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1、相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳:、三角形相似得判定方法(1)定义法:对应角相等,对应边成比例得两个三角形相似。(2)平行法:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边得延长线)相交,所构成得三角 形与原三角形相似。(3)判定定理 1:如果一个三角形得两个角与另一个三角形得两个角对应相等,那么这两 个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。()判定定理 2:如果一个三角形得两条边与另一个三角形得两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。(5)判定定理 3:如果一个三角形得三条边与另一个三角形得三条边对应成比例,那么这两个三
2、角形相 似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。(6)判定直角三角形相似得方法:以上各种判定均适用。如果一个直角三角形得斜边与一条直角边与另一个直角三角形得斜边与一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似、直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形相似。直角三角形中,斜边上得高就是两直角边在斜边上射影得比例中项。每一条直角边就是这条直角边在斜边上得射影与斜边得比例中项。如图,RABC 中,BC0,AD 就是斜边C 上得高,则有射影定理如下:(1)(AD)2BDC,(2)(B)2=BBC,(3)(C)=DB、注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。即(B)2+(AC)2=(BC)。
3、典型例题:例 1 如图,已知等腰ABC 中,=AC,DB于,CGAB,BG 分别交D,AC 于 E、F,求证:E2=EFEG 证明:如图,连结C,AAC,ADBC,ABCACB,D 垂直平分 BC BEC,2,AC-1A2,即3=4,又AB,G=3,G 又CEG=CEF,EC,EC2=G E,故B2=EEG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形得三线合一得性质,线段得垂直平分线得性质与相似三角形得基本图形来得到证明。而其中利用线段得垂直平分线得性质得到 BE=EC,把原来处在同一条直线上得三条线段 BE,EF,EC 转换到相似三角形得基本图形中就是证明本题得关键。例 2 已知:如图,AD
4、就是 RtABC 斜 BC 上得高,E 就是 AC 得中点,E与 AB 得延长线相交于,求证:=证法一:如图,在 RtA中,BAC=R,ABC,3C,又 E 就是 RtAD得斜边 A上得中点,ED=ACEC,=,又1,1=3,DFB=AF,DFBAFD,(1)又 AD 就是tBC 得斜边 B上得高,RtABDRA,=()由(1)()两式得=,故=证法二:过点作 AGF 交B 延长线于点,则 (1)就是 AC得中点,AC,D 就是 GC得中点,又DGC,D 就是线段 GC得垂直平分线,G=A(2)由(1)(2)两式得:=,证毕。【解题技巧点拨】本题证法中,通过连续两次证明三角形相似,得到相应得比
5、例式,然后通过中间比“”过渡,使问题得证,证法二中就是运用平行线分线段成比例定理得推论,三角形得中位线得判定,线段得垂直平分线得判定与性质使问题得证、一、如何证明三角形相似 例1、如图:点G在平行四边形ABD得边DC得延长线上,A交BC、D于点E、F,则AGD 、例 2、已知C 中,AAC,A=36,D 就是角平分线,求证:ACBCD 例:已知,如图,D 为ABC 内一点连结、AD,以为边在外作 BE=ABD,BE=A 求证:BEABC 例 4、矩形 ABCD 中,B=3B,、F,就是 BC 边得三等分点,连结 AE、F、A,问图中就是否存在非全等得相似三角形？请证明您得结论。二、如何应用相似
6、三角形证明比例式与乘积式 例 5、A中,在 AC 上截取 AD,在 CB 延长线上截取 B,使 ADE,求证:FC=BCFE 例 6:已知:如图,在AC 中,BAC=90,M 就是 BC 得中点,DMBC 于点,交 BA 得延长线于点 D。求证:(1)MA2=MDME;()例:如图BC 中,AD 为中线,CF 为任一直线,C交 A于,交 AB 于 F,求证:A:ED=2F:FB、三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行与线段相等、例 8:已知:如图 E、F 分别就是正方形 AD 得边 A与 A上得点,且、求证:AEF=FBD 例、在平行四边形 AD 内,AR、BR、DP 各为四角得平分线,求
7、证:SQA,RPB 例0、已知、C、E 与 B、F、D 分别就是得两边上得点,且ED,CFE,求证:AFCD 例 11、直角三角形 AC 中,C=0,BDE 就是正方形,AE 交 BC 于 F,G交B 于,求证:FC=G 例 12、tAB锐角 C 得平分线交 A于 E,交斜边上得高 A于 O,过引 BC 得平行线交 AB 于 F,求证:E=F 课后作业 一、填空题、已知:在AB中,就是 AB 上一点,连结 CP,当满足条件ACP=_或APC _或 C2_时,ACPABC、2、两个相似三角形周长之比为9,面积之与为 291,则面积分别就是_。3、如图,DEF就是tAC 得内接正方形,若 CF8,
8、D=,则 BE_、4、如图,直角梯形 ABCD 中,ADBC,DD,AAB,已知D4,BC=,则 AC=_。5、AB中,B1,A9,点 D 就是C 上得点,且 AD=,E 在 AB 上,ADE 与B相似,则E 得长等于_。6。如图,在正方形网格上画有梯形B,则BDC 得度数为_。7。ABC 中,B=AC,=36,BC1,D 平分C 交于 D,则 BD_,AD_,设 AB=,则关于 x得方程就是_、8。如图,已知 D 就是等边ABC 得 BC 边上一点,把BC 向下折叠,折痕为,使点 A 落在点 D 处,若 BD=23,则 A_。二、选择题 9、如图,在正ABC 中,D、E 分别在C、B 上,且
9、,AE=E,则有()A、ADBED、AEDCBD C、AEDBD D、BAB 10、如图,在A中,D 为边上一点,BCA,C=,=,则 C得长为()、1 B。C、2、1、如图,A中,就是 C 延长线上一点,G 与 BD 交于点 E,与 D交于点 F,则图中相似三角形共有()、3 对 B、4 对 C。5 对 D。对 2、P 就是 RtABC 得斜边C 上异于、得一点,过点 P 作直线截ABC,使截得得三角形与ABC 相似,满足这样条件得直线共有()、条 。条 、3 条 D、4 条 3。如图,在直角梯形 ACD 中,B7,AD=2,BC=,若在 A上取一点 P,使以 P、A、为顶点得三角形与以 P
10、、B、C 为顶点得三角形相似,这样得 P 点有()A、1 个 B、2 个 C。3 个 D。个 三、解答下列各题 14。如图,长方形 ABCD 中,AB=5,B=0,点从点出发,沿B 作匀速运动,1 分钟可以到达 B 点,点 Q 从 B 点出发,沿C 作匀速直线运动,1 分钟可到点,现在点 P 点 Q 同时分别从 A 点、B 点出发,经过多少时间,线段 P恰与线段 B垂直？5、已知:如图,正方形EF内接于 RtAC,F 在斜边 BC 上,EHAB 于 H、求证:(1)ADHE;()BEFC (答案)例 1 分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出得以外,还应结合具体得图形,利用公共角、对
11、顶角及由平行线产生得一系列相等得角。本例除公共角G 外,由 BAD 可得1=2,所以AGDGC。再1=2(对顶角),由 ABDG 可得4=G,所以EGEA。例 2 分析:证明相似三角形应先找相等得角,显然C 就是公共角,而另一组相等得角则可以通过计算来求得。借助于计算也就是一种常用得方法、证明:=36,ABC 就是等腰三角形,AC=C=7又 BD 平分ABC,则DB36 在A与BC中,C 为公共角,A=B=36ABCBCD 例3分析:由已知条件AB=CE,DC公用。所以DBAB,要证得DBE与ABC,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角得两边对应成比例。从已知条
12、件中可瞧到BED,这样既有相等得角,又有成比例得线段,问题就可以得到解决。证明:在CE 与B中,CBEABD,BEDCBABD=即:DBE与ABC中,CB=A,D公用BE+DBC=ABDDBCDEAC且DBABC 例 4 分析:本题要找出相似三角形,那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来瞧一瞧相似三角形得几种基本图形:（1）如图:称为“平行线型”得相似三角形 ABCDEAABBCCDDEE()如图:其中1=2,则ADABC 称为“相交线型”得相似三角形。ABCDE12AABBCCDDEE12412()如图:=,B=D,则ADEA,称为“旋转型”得相似三角形。观察本题得图形,如果存在相似三角形只可
13、能就是“相交线型”得相似三角形,及EAF 与ECA 解:设 A=a,则 BE=EF=C=3a,由勾股定理可求得 AE,在EAF 与ECA 中,AEF 为公共角,且所以EAFCA 例 分析:证明乘积式通常就是将乘积式变形为比例式及 DF:FEC:AC,再利用相似三角形或平行线性质进行证明:证明:过点作KAB,交 BC 于,AB,F:FE=:BE 又DBE,F:FBK:AD,而 BK:A=BC:AC 即 DF:FE=C:AC,ACBE 例 6 证明:(1)BAC=90,M 就是 BC 得中点,MA=MC,1=C,DBC,C=D90B,1=D,22,MEMDA,A2=MDME,(2)MAEMDA,评
14、注:命题 1 如图,如果=2,那么ABDCB,AB=AC。命题 2 如图,如果B2AD,那么ABDC,1=2。例 分析:图中没有现成得相似形,也不能直接得到任何比例式,于就是可以考虑作平行线构造相似形、怎样作?观察要证明得结论,紧紧扣住结论中“:ED”得特征,作 DGBA 交 CF 于,得EDEG,、与结论相比较,显然问题转化为证。证明:过 D 点作AB 交C 于 G 则AFDEG。(平行于三角形一边得直线截其它两边或两边得延长线所得三角形与原三角形相似)()为 BC 得中点,且BG 为C 得中点则 DG 为CBF 得中位线,()将()代入(1)得:例 8 分析:要证角相等,一般来说可通过全等
15、三角形、相似三角形,等边对等角等方法来实现,本题要证得两个角分别在两个三角形中,可考虑用相似三角形来证,但要证得两个角所在得三角形显然不可能相似(一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中),所以证明本题得关键就是构造相似三角形,证明:作 FGB,垂足为 G、设 AB=k 则 BE=Ak,AEDF=2k,BD ADB45,GD=900DFG=450DG=FG=G=又A=GB=00AEGF AEF=例 9 分析:要证明两线平行较多采用平行线得判定定理,但本例不具备这样得条件,故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键得一点就就是要明确目标,选择适当得比例线段。要证明 SQAB,只需证明R
16、:A=:DS、证明:在ADS 与ARB 中。DA=AB=B,CP=C=ABADSAB 但DSCBQ,=,则,SQA,同理可证,RBC 例0 分析:要证明 AC,已知条件中有平行得条件,因而有好多得比例线段可供利用,这就要进行正确得选择、其实要证明 ACD,只要证明即可,因此只要找出与这四条线段相关得比例式再稍加处理即可成功。证明:BE,BF,两式相乘可得:例 11 分析:要证明 FC=F,从图中可以瞧出它们所在得三角形显然不全等,但存在较多得平行线得条件,因而可用比例线段来证明。要证明 FC=,首先要找出与 FC、G 相关得比例线段,图中与 FC、FG 相关得比例式较多,则应选择与 FC、FG
17、 都有联系得比作为过渡,最终必须得到(“?”代表相同得线段或相等得线段),便可完成、证明:FGABE,AEAGF 则有而CDE AEAC 则有 又BE=DE(正方形得边长相等),即 GF=C。例 12 证明:C平分C,2,故 RtRtCDO,又 OFBC,又RtBDRtA,即=BF。一、B、ACB、APAB 2。48,243 3。4、6 5。或 。135 7、,1,x2x-=0 8。78 二、9。B 10、C 11、12。C 13。三、14、分钟 1、(1)(略)(2)证GFCBE 1、(1)证BFDDG与BDDAC;()证ADAE、1、5m 4m 8。证ABCAP 与证ABDAP 9、(1)略 ()由(1)得结论与证 RtDCtCDB 即得。20、()略 (2)36cm 21、先探索 AD 只能与 BC 成对应边,则=,得 BD=100,BC6,故BDBC 22。在B中,作AG=,CG 交于点 G,在F 中,作FH,H 交 DE 于点,直线 C、FH就就是所求得分割线。