2022年高考导数专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 导数及其应用导数的运算1. 几种常见的函数导数：、c（c 为常数）； 、 x （nR）； 、sin x= ；、cos x=；、 a ； 、x e ； 、log x ；、 ln x . 2. 求导数的四就运算法就： u v uv ； uvuvu v； u uv vu vu vu v vuvy u0注：u,v必需是可导函数. v v2 23. 复合函数的求导法就：f xx f u .x 或yx.u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义：fx 0表示函数yf x 在点 x ,f x 0处切线 L 的斜率；函数yf x 在点 x ,f x 0

2、处切线 L 方程为yf x 0f x 0xx 01. 曲线在点处的切线方程为（）；A: B: C: D: 答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :此题主要考查导数的几何意义、导数的运算以及直线方程的求解；对求导得即,代入得即为切线的斜率, 切点为,所以切线方程为；故此题正确答案为B；2.变式一：第 1 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 设函数f x g x 2 x ,曲线yg x 在点 1, 1处的切线方程为yy2x1,就曲线yf x 在点 1,f1处切线的斜率为 A 4B1

3、C 2D142f x 在点 1, 1处的切线方程是4. 已知函数f x 在 R 上满意f 2f2xx28x8,就曲线A .y2x1B. yx C. 3x2D.y2x3y变式二：5. 在平面直角坐标系xoy中,点 P 在曲线C:yx310x3上,且在其次象限内,已知曲线C 在点 P 处的切线的斜率为 2,就点 P 的坐标为.第 2 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 设曲线yxn1nN*在点（ 1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ,令a nlgx ,就a 1a2La 99的值为4.为曲线

4、在点P 处的切线的倾斜角,就的取值范畴是7. 已知点 P 在曲线 y=1上,exA、0,4 C、2,3D、3 4,B、 4,24第 3 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式三：8.已知直线 y =x1 与曲线 ylnxa 相切,就 的值为 D. 2 A . 1 B. 2 C. 1 第 4 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 如存在过点 1,0 的直线与曲线y3 x 和yax2 15 4x9都相切,就

5、 a 等于D7或 7A 1或-25B1或21 4 C7或-256446441110. 如曲线yx2在点a a2处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,就 aA 、64 11. （本小题满分（II ）设曲线B、 32 C、16 D、8 13 分）设f x x ae1b a0. （ I）求f x 在 0, 上的最小值；x aeyf x 在点 2,f2的切线方程为y3x；求a b 的值 . 2第 5 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 如曲线fxax2Inx 存在垂直于 y 轴的切线,就实数a

6、的取值范畴是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数 y f x 在某个区间 D 内可导,假如 f x 0,就 y f x 在区间 D 上为增函数；假如 f x 0,就 y f x 在区间 D 上为减函数；假如 f x =0 恒成立,就 y f x 在区间 D 上为常数 . 第 6 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式fx0 的解集与函数yfx定义域的交集,就是yfx 的增区间；不等式fx 0 的解集与函数yfx定义域的交集,就是yfx的

7、减区间 .1、函数fxx3 ex的单调递增区间是 A.,2 B. 0,3 C. 1,4 D.2,2. 函数f x x315x233x6的单调减区间为.3. 已知函数,争论的单调性；答案详解 由题意,的定义域是,所以有都有；设在,二次方程的的判别式；此时,上当,即时, 对一切是增函数；当时,此时在上也是增函数；第 7 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当,即时,方程有两个不同的实根,此时在,；上单调递减,在上单调递增,在上单调递增；解析 :此题主要考查导数在争论函数中的应用；此题的难点在于参数分类的争

8、论,如何做到不重不漏；第一在定义域的情形下,对函数求导,在求极值的过程中,会涉及到二次方程的根个数问题,要针对判别式 进行分类争论,在极值为两个的情形下,争论其与定义域的关系,并依据导数与函数增减性的关系,列表求得函数增减性；4. 已知函数时,求函数；（）当时,求曲线在点处的切线的斜率； （）当的单调区间与极值；答案详解（）当时,故；所以曲线在点；处的切线的斜率为；令,解得或,由知,（）以下分两种情形争论：（1）如,就；当 变化时,的变化情形如下表：第 8 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以在,

9、 且内是增函数,在内是减函数；函数,且在处取得极大值；函数在处取得微小值；（2）如在,就；当 变化时,的变化情形如下表：在处取得所以内是增函数, 在内是减函数； 函数极大值,且；函数在处取得微小值,且；解析 :此题主要考查利用导数判定函数单调性；（）求出这种情形下,函数在处的导数,即为切线斜率；（）第一求解出极值,然后对参数进行分类争论,使用列表法,对函数和导数列表,列出 函数的单调区间和极值；三、求函数的极值与最值1、极值的判别方法：当函数fx在点x 处连续时,. . 假如在x 邻近的左侧fx 0,右侧fx 0,那么fx0是极大值； 假如在x 邻近的左侧fx 0,右侧fx 0,那么fx0是微

10、小值 . 也就是说x 是极值点的充分条件为x 点两侧导数异号,而不是f x=0. 2、最值的求法：求 f x在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：1 求 f x 在区间a, b 内的极值 极大值或微小值；2 将 y = f x 的各极值与端点处的函数值f a、f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值注：极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较1. 设函数f x x xe ,就（）A .x1为f x 的极大值点B.x1为f x 的微小值点C.x1为f x 的极大值点D.x1为f x 的微小值点第 9 页 共 34 页名师归纳总结 - -

11、- - - - -第 9 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案详解 D 正确率 : 53%, 易错项 : B 解析 :此题主要考查函数极值的运算；令导函数求得,且在上小于零, 在上大于零, 就在上单调递减,在上单调递增,为的微小值点；2. 函数f x 3 x3x21在 x处取得微小值 . 3. （本小题满分13 分,（）小问6 分,（）小问7 分 . ）设f x alnx13x1,其中 aR ,曲线yf x 在点 1, 1处的切线垂直于y 轴.x（单2x2（）求 a 的值；（）求函数f x 的极值 .4. 本小题满分13 分 某商场销售某种商品的体会说明,该商

12、品每日的销售量y（单位： 千克） 与销售价格位：元 /千克）满意关系式yxa310x62,其中 3x6,a 为常数,已知销售价格为5 元/千克时,每日可售出该商品11 千克 .（I）求 a 的值 .（II ）如该商品的成本为3 元/千克,试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 第 10 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5请你设计一个包装盒,如下列图,ABCD 是边长为 60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D

13、四个点重合与图中的点 P,正好形成一个正四棱柱外形的包装盒 . E,F 在 AB 上,是 被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AEFBxcm .包装盒（1）某广告商要求包装盒的侧面积Scm2最大,试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积Vcm3最大,试问 x 应取何值？并求出此时的高与底面边长的比值.,所以答案详解 （1）时侧面积最大；（2）时,递减,所以,当,所以；当时,递增,当时,最大；此时,包装盒的高与底面边长的比值为；解析 :此题主要考查函数和配方法求函数最值的方法；第 11 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 34 页精选学习资料 -

14、 - - - - - - - - （1）由图写出侧面积 的函数表达式, 再对表达式化简、 配方,即可求得 取最大值对应的 值；（2）由图写出容积 的函数表达式,再通过对函数求导,判定函数的单调性,从而求得 取最大值对应的 值,再求解高与底面边长的比值即可；四、判定函数的零点1. 函数 fx= 2x3x 的零点所在的一个区间是C. （0,1）；D. （1,2）A. （ 2, 1）；B. （ 1,0）；答案详解 B 正确率 : 64%, 易错项 : C 解析 :此题主要考查连续函数的性质；由于是连续函数,且在上单调递增,依据零点邻近函数值符号相反,可采纳代入排除的方法求解；A 项,故 A 项错误；

15、B 项,就零点定理知 有零点在区间 上,故 B 项正确；C 项,故 C 项错误； D 项,故 D 项错误； 综上所述：符合题意的是 B 项；故此题正确答案为 B；2. 设函数 f x 1 x ln x x 0, 就 y f 3A . 在区间 ,1,1, 1 内均有零点；B. 在区间 ,1,1, 1 内均无零点；e eC. 在区间 ,1 1 内有零点,在区间 1, e 内无零点； D. 在区间 1 ,1 内无零点,在区间 1, e 内有零点 .e e答案详解 D 正确率 : 33%, 易错项 : C解析 :此题主要考查导数的应用；定义域为,先对求导,解得在单调递减,单调递增；争论上,在其上单调,

16、故,故在上无零点；争论上,在其上单调,在上有零点；故此题正确答案为D；易错项分析：零点存在定理不熟识导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题,局限于判定在给定区间是否有零点,而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理；第 12 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 已知函数 yx33xc 的图像与x 轴恰有两个公共点,就cA . 2 或 2 ；B. 9 或 3 ；C. 1 或 1；D. 3 或 1 答案详解 A 正确率 : 53%, 易错项 : C 解析 :此题主要考查导数在函数

17、中应用；对函数 求导,得到函数的增减性和极值,作出函数图象；由图可知,当函数取极大值和微小值时,有两个横坐标与之对应；极大值为 2,微小值为 2；可知,；故此题正确答案为 A ；4. 16 分）如函数yfx 在xx0处取得极大值或微小值,就称x 为函数yfx的极值点 . 已知 a,b是,解得实数, 1 和1是函数f x x3ax2bx 的两个极值点（1）求 a 和 b 的值；（ 2）设函数g x 的导函数g f x 2,求g x 的极值点；（3）设h x f c ,其中c 2,2,求函数yh x 的零点个数答案详解 （1）由题设知,且,；（2）由（1）知,由于,所以的根为；,于是函数的极值点只

18、可能是或；的极值点为当时,当时,故是的极值点,当或时,故 不是的极值点,所以（3）由（ 1）知,其函数图象如下图所示,第 13 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 先争论（）的零点,即与的交点的个数：时,由图象得 的零点为 和 ；时,由图象得 的零点为 和 ；时,由图象得 的零点为, ,；时,由图象得 的零点分别在,三个区间内；时,由图象得 的零点分别在,三个区间内；令,现在考虑（）的零点：当 时,有两个根 和 ,而 有三个不同的根, 分别在,三个区间内,有两个不同的根 和 ,故 有 个零点；当 时

19、,有两个根 和 ,而 有三个不同的根,分别在,三个区间内,有两个不同的根 和 ,故 有 个零点；当 时,有三个不同的根, , ,满意, , ,而（, , ）有三个不同的根,故 有 个零点；第 14 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上可知,当时,函数有 个零点；当时,函数有 个零点；解析 :此题主要考查导数在争论函数中的应用；（1）对函数求导,代入极值点使该点处导数值为,得到关于的方程组,解出的值；（2）由（ 1）问所得的,求出的表达式,令其等于求极值点；验证极值点真假后列出结果；（3）先结合图

20、象分类争论（）的零点,再令,分类争论（）的零点；五、导数与图像1函数fxax m1xn在区间 0,1 上的图象如下列图,就m n 的值可能是n1A m1,n1Bm1,n2Cm2,n1Dm3,2. 如函数yf x 的导函数在区间 , a b 上是增函数,就函数yf x 在区间 , a b 上的图象可能是 第 15 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - y y y y o a b x o a b x o a b x o a b x A BCD3. 【2022 江西理数】如图,一个正五角星薄片（其对称轴与水

21、面垂直）匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S tS00,就导函数y S t的图像大致为六、导数与不等式利用导数求解（证明）不等式 主要方法是：将不等式 g x 左右两边的多项式移到一边,构造出一个新的函数 f x t x g x ,通过对 f x 求导,依据 f x 的大小和导数的性质,结合已知条件进行求解或证明 .21. 如 f x x 2 x 4ln x ,就 f x 0 的解集为第 16 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 0,B.1,02,C.2,D.1,0答案详

22、解 C 正确率 : 50%, 易错项 : B 解析 :此题主要考查导数的运算和不等式的解法；此题的易错点是简洁忽视函数的定义域；的定义域为,即,结合 解得；故此题正确答案为 C；易错项分析：此题的易错点是简洁忽视函数的定义域,忽视在对数函数中真数要大于 的隐含条件,从而在解不等式时显现负数,使函数没有意义,这是解对数不等式以及对数函数有关的问题经常见的错误；2. 函数 f（ x）的定义域为R,f（ 1） =2,对任意 xR,fx2,就 f（x） 2x4 的解集为A . （ 1,1）B. （ 1,）C. （, 1）D. （,）3. 本小题满分12 分）设函数f x ex1 求函数f x 的单调区

23、间；x2 如k0,求不等式f k1x f x 0的解集第 17 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 设函数有两个极值点、且,；（1）求 、 满意的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满意这些条件的点 和区域；（2）证明：；第 18 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案（1）,依题意知,方程有两个根,且等价于,；由此得满意的约束条件为满意这些条件的点的区域为图中阴影部分；（2）由题设知：,故,故,

24、于是,由于,而由（）知；又由（ 1）知, 所以解析 此题主要考查导数、线性规划以及方程根的综合运用；（1）此题应当依据先求出 的导函数,然后再利用二分法得到关于 三个参量的不等式,进而便可得出 的取值范畴,进而便可作出满意这些约束条件的平面区域；（2）该题主要利用已知条件,将 表示为 与其他参量的等式,并利用,便可得到的大致范畴,再将其他参量的取值范畴代入该式,便可得到欲证结论；第 19 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 此题满分 12 分 设函数fxx2aIn1x 有两个极值点x 1、x

25、2,且x 1x21.（I）求 a 的取值范畴,并争论fx的单调性；（II ）证明：fx 212In24解: （I）fx2x1ax2x212xax1,令g x 2x22xa ,其对称轴为x1. x2由题意知x 1、x2是方程g x 0的两个均大于1的不相等的实根,其充要条件为g48 a0,得 1a00a1 当x 1,x 1时,fx0,f x 在 1,x 1内为增函数；2 当xx 1,x2时,fx0,f x 在x x 2内为减函数； 当xx2,时,fx0,f x 在x2,内为增函数；（II ）由（ I）g0a0,1x 20,a2x22+2x 22fx 2x 22aln1x 2x 222x22+2

26、x ln 21x 2设h x2 x22 x2 x ln1xx1,2就hx2x22x1 ln1x2 x22x1 ln1x 当x1,0时,h x0,h x 在1,0单调递增；22 当x0,时,hx0,h x 在 0, 单调递减 .当x1,0时 ,h xh11 2ln 2,故fx 2h x 212In222446. （本小题满分12 分）已知函数f x=1x2 axa1ln x ,a1.2（1）争论函数f x 的单调性；（ 2）证明：如a5,就对任意x1 ,x 20, ,x 1x 2,有f x 1f x 2x 1x2解析：1f x 的定义域为 0, . f f xaax1x2axa1x1x1a2 分

27、xx（i）如a11,即a2,就 ff x12,故f x 在 0, 单调增加 .xii 如a11,而a1,故 1a2,就当xa1,1时,f 0；当x0,a1及x1,时,f 0故f x 在 a1,1单调削减,在0,a1,1,单调增加 .第 20 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - iii 如a1 1,即a2,同理可得f x 在 1, a1单调削减,在0,1,a1,单调增加 .1,当0x 1x 22 考虑函数g x f x x1x2axa1lnxx2就g x xa1ax12xa gx1a11a112由于

28、1a5,故g x 0,即 gx在4, 单调增加,从而当x 1x 20时有g x 1g x 20,即f x 1f x 2x 1x 20,故fx 1fx 2x 1x 2时,有f x 1f x 2f x2f x 11 12 分x 1x2x 2x 14 .的解析式及7. （本小题满分12 分）已知函数f x x33x2axb ex（1）如ab3,求f x 的单调区间；（2）如f x 在 ,2, 单调增加,在 ,2, 单调削减,证明6.（1）f x 在, 3,0,3单调增加,在（3 0,）,（ ,）单调减 .2f x33 x2axb ex3x26xa exex 3 xa6xba.由条件得：f20,即3

29、22a6ba0,故b4a,从而f ex 3 xa6x42 .由于ff0,3 xa6x42ax2xxx2x2x.将右边绽开,与左边比较系数得,2,a2.故2 412又 220,即240.由此可得a6.于是6.8. （本小题满分 100 分）已知函数满意；（）求单调区间；（）如,求的最大值；答案详解 （）,令得：；,得：,第 21 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得：,在上单调递增,单调递减区间为；,的解析式为,且单调递增区间为（）时,得；冲突；当在上单调递增,时,与当时,得：当时,；令,；就,时,

30、；,当当时,的最大值为；解析 :此题主要考查函数的求导和函数的单调性,利用函数单调性求极值；（）先对函数求导得；当 时,单调递增,求得的 的取值范畴即为单调增区间；当 时,单调递减,求得的 的取值范畴即为单调减区间；（）构造函数,求导得；争论在不同 取值的情形下函数的单调性,通过求得函数 的极值,求得关于 表达式的取值范畴,再构造函数,求导取极值,得出 的最大值；9 设 为常数 ,曲线 与直线 在点 相切；（1）求 的值；（ 2）证明：当 时,；答案详解 （1）由 的图象过 点,代入得；由 在 处的切线斜率为,又,得；（2）由均值不等式,当时,故记,就第 22 页 共 34 页名师归纳总结 -

31、 - - - - - -第 22 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令,就当时,；因此在内是减函数,又由；,得,所以,因此在内是减函数,又由,得,于是,当时,解析 :此题主要考查导数的应用及不等式的证明；（1）由与直线在点相切得过点,且,解方程即可求出, ；（2）令,留意到,可考虑证明单调递减；对求导数,通过判定的正负争论的单调性；解读其次问欲证的不等式为：）且,然而对此题来说可能比较困难,函数式掺杂了对数和根式,求导运算会比较麻烦,于是我们想到放缩；那么如何放缩呢？对数求导显然比根式求导后的式子简洁,于是我们考虑放缩根式,且放缩到求导后形式简洁的式子,一次函数

32、是个抱负的函数,这时,想到切线正好是一次的,且不会放缩的过大,于是我们取根式在 处的切线方程（切线方程是个有力的放缩武器）,接下来的证明就非常自然了；假如不用放缩法,也可以化简该不等式,用换元法；我们取,就,不等式化为,即,求导得,注意到 时该式子为零,故有 这个因式,通分后对分子因式分解得,有,可得导数小于零,从而不等式获证；第 23 页 共 34 页名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 34 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10. （此题满分 100 分）已知函数（ 为常数,是自然对数的底数）,曲线在点处的切线与轴平行；（）求的值；（）求的单调区间；处（）,其中为的导函数,证明：对任意,答案详解 （） 由,得,由于曲线在的切线与轴平行,所以,因此；（）由（）得,