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1、 20 20 学年第 学期科目:线性代数 试题7 答案及评分标准命题教师： 使用班级： 一. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)（本大题共6 小题，每小题3分，总计 18 分 ）1. (D) 2. （B) 3 (C) 4.（C） 5. (C) 6. (B)二填空 （本大题共6小题，每小题3分，总计18 分 ）1 2. 3.1 4. 5. 正号 6. B 三计算题（本大题共 4小题，每小题6分，总计24分 ）1设 ， , 求 。解:= ， 2分= 4分= 6分2计算四阶行列式 的值。解：方法有多种,按行（或列）展开或用行列式的性质, 若方法正确,给4分,结果正
2、确再给4分.原 式 1分 3分 4分 0 6分3. 设 ,求矩阵.解：方法较多，方法1 记先求出矩阵A的逆矩阵，再和矩阵相乘 可逆， 2分且 3分 5分 6分方法2 记对矩阵施行初等行变换，当A化为单位矩阵E时，B化为X 。若方法正确，给3分，结果正确，再给3分。 4. 求矩阵的特征值和特征向量。解： A的特征方程为 1分矩阵A的特征值为 2分当时，解线性方程组 (A-E)x = 0,即 方程组的基础解系为： 3分所以对应于的全部特征向量为： 4分当时，解线性方程组 (A-5E) x= 0, 即 方程组的基础解系为： 5分所以对应于的全部特征向量为： 6分四.(12分)求向量组=(1,-2,3
3、,-1,2)T,=(3,-1,5,-3,-1)T,=(5,0,7,-5,-4)T ,=(2,1,2,-2,-3) T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。解:以,为列构造一个矩阵A=(,), 对A施行初等行变换化为行最简形矩阵, 1分A=(,)= =B=(,) 7分故秩(,) = 2 . 8分此向量组的一个最大无关组为：, 9分因为初等行变换将线性方程组变成同解的线性方程组，即Ax=0与Bx=0同解，于是线性方程组与同解。由B的结构可以看出：，故， 12分五（15分）求非齐次线性方程组的通解,并求其对应的齐次线性方程组的基础解系。解:对方程组的增广矩阵
4、B施行初等行变换，将其化为行最简形， 1分B= 5分得同解方程组 8分因为R(A)=R(B)=24,故方程组有无穷多解。选，为自由未知量，令, 得原方程组的通解为：故非齐次线性方程组的通解为x=+=+, 12分其中,为任意常数. 亦可知对应的齐次方程组的基础解系为=(1,1,0,0)T ，=(0,0,1,1)T, 15分 （注：基础解系给3分）六证明题（共13分，第一题4分，第二题9分）1（4分）设n阶方阵A满足,证明：矩阵A可逆,并求出其逆矩阵.证明: 由得, 2分故A可逆, 3分且 4分2（9分）若向量组 线性无关， 而，试 证： 线 性 无 关.证明：设存在常数，使得 1分 得 由 线性无关得 ， 4分由于它的系数行列式 6分由克莱姆法则，此方程只有零解 , 8分因此 线 性 无 关。 9分方法2由已知，= 2分由于，故矩阵可逆， 4分由矩阵的秩的性质可知：= 5分又因为向量组 线性无关，所以=3. 7分则=3. 8分故 线 性 无 关. 9分第 6 页 （共 6 页）