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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date特殊三角形知识点及例题特殊三角形知识点及例题特殊三角形一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：二、重点回顾1等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_；等腰三角形两底角_(即在同一个三角形中，等边对_)；等腰三角形三线合一，这三线是指_、_、_，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形
2、是_图形，它的对称轴有_条。2等腰三角形的判定：有_边相等的三角形是等腰三角形；有_相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_）。3等边三角形的性质：等边三角形各条边_，各内角_，且都等于_；等边三角形是_图形，它有_条对称轴。4等边三角形的判定：有_边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是_的三角形是等边三角形；有两个角都是_的三角形是等边三角形；有一个角是_的_ 三角形是等边三角形。5直角三角形的性质：直角三角形两锐角_；直角三角形斜边上的中线等于_；直角三角形两直角边的平方和等于_（即勾股定理）。30角所对的直角边等于斜边的_6直角三角形的判定：有一个角是_的三角形是直角三角
3、形；有两个角_的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_的三角形是直角三角形。一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。7直角三角形全等的判定：斜边和_ 对应相等的两个直角三角形全等。8角平分线的性质：在角内部到角两边_在这个角的平分线上。三、重点解读1学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形
4、时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；5“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形
5、全等的判定同样有效。本章解题时用到的主要数学思想方法： 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中） 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长 等面积法四、典型例题（一）、角平分线+平行线1、在ABC中，三内角互不相等，BO平分ABC，CO平分ACB。过O点作EF, 使EFBC。（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系，并说明理由。 2、在ABC中，ABC=ACB，BO平分ABC， CO平分ACB,过O点作EF，使EFBC，且EBO=30。若BE=5，ABC的周长为_。（二）、角平分线+垂线3、如图：
6、AB=AC，1=2，AECD于F交BC于点E，求证：AB=CE。4、如图，ABC是等腰直角三角形，其中A=90，BD平分ABC交AC于点D，CEBD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE (三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线F5、如图，在ABC中，ACB=90，AE平分CAB，CDAB于D，它们交于点F，CFE是等腰三角形吗？试说明理由.（四）、等边三角形的几个基本图形：6、等边三角形ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。AFE=_。7、如图点A、C、E在同一直线上，ABC和CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、BE的中点。说明： CMN是等边三角形。8、已知等边ABC
7、和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，ABC的高为h，若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h，请你探索以下问题：当点P在ABC内（图2）和点P在ABC外（图3）这两种情况时，h1、h2、h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由 （五）、等腰直角三角形的几个基本应用9、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEM于E。(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，说明ADCCEB的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，说明DE=ADBE的理由；ABCDEMN图2ABCDMN图3(
8、3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问DE、 AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.ABCDEMN图110、如图，在直角ABC中，C=90，AC=BC，D，E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点。求证：MDE是等腰直角三角形。（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程11、观察下面表格中所给出的三个数a，b，c，其中a，b，c为正整数，且abc （1）：试找出他们的共同点，并证明你的结论,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c （2）：当a=21时，求b，c
9、的值12、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连结CQ。（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由14、矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。EGCDBA（七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模糊造成要讨论）有一个角等于50，另一个角等于_的三角形是等腰三角形。有一个直角三角形的两条直角边为3，4，则第三条边长为_ 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC
10、，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。（八）作图题如图，求作一点P，使PC=PD,并且使点P到AOB两边的距离相等，并说明你的理由【考点精练】一、基础训练1如图1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD为ABC的平分线，则BDC=_ （1） （2） （3）2如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_3如图3，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2=_度4如图4，在等腰直角ABC中，B=90，将ABC绕顶点A逆时针方向旋转60后得到ABC，则BAC等于_ （4） （5
11、） 5如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从AC上的一点B取ABD=135，BD=520米，D=45，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_米（精确到1米）6等腰ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为_7如图7，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，则CDE=_ （7） （8） （9）8如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，则DCB等于（ ） A44 B68 C46 D229如图9，
12、要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）AL1 BL2 CL3 DL410如图10，在ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD则A等于（ ）A30 B36 C45 D72 （10） （11）11同学们都玩过跷跷板的游戏如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB当跷跷板的一头A着地时，OAC=25，则当跷跷板的另一头B着地时，AOA等于（ ） A25 B50 C60 D13012、直角三角形
13、的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. += 如图所示，在ABC中，AB=6，AC=9，ADBC于点D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于 二、能力提升13如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长14（计算型说理题）已知如图ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由。15如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形三、应用与探究16如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点 （1）若AD=BE=CF，问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论 （2）若DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论-