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1、 20 20 学年第 学期科目:线性代数 试题8 答案及评分标准命题教师： 使用班级： 一. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)（本大题共6 小题，每小题3分，总计 18 分 ）1 (B) 2. (C) 3.（C） 4 (C) 5 (C) 6. (A)二. 填空（本大题共 6 小题，每小题3分，总计 18 分 ）1 2 3. 4. 5. 6. 3三. 计算题（本大题共4小题，每小题6分，总计24分 ）1设， , 求。解： 2分 4分 2 6分2. 计算五阶行列式 解:方法有多种,最简单的是按行（或列）展开, 若方法正确，给3分，结果正确再给3分 1分 3分
2、=1 6分3. 求矩阵的逆矩阵.解:因为0, 所以矩阵A可逆. 2分利用矩阵的初等行变换法求, 5分故 = 6分4求矩阵A 的特征值与特征向量,其中解：A的特征方程为 1分矩阵A的特征值为 2分当时，解线性方程组 (A-2E)x = 0,即 方程组的基础解系为： 3分所以对应于的全部特征向量为： 4分当时，解线性方程组 (A-E) x= 0, 即 方程组的基础解系为： 5分所以对应于的全部特征向量为： 6分四. (12分)试求向量组=(1,1,2,2)T,=(0,2,1,5)T,=(2,0,3,-1)T,=(1,1,0,4)T的秩和一个最大无关组,并将其他向量用此最大无关组表示.解:以,作为列
3、构造矩阵A,即A=(,) 1分用初等行变换化A为行阶梯形矩阵T,则T的非零行的行数r即为R(A),再化T为行最简形T0,则T0中任意r个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组. 2分A=(,)=T, 8分所以R(A)=3. 故R(,)=3. 对T继续施行初等行变换化为行最简形可得: T= T0,故,是此向量组的一个最大无关组。 9分且=2-+0. 12分五. （15分）问取何值时,线性方程组有唯一解,无穷多解,无解? 解:方法1 利用克拉默法则系数行列式D= 3分(1)当1且-2时, 由克拉默法则知方程组有唯一解; 7分(2)当时, 对增广矩阵B 施行初等行变换,增广矩阵B=,故
4、R(A)= R(B) =13, 所以方程组有无穷多解; 11分(3)当时, 对增广矩阵B 施行初等行变换,增广矩阵,故R(A)=2, R(B)=3,故方程组无解. 15分方法2: 对增广矩阵施行初等行变换, 3分(1)当1且-2时, R(A)=R(B)=3,所以方程组有唯一解; 7分(2)当时, R(A)= R(B) =13, 所以方程组有无穷多解; 11分(3)当时, R(A)=2, R(B)=3, 所以方程组无解. 15分六证明题。（共13分，第一题9分，第二题4分）1（9分）已知向量组: ，向量组: ，证明向量组与向量组等价. 证明： 由对矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵, 3分知=2. 5分显然在中有二阶非零子式, 如故, 又=2. , 所以 7分从而. 8分因此向量组 A与向量组 B等价. 9分2(4分)设是阶矩阵，若方阵A满足A2-2A-4E = O，证明：A+E可逆，并求矩阵证明：因为A2-2A-4E=O则有A2-2A-3E= E 1分所以(A+E) (A-3E)E 2分 故A+E可逆， 3分且A-3E 4分第 5 页 （共 5 页）