑出分母，利用分离变量的方法将其化为简 单分式的和差再求导； (4) 对于复合函数 /(以 x),要运用复合函数的求导法则，先分清复合关系是由哪 些基本初等函数复合而成，选取中间变量 = g c)， 重点要分清每一步求导是对哪个变 量进行求导，利用公式乂 = /_： “ 圮进行求导，最后将中间变量转换成自变量； (5) 对 于 指 数 形 式 的 函 数 ， 可 利 用 指 数 幂 的 运 算 法 则 ， 将 积 化 为 和 ； （ 6) 对 数 形 式 的 函 数 ， 可 利 用 对 数 的 运 算 法 则 l
18、 ga(M.iV) = logaM+ loga # 、 logfl = logfl M - loga AT将积商化为加减。 N 例 9、 （ 2013江西理 )设函数 / c)在 (0, + )内可导，且 /( = JC + e* ,则 /(l) = 。 解： （ 方法 一） 设 / =，则 x = lnr， 由 此 可 得 = 即函数的解析式为 /(:c) = lnx+jc， 则 /(JC) =丄 + 1，从而 /(1) = 2。 JC (方法二）对 /( = x +， 两边同时求导可得 /W， = l + ， ， 即 = 令 e X = 0 可得 _/(1) = j = 2。 分析：在做关
19、于导数运算的题目时一般先将解析式化简再求导，在这道题目中我们在方 法一中先用换元法求出函数的解析式再利用公式进行求导，这是此类题目的通法。在方 法二中我们运用复合函数的求导法则对题目中所给的解析式进行等式两边同时求导，再 对变量进行赋值得出结果。导数计算是高考必考内容，是做导数相关题目的基础。 3.1.3导数的几何意义 导数的几何意义：曲线 Y = /(X)在点 Gcfl,/(x。 )处的切线的斜率即为函数 J； = /(X)在 ;处的导数。理解导数的几何意义是研宄曲线的切线问题以及求相关参数值或参数取值 范围的基础，若切点不知道的要先设出切点坐标，再根据切点在曲线上且在切线上来求 解，主要有
20、以下四种题型。 _ 第三章高考中导数内容的解题策略研究 _ 1、 求曲线在某点处的切线方程 求曲线 y = / c)在点 P (:。 )处的切线方程时，说明此时点 75是切点。有两种 情况： （ 1)若切线平行于 3；轴，则切线方程为 x = (2)若切线不平行于 ;轴，则切 线方程为 /(。） =尸 OOOc-x。）。 在高考试题中一般由圆锥曲线求切线方程时一定要 考虑斜率是否存在的问题，但由导数求切线时基本上只有斜率存在的情况。 例 10、 （ 2015北京理 ） 己知函数 /(; = lni。 x (I ) 求曲线 = 在点 (0， /(0)处的切线方程。 解：（ I) 因为 /(x)
21、= ln(l十 jc)-n(l-jc),所以 / c) = -!-十 一 !一，贝 iJ/(0) = 2, 1+X 1 -x /( ) = ,从而曲线 ； = / )在点 ( ,/( )处的切线方程为 3； = 2X。 分析：求导是解决导数问题的基础，在计算导数时，对解析式进行化简变换可以有效的 简化计算，如本题中在计算 / = In h的导数时若按照复合函数的求导法则计算过程 . 1-JC 比较麻烦，将解析式变换为 / ) = ln(l + x) -ln(l -；以达到简化计算的目的。 2、 求曲线过某点处的切线方程 求曲线 ： V = /(x)过点户（ &， /(; )处的切线方程时，点可
22、能是切点也可能不是切 点。若点在曲线上，则该点不一定是切点，若点 P不在曲线上，则该点一定不是切点。 在做此类题目时我们把已知点都看为不是切点， （ 1)先设切点为产（、 / ); (2 ) 写 出在点产处的切线方程广 /卜 /私 )-); (3)将点尸坐标 ( x。， /。 )代入切线方 程中求出 (4)将 :代入切线方程 -/(:卜 /从 )!： -中即可。 例 11、己知曲线 / ) = i； c3+4,求过点 P(2,4)的切线方程。 解：设切点为， cQ,j;。）， 则 / :。） = :， 故在点，处的切线方程为少 -(。 3+) = 0， 若 ? 0， /， :)0。 综上所述，
23、 /在 (- ,0)上单调递减，在 (0, + )上单调递增。 判断含参函数的单调性时，步骤遵循此类题的一般步骤，当参数对判断在某 一 区间的正负有影响时，就要对参数进行分类讨论使得 / c)可以判断 正负。 2、求函数的单调区间 利用导数求函数单调区间的步骤： 确定函数的定义域； 求出 解不等 式 / 0或 f c) 0, 由于 ;ce(0， + )， 当 JC2时， /(x)0, 当 00 或 -2)是单调递增函数最大值为 vl-2x (36-2)，从而 | + (36-2)幺 0,所以 6的取值范围为 (- ,|。 分析： /(x)在区间 Z)上可导，则 /(x)在区间 D上单调递减 (
24、或单调递增 ） 是， (x)0)是的必要不充分条件，故在己知函数单调性求参数范围时， /(x)在区间 D上 单调递减（或单调递增 ） 等价于 / c)在该区间上 0或乏 0 恒成立，且 /(X)在该区间 内不恒为 0,注意等号是否能成立，避免缩小参数的范围。 3. 2. 2导数与函数的极值 1、求函数的极值 极值是一个局部性的概念，是某点处的函数值与它附近点的函数值比较最大和最 小 ， 反 映 的 是 函 数 在 某 一 点 附 近 的 大 小 关 系 。 求 极 值 的 步 骤 为 求 导 数 求方 程 /0的 所 有 实 数 根 ， 若 不 在 定 义 域 内 则 舍 去 ； 检 验 尸
25、在 所 求 得 的 实 数 根 左 右的符号，得出结论。 (1) 求不含参函数的极值 例 18、 （ 2012江苏理 ） 若函数 y = / 在 ; := 处取得极大值或极小值，则称 x。 为 函数 Y = / c)的极值点。己知 a， 6是实数， 1和 -1数函数 /(X) = JC3 + OX2+&C的两个极值 点。 (I )求 0的值； (II )设函数 g(x)的导函数， (x) = / + 2,求 g(x)的极值点。 解 ： （ I ) = 0,6 = 3。 (II )由 （ I )可得 ,(x) = x3 -3x + 2 二 (x-l)2(:t + 2)，则公 ( x) = 0 的
26、根为 x, = x2 =1， x3 =-2,则 g(x)、 g c)随 :c的变化情况如下表所示： X (-00,-2) -2 (-2,1) 1 (1， + ) gW - 0 + 0 + g ) i 极小值 t T 综上所述， g c)的极值点为 _2。 分析：并不是方程 / = 0的所有实数根都是极值点，首先极值点一定在定义域内，其 次 / 在所求得的实数根左右的符号相反的才是极值点。 (2) 求含参函数的极值 例 19、 （ 2013 福建理 ） 己知函数 /(x) = ;c-aln:c(aG/?)。 (II)求函数 / c)的极值。 解：函数 / )的定义域为 (0,袖 )， / ) =
27、 1-三 X X 当 as 0时 ， / 0,函数 / c)在 (0,+ )上单调递增函数无极值点。 当 a0时，由 / = 0可得 x = a， 则 /、 / 随 x的变化情况如下表所示： X (0,a) a ， + ) fix) - 0 + m 1 极小值 T 故函数 /在 x = a处取得极小值 / = o-olna，无极大值。 综上所述：当 aSO时，函数 /(x)无极值； 当 a 0时，函数 /(X)在 x = 0,函数 /(x)在 (_1，似 )上单调递增，无极值点。 (2) 当 a0时， A = a2-8a(l-a) = a(9a-8) 当 Oca巧时， A0， 函数 /(x)在
28、 (一 1， 4 )上单调递增， 无极值点。 当 a|时， A0， 设 方 程 2 ar2 + ax-a + l = 0 的 两 根 为 x丨， 义 2且 2。由容 (_1) = 10可得 -10， 由以一 1) = 10可得 0， /(x)0， 函数 /(x)单调递增，当 xe 2， + )时， g(x)0),则方程 ,(x) = 0 变为 + y-c = 0 ，即 c? + 2 = 0 有 根 且 根 都 大 于 0 。由 此 可 得 ： A 二 C2-160 Q ，解得 c之 4。 -0 检验： 当 A = 0， 即 c = 4时 ， / 0,此时 /(x)无极值点，舍去。 当 A0，
29、即 4时，方程有两根 /|2=_Z， 则方程 / = 0有两根 4 x! =|ln心， x2 =|ln/2。当 x 0;当 x, x2 时， /0，故 / c) 在 处 取 得 极 大 值 ， 在 ;c = ;c2&取得极小值。 综上所述， c的取值范围为 (4， + )。 3. 2. 3导数与函数的最值 最值是一个整体的量，是与整个区间上函数值进行比较，它可以在区间的内部取得 也可以在区间的端点处取得。求某区域最值的步骤为： （ 1)在此区间内求得极值点； （ 2) _ 西北大学硕士学位论文 _ 若此区间为闭区间，则求得端点处的函数值与极值点处的函数值进行比较，取最大值或 最小值；若此区间为
30、开区间，则最值一般在极值点处取得。 1、求函数的最值 由于极值点只能在使 / = 0得点处取得，因此我们可把步骤的第一步简化为求得 尸 00 = 0的根。 (1) 求不含参函数的最值 例 22、 （ 2011陕西理 ） 设函数 /(X)定义在 (0，你 )上， /(1) = 0,导函数 /， =丄， X 客 =/ +/。 （ I) 求 的 最 小 值 。 解：由 /(x) =丄可得 /(x) = lnx + c(c为常数）， /=0 故 c = 0， 由此可知 x / :) = In x，茗 (x) = In X + “ ，则 g(x) = “ ，令 = 0得 JC = 1。当 x e (0，
31、 1)时， , 0， 机在 (1,+ )上单调递增，故 g=1 为最小值。 (2) 求含参函数的最值 求含参函数的最值时，在解出 / = 0的全部实数根后，要根据参数的范围判断 尸 c) = 0的根是否都在区间内，再根据极值点和单调性求得最值。 例 23、 （ 2013湖南理 ） 已知 a0， 函数 / c)=2二 1。 x-2a (I )记 /(x)在区间 0,4上的最大值为 g ，求 0, /(x)在 (a， +ro)上 单调递增。 当 & 4时， / t)在 0,4上单调递减，裒 = /(0) = |。 当 0 1 2 ,0 In a 时， 0 ； 由于贫在 (1, + )上有最小值，故
32、 1111,8卩 6。综上所述， 0， 则 /(x)0; 当 xe(-2， l)时， 由图像知少 = (l-x)/， c)0。 综上所述可 得函数 /的极大值为 /(-2)，极小值为 /(2),选 D。 3. 2. 5导数与函数的零点问题 利用导数解决函数的零点问题一般有两种思路 （ 1)若在某区间内单调，则利用零 点存在性定理和函数的单调性，由零点的存在性定理可知在此区间内至少存在一个零 点，再由单调性确定在区间内只有一个零点； （ 2)若在某区间内不单调，则需利用导数 判断函数的单调性和极值等情况，根据得到的情况画出函数的大致图像，数形结合判断 函数的零点。另外，当我们看到 / c)=a的
33、根的个数问题时，若方程中只含参数 a，且 能将 a全部移到等号右边时，我们把它转化为函数 y = /(x)与函数 a的图像的交点个 数问题，通过画出函数 r/(x)的图像来解决问题，避免分类讨论简化运算；若不能将 a分离出来，则将其转化为 / - = 0的零点个数问题。 1、判断函数零点个数 此类题一般都会做为解答题出现，通常都伴随着参数，当参数对判断函数的单调性 和最值的正负有影响时要进行分类讨 论，这对同学们的推理论证和数据处理能力要求比 较局。 例 26、 （ 2015 新课标理 I)已知函数 /(X) = JC3+ !C+丄， g(jc) = -lnx。 4 (II )用 minm,M
34、表示 m,n 中的最小值，设函数 A(JC) = min/(x)， g(x) c 0)，讨论 /* 零点的个数。 解：当 ;ce(l， 4 时， A(Jc)Sg )0， 只需讨论 /(x)在 (0， 1)上的零点个数， /(x) = 3x2+a， (1) 当 flS-3 时， /， (x)0, /(x)在 (0,1)上单调递增， /(x)/(0)0,无零点。 (3) 当 -30， 即 -20在及上恒成立，可得 / 在 J?上单调 递增，不合题意舍去。 (2)当 0时，由 /( x) = 0得 ;c = -Inor。 当： ce(-，一 ln)时， /(;)0， /(x)单调递 增；当 xe(-
35、lna， + )时，尸 (x) 0 ; 存在 / ie( , - lim),使得 /( 0， 即 -lnal 解得 0点，户的横坐标为 f。 (i )请写出公路 /长度的函数解析式 /( ,并写出其定义域； (ii)当 为何值时，公路 /的长度最短？求出最短长度。 解 ： （ I ) = 1000,6 = 0。 1. 1 ft6 (II) (i) /(/)-J/2+f,/e5,20 ( ii) 设沙 ) = / 2 + 土则 g， ( = 2/-。 令 gV) = 0,解得卜 l W， 则 g(0、 g(0随 /的变化情况如下表所示： t (5,1 V2) l V2 (l V2,20) gt)
36、 - 0 + g(t) i 极小值 t 从而，当 10万时，函数裒 ( 有极小值也是最小值，所以冲 )_=300, 此时 /( mn=15。 答：当 Z = l V时，公路 /的长度最短，最短长度为 15力千米。 3. 4导数在不等式中应用的解题策略 导数是证明不等式的有力工具，对于不等式恒成立和能成立的问题常通过运用构造 法和转化法来解决。构造法是把不等式中的式子都移到一边，然后将在一边的式子整体 看做为一个新的函数，通过研究新函数的单调性及最值来解决问题；转化法是将原不等 式转化为易证明的不等式，如原不等式中含有， lux等式子，将其转化为一次函数或二 次函数型的式子，再通过单调性及最值来
37、解决。具体方法如下： 不等式的恒成立问题 / 免在 D上恒成立，等价于 / )在上的最小值 / _ it成立 . / 上的最大值 / _ A:成立 . 对任意 x e Z)都有 /(x) ，等价于构造 F(x) = / c) - ，卩 _ 0。 对任意 X, e Z),都有 / ，都有 /(x,) g(x2)，等价于 /(xL 咖 ).。 对任意、工 2 e Z)，都有 |/ -/(尤 2)|，使 / c) A:在 D上能成立，等价于 / _ A:成立。 若存在 x e Z，使 / e) 茗 )，等价于构造 F(x) = /(x) g(x)， 若存在 ;, JC2 e D，使 / g(x2)，
38、等价于 / )_ 办 ) 。 (3) 不等式的恒成立与能成立的综合问题 对任意 AeD， 存在 ; x2e， 使得 /( gO)， 等价于 /(xXcgCx:)。 存在 eD， 对任意 x2e/)， 使得 /(xgO)， 等价于 /(xX cgOO 。 对任意 A e D， 存 在 亀 心 ， 于 1、证明不等式成立 在证明不等式时首先要判断出是恒成立还是能成立问题，再根据上述分类构造函 数。 例 29、（ 2 15福建理 ） 已知函数 /(JC)=丨吨 +办裒 = fcc(ifcei?)。 (I )证明：当 x0时， /(J:)0， 使得对任意的 xe(0， x。 )， 恒有 /(x)g c
39、)。 _ 第三章高考中导数内容的解题策略研究 _ 解 ： （ I )证明 “ 令厂 (文） =/ !： ) x = ln(l+x) x,x0， 则 / = 一 -丨 =二当 x0时， F(x) 0时， /Cr) 0， /7(x)在 (0， + )上单调递增， +1 x+1 故办 )； 7(0) = 0，即对任意实数 ;c。 都满足题意。 当 00, 取 丄 一 1 ，贝 IJ对任意的 k k k JC e (0， x。 ),有 ;/(x) 0，故在 /7 在 (0,x。） 上单调递增 , 故 /2(； C) ； ?(0) = 0，即 / ) 尽。 综上所述可得：当 Ar0， 使得对任意的 xe
40、,;),恒有 /(X)JC)。 2、己知不等式成立求参数 求参数时，先把参数当做已知量，按照证明不等式的步骤转化为最值问题，最后得 到一个只含参数的不等式，解不等式求出参数范围。 例 30、 （ 2015 新课标理 II)设函数 /(x) = eM+x2-wx。 (I )证明： /(x)在 (- ,0)上单调递减，在 (0, + )上单调递增。 (11)若对任意七，；： 26-1， 1，都有 |/(： 1： 1)-/ 2)|。 -1，求 7的取值范围。 解 ： （ I )略。 (II)由 （ I )知 /(X)在 -1,0上单调递减，在 0， 1上单调递增，则 /(x)在 ； c = 0处 取
41、得最小值。对任意 xyl-1,1， 都有 |/()-/ :2)|-1等价于 / )-/(0) 0时， g(-x)0 ,故 g 在（ - ,0)上单调递减，在（ 0， + ) 上 单 调 递 增 。 因 为 0 g(l) = , H) = 厂所以当 xe - l， l 时，成立；当 A： e(- ,-l)时， g-(-x) 0 舍去；当 xe(l， + o)时，艺 (;0 舍去。 综上所述， m的取值范围为 -1,1 3. 5导数与线性规划交汇问题的解题策略 导数和线性规划的交汇经常会出现在求函数解析式中的参数所构成新式子的最值 和范围中，这种题型先通过题中所给的条件得到关于参数的不等式，但无法
42、通过解不等 式求得参数所组成新式子的范围，此时需将参数看做变量，抛开解析式中的： c， y,把此 题转化为关于新变量的线性规划问题，将得到的关于参数的不等式看做约束条件，将所 求的式子看做目标函数，利用线性规划来解决问题。 例 31、设函数茗 (x) = ijc3+joac2-6x i， 6e及 )，若容 (;c)在区间 -1， 3上单调递减，求 3 2 a2+&2的最小值。 解：因为 g(x)在区间 -1,3上单调递减，所以， (X) = JC2+OX-0在 -1,3上恒成 立 ， 只 需 满 足 即 雌 可 转 化 为 W满足 + ，求 a2+A2得 g-f(3) 0 A-3a9 b-3a
43、9 最小值问题，可行域如下图所示： y+62 可 看 做 是 可 行 域 内 的 点 到 原 点 距 离 的 平 方 ， 由 图 可 知 当 fl = _2,6 = 3时， 02+*2)_=13。 3. 6导数在数列中应用的解题策略 导数的使用为解决初等函数问题提供了新的方法和思路，而数列做为一种特殊的函 _ 第二章高考中导数内容的解題策略研究 _ 数使得导数在数列问题的解决中也能发挥一定的作用。 1、 利用导数研宄数列的増减性，确定数列的最大和最小项 数列可以看做自变量为自然数的函数，因此它也具备函数的某呰性质，若数列的通 项可以表示为含的解析式，我们可以利用导数研宄数列的増减性，确定数列的
44、最大和 最小项。同理若数列的前项和表示为含的式子，则可以看做自变量为自然数的特殊 函数，通过研究函数的单调性来求得最值。 例 32、 已 知 数 列 的 通 项 为 a=72-3, 求 数 列 的 最 大 项 。 解：构造辅助函数 /W = 7x2-;c3, xe(0， + ),则 / c) = 14x-3?， 令 /(; = 0， 解得 x = 当 00， / 单 调 递 增 ； 当 时 ， 14 / 0)，贝 (I 23 n l+x Fx) = 0，即 F(JC)在 (0， + )上单调递增，故 F c) = ln(l + jc)-尸 (0) = 0。 (l + x) 1 + JC 因此，对任意的 xe(0,4 )恒有 lnCl + x)： -。 令 ； c = i， 则 ln(l+丄 ) 1 + x n n /i 十 1 ln(l ! ) = In 2+In + ln + . + ln - = In w jx k 2 3 w-1 2 3 n 故 :(1 十 +“ “ “ H )(2 2 ) 0)交于 M,#两点。 (I )当灸 =0时，分别求 C在点 _口 #处的切线方程。 解：由题意可得： M(2 ， a), #(_2 ， a)或 M(-2V， )， (2 ， a)。 由于 y= ，贝 = v， y(-2*v