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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考数学总复习系列高中数学选修 2-2 第一章 导数及其应用一、基础学问【懂得去记】1极限定义： （1）如数列 un 满意,对任意给定的正数 ,总存在正数 m,当 nm且 nN时,恒有 |un-A|fa 且 fc=m ,就 ca,b ,且 fc 为最大值,故 f c 0,综上得证；二、基础例题【必会】1极限的求法；名师归纳总结 例1 求 下 列 极 限 ： （ 1 ）lim n12lim nn； （ 2 ）lim n1anna0； （ 3 ）n2n2n2alim nn11n12n1n1n.；（ 4）n222nn n1 121；
2、 解 （1）lim n12nlim n=lim nn2n2n22 n222 n2第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 3 页,共 10 页（2）当 a1 时,lim n1annlim n111lim n1n11 .an1aa当 0a1 时,lim n1ann1lim nan1000 .alim nn a当 a=1 时,lim n1annlim n1111.a2（3）由于nnnn11n12n1nnn1.22222而lim nnnnlim n11,1lim nn11lim n111,1212nn2所以l
3、im nn11n12n1n1.222（4）lim nn n1nlim nnnnlim n1111.112n例 2 求以下极限：（1）nlim 1+x1+x21+x2 2 1+x2n|x|0 且x1 ；3cos3x+1. x2 ecossin2x .第 4 页,共 10 页2 解 （1）ycos 3x1 3x1 2y 5x23xxx5x23xxxx210 x321xx5 x23 xxx2sin2x25213.x（3）yecos2xcos2xecos2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）yx11xln1x21x2x学习必备1欢迎下载111xx2x2x
4、2（5）yx11.ex2xexln1xln12x212xx1ln2x1x.2x2x x125用导数争论函数的单调性；例 6 设 a0,求函数 fx= x -lnx+ax0,+ 的单调区间； 解 f x 1 1 x 0 , 因 为 x0,a0 , 所 以 f x 0 x 2+2a-4x+a 20 ；2 x x af x 0 x 2+2a-4x+a+1 时,对全部 x0,有 x 2+2a-4x+a 20,即 f x0,fx 在0,+ 上单调递增；（2）当 a=1时,对 x 1, 有 x 2+2a-4x+a 20,即 f x 0,所以 fx 在（0,1）内单调递增,在（1,+）内递增,又 fx 在
5、x=1 处连续, 因此 fx 在0,+ 内递增；（3）当 0a0,解得 x2-a+ 2 1 a,因此, fx 在0,2-a-2 1 a 内单调递增,在 2-a+ 2 1 a ,+ 内也单调递增,而当 2-a-2 1 a x2-a+ 2 1 a 时, x 2+2a-4x+a 22x. x=cosx+sec2x-2,当x20 ,2时,证明 设fx=sinx+tanx-2x,就fc o s1 2 c o s2c o s c12o s2（0 ,因为0cosxf0=0,即 sinx+tanx2x. 7. 利用导数争论极值；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 -
6、- - - - - - - - 例 8 设 fx=alnx+bx学习必备欢迎下载a 与 b 的值,并指出这时fx 在 x1 与 x 2处2+x 在 x 1=1 和 x 2=2 处都取得极值,试求是取得极大值仍是微小值； 解 由于 fx在0,+ 上连续,可导,又fx在 x 1=1,x 2=2 处取得极值,所以f1f2 0,又fxa+2bx+1,所以a2 b1,0解得a2,3ax4 b1,0b1.=1-y2x26所以fx 2lnx1x2x,fx21x1x1 2x. 363x33x所以当 x0,1时,f x0,所以 fx在0,1 上递减；当 x1,2 时,f x0,所以 fx 在 1 ,2 上递增；
7、当 x2,+ 时,f x0,所以 fx 在 2 ,+）上递减；综上可知fx 在 x 1=1 处取得微小值,在x 2=2 处取得极大值；例 9 设 x0, ,y 0,1,试求函数fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx的最小值； 解 第一,当 x0, ,y 0,1时,fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx=1-y2xsin 1yy x2y1sinx1x 1y 2xsin 1yyxsinx 1y22sinx,令 gx=sinx, 1xxy xxgx cosxx2tanxx2,x当x0 ,2时,由于 cosx0,tanxx,所以g x0；当x2,时,由于 cosx0,tanx0,所
8、以g x 0；又由于 gx 在0, 上连续,所以gx 在0, 上单调递减；又由于 01-yxxgx,即sin 1yyxsinx0, 1xx又由于 1y22sinx0,所以当 x 0, ,y 0,1 时, fx,y0. y x其次,当x=0 时, fx,y=0；当 x= 时, fx,y=1-ysin1-y 0. 当 y=1 时, fx,y=-sinx+sinx=0；当 y=1 时, fx,y=sinx 0. 综上,当且仅当x=0 或 y=0 或 x= 且 y=1 时, fx,y取最小值 0；三、趋近高考【必懂】名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - -
9、- - - - - - - 学习必备 欢迎下载这些高考题取自 2022-20XX 年各个热门省市,同学肯定重视,在此基础上,我会对这些高考题作以删减,以便同学在最短时间内懂得明白！名师归纳总结 1.（ 2022 全国卷理）已知直线y=x+1 与曲线 ylnxa 相切,就 的值为 第 7 页,共 10 页A.1 B. 2 C.- 1 D. - 2 答案B 解 :设切点P x 0,y 0,就y 0x 01,y 0lnx 0a, 又 y| x x0x 01a1x 0a1y 00,x01a2.故答案选 B2.（ 2022 安徽卷理）已知函数f x 在 R 上满意f x 2f2xx28x8,就曲线yf
10、x 在点 1, 1处的切线方程是 A.y2x1B. yxC.y3x2D.y2x3答案A 解析由f x 2 2x x28x8得几何f2x2 2x282x 8,即2f x f2xx24x4,f x 2 x f/ 2x ,切线方程y12x1,即2xy10选 A 3.（ 2022 江西卷文）如存在过点1,0 的直线与曲线y3 x 和yax215x9都相切,就 a 等于4 A 1或-25B1或21 4C7或-25D7或 7644644答案A 解析设过 1,0 的直线与y3 x 相切于点x 0,x 03,所以切线方程为yx33 x02xx00即y32 x x2x 03,又 1,0 在切线上,就x 00或x
11、03,2当x 00时,由y0与yax215x9相切可得a25,464当x 03时,由y27x27与yax215x9相切可得a1,所以选 A .24444.（ 2022 辽宁卷理）如1x 满意 2x+ 2x =5, 2x 满意 2x+2log2x1=5, 1x +2x A.5 2B.3 C.7 2D.4 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案 C 解析 由题意 2 x 1 2 x 15 2 x 2 2 l o g 2 1 5 所以 2 x 15 2 x , x 1 log 5 2 即 2 x 1 2log 5 2 x 1 令 2x172
12、t,代入上式得 7 2t 2log 22t222log 2t 1 52t2log 2t1与式比较得 t x2于是 2x 172x2 名师归纳总结 - - - - - - -5.（ 2022 天津卷理）设函数f x 1xlnx x0,就yf x 3A 在区间1,1,1, 内均有零点；eB 在区间 ,1,1, 1e内均无零点；C 在区间1,1内有零点,在区间1, e 内无零点；eD 在区间1,1内无零点,在区间1, e 内有零点；e解析：由题得fx11x3,令f x0得x3；令f x0得0x3；f x03x3x得x3,故知函数f x在区间0 ,3 上为减函数,在区间3,为增函数,在点x3处有微小值
13、1ln30；又f 11,fee10,f1110,故挑选 D；33e3 e6.如曲线fxax2Inx 存在垂直于 y 轴的切线,就实数a 的取值范畴是. 解析由题意该函数的定义域x0,由fx2ax1；由于存在垂直于y 轴的切线,故此时斜率为x0 ,问题转化为x0范畴内导函数fx2ax1存在零点；x解法（分别变量法） 上述也可等价于方程2ax10在 0,内有解, 明显可得a212,0xx7.2022 陕西卷理 设曲线yxn1nN*在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x ,令a nlgx ,就a 1a2a99的值为.答案-2 第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - -
14、 - - 解析：点（ 1, 1）在函数yxn学习必备欢迎下载1m1nN*的图像上, （1,1）为切点,yxn1 的导函数为yn1xny|x1n1切线是：y1n1x令y=0得切点的横坐标：x nn10恒成立,求实数na 1a2.a 99lgx x 2.x 991 2.9899lg12lg2 399 10010038（2022. 全国 1 文）设fxx1x22x5,当x 2,2时,fxm2的取值范畴【解析】：f / x 3 x 2x 2,由 f / x 0 得 3 x 2x 2 0,即 x 2 或 x 1；3由 f / x 0 得 3 x 2x 2 0 即 2x 1,所以函数单调增区间是 , 2,
15、 ,1 ；3 3函数的单调减区间是 2 1,；由 f x m 恒成立,m 大于 f x 的最大值；当 x 2, 2 时,31 当 x 2, 2 时,f x 为增函数,所以 f x max f 2 157；2 当 x 21, 时,f x 为减3 3 27 3函数,所以 f x max f 2 157；3当 x ,1 2 时,f x 为增函数,所以 f x max f 2 7；3 27由于 7 157,从而 m 727其次章 推理与证明本章只需重视综合法、分析法、反证法的特点；及数学归纳法的把握！一、基础学问【懂得去记】综合法：“ 执因导果”分析法“ 执果导因”反证法 : 倒着推【不常考】1.归纳
16、法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊一般 . 2.不完全归纳法 : 依据事物的部分 而不是全部 特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法3.完全归纳法 : 把争论对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法完全归纳法是一种在争论了事物的全部 有限种 特殊情形后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是牢靠的通常在事物包括的特殊情形数不多时,采纳完全归纳法4.数学归纳法 : 对于某些与自然数 n 有关的命题经常采纳下面的方法来证明它的正确性：先证明当 n 取第*一个值 n 时命题成立；然后假设当 n k k N, k n 时命题成立,
17、证明当 n k 1 命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 . 5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数 n ,假如当 n n 时,命题成立,再假*设当 n k k N , k n 时,命题成立 . 这时命题是否成立不是确定的 ,依据这个假设,如能推出当 n k 1 时,命题也成立,那么就可以递推出对全部不小于 n 的正整数 n 0 1,n 0 2, ,命题都成立.名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：1 证明：当 n 取第一个值0
18、n 结论正确；2 假设当 nk k* N ,k 0n 时结论正确, 证明当nk1时结论也正确由1 , 2 可知, 命题对于从n 开头的全部正整数n 都正确 . 数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不行少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 7. 1 用数学归纳法证题时,两步缺一不行；2 证题时要留意两凑：一凑归纳假设,二凑目标. 二、基础例题【必会】用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：nN时,112n1n1n1n=k 到 n=k+1 时1 33 5122 n点评：用数学归纳法证明,一是要切实懂得原理,二是严格按步骤进行,格式要规范,从肯定要用归纳假设,否就不合理；用数学归纳法证
19、明不等式例 2.证明n11n123111,nNn点评：用数学归纳法证明不等式,推导n=k+1 也成立时,证明不等式的常用方法,如比较法、分析法、综合法均要敏捷运用,在证明的过程中,经常利用不等式的传递性对式子放缩建立关系；同时在数学归纳法 证明不等式里应特殊留意从 n=k 到 n=k+1 过程中项数的变化量,简单出错；用数学归纳法证明整除问题例 3.用数学归纳法证明：3n1 7n1,nN能被 9 整除；点评：用数学归纳法证明整除问题时,第一要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩下的式 子也能被某式（或数）整除,拼凑式关键；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页