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1、20 20 学年第 学期科目: 线性代数 考试试题4 答案及评分标准命题教师： 使用班级： 一、填空题：（共15分，每题3分） 1.4 2. 15 3. R(A)n 4. 3 5.4 二、选择题：（共15分，每小题3分）1. 2. 3. B 4. A 5. B三、计算题：（共50分，第1、2各5分，3-6每题各10分）1.解 (5分)2.求矩阵的逆解：故 (5分)3.求矩阵的特征值和特征向量.解： (3分) (7分) (10分) 4.解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由 （4分）知 （1）当a=-1、0、1时, R(A)3, 此时向量组线性相关. （7分） （2） 当a-1且a0且a1时,
2、 R(A)=3, 此时向量组线性无关. （10分） 5. 求下向量组的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵 = 为一个极大无关组. 设 ,解得 ， .则有 ， （7分） （10分） 6. 解： 作方程组的增广矩阵 B = ，并对它施以初等变换： . （3分）与所给方程组同解的方程为.当x3=0时, 得所给方程组的一个解 =(-8, 13, 0, 2)T. （6分）与对应的齐次方程组同解的方程为.当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系 =(-1, 1, 1, 0)T. 所以所求方程的通解为= +=+, 其中为任意常数. (10分) 四、证明题：（20分，每题10分）1. 证: 2.证：设有一组数使+=0，即 (2分)成立.整理得 由线性无关，故 因为此方程组的系数行列式 ， （6分）故方程组仅有零解=0，因而向量组，线性无关 (10分) 第 4 页 共 4 页