2022年高考复习之立体几何.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高考复习之立体几何（一）【主干内容】点、直点平面的 基本性三个公理、三个推论质、平行直公理 4 及等角定理直空间两条直线异面直线的定义线异面直线线、相交直线异面直线的判定平面空间直直线在平面内概念、判定与性质的位垂直概念、判定与性质直线与平面平行线置直线与平面相交直线在平面的射影与平面关斜交及三垂线定理系两个平面平行两个平面平行的定义线、平 面、空 间空间两个平两个平面平行的判定与性质面两个平面相两个平面垂直的定义交两个平面垂直的判定与性质几 何 体空间的角、距离异面直线所成的角、 距离直线与平面所成的角、距离 正多面体空

2、构成几何体的基本元素两个平面所成的角、距离平行投影与间直线、平面间平行与几垂直的直观熟悉中心投影何体柱、锥、台、柱、锥、台、球的表面积和体积球 的 结 构 特征 直观图和三视图的画法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载基础学问1、 柱、锥、台、球的结构特点（1）棱柱：定义 ：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体；分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；表示 ：用各顶点字母, 如五棱柱ABCDEABCDE或

3、用对角线的端点字母,如五棱柱AD几何特点 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载何体分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母,如五棱锥PABCDE几何特点 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像,其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平

4、方；（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母,如五棱台PABCDE侧棱交于原棱锥的顶点几何特点 ：上下底面是相像的平行多边形侧面是梯形（4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转几何体, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何特点 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面绽开图是一个矩形；（5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴何体, 旋转一周所成的曲面所围成的几几何特点 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面绽开图是一个扇形；（6）圆台：

5、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特点： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面绽开图是一个弓形；（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特点： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径；2、空间几何体的三视图名师归纳总结 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面对后面正投影）；侧视图（从左向右） 、第 3 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度；俯视

6、图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度；3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原先与 x 轴平行的线段仍旧与x 平行且长度不变；原先与 y 轴平行的线段仍旧与4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和；y 平行,长度为原先的一半；（2）特别几何体表面积公式（c2c 为底面周长, h 为高, h 为斜高, l 为母线）lS直棱柱侧面积chS 圆柱侧2rhS正棱锥侧面积1 ch 2S圆锥侧面积rlS正棱台侧面积1c 1hS 圆台侧面积rR2S 圆柱表2rrlS圆锥表rr

7、lS圆台表r2rlRlR2（3）柱体、锥体、台体的体积公式名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - V 柱Sh,优秀学习资料欢迎下载,V 锥1Sh,V 圆柱Sh2 r h3V 圆锥1r2h1r2rR2 R h23V 台1 3S S S S hV 圆台1S S SS h33（4）球体的表面积和体积公式：V 球=4R3；S 球面=4R35、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念： A. 描述性说明； B. 平面是无限舒展的； 平面的表示：通常用希腊字母 、 、 表示,如平面 （通常写在一个锐角内） ；也可以用两个相

8、对顶点的字母来表示,如平面 BC； 点与平面的关系：点 A在平面 内,记作 A；点 A 不在平面 内,记作 A点与直线的关系：点 A的直线 l 上,记作： Al ；点 A 在直线 l 外,记作 A l ；直线与平面的关系：直线 l 在平面 内,记作 l ；直线 l 不在平面 内,记作 l ；（2）公理 1：假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是全部的点都在这个平面内；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（即直线在平面内,或者平面经过直线）应用： 检验桌面是否平；判定直线是否在平面内A L

9、用符号语言表示公理1：AL BL = L AB（3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面；推论： 始终线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面；公理 2 及其推论作用： 它是空间内确定平面的依据 符号表示为：它是证明平面重合的依据A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ,使 A 、B 、C ；（4）公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点A C B , 那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号： 平面 和 相交,交线是a,记作 a；P L符号语言：PABABl Pl公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法；它说明两个平面的交线与两个平面公共

10、点之间的关系：交线必过公共点；它可以判定点在直线上,即证如干个点共线的重要依据；（5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载符号表示为： 设 a、b、c 是三条直线a b c b =a c强调： 公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用；公理 4 作用： 判定空间两条直线平行的依据；（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行,又不相交； 异面直线判定： 过平面外一点与平面

11、内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线, 经过空间任意一点 O,分别引直线 a a,b b,就把直线 a和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角；两条异面 直线所成角的范畴是（0 , 90 ,如两条异面直线所成的角是直角,我们就说这 两条异 面直线相互垂直；说明 ：（1）判定空间直线是异面直线方法：依据异面直线的定义；异面直线的判定定 理（2）在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关；求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特别的位置,顶点选在特别的位置上；

12、B、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角（7）等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补；（8）空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内有很多个公共点名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三种位置关系的符号表示：a优秀学习资料欢迎下载 a A a（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点； 相交有一条公共直线； b 6、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 就该直线与此平面平行；简记为：线线平行线面平行

13、符号表示：a b = a a b 线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；线面平行 线线平行符号表示：a a =a b = b 作用： 利用该定理可解决直线间的平行问题；（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行名师归纳总结 （线面平行面面平行）,第 8 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载符号表示：a b ab = P = a b （2）假如在两个平面内,各有两组相

14、交直线对应平行,那么这两个平面平行；（线线平行面面平行）,（3）垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理（1）假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行；平行）（2）假如两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行；行）符号表示： = a =a b = b 作用： 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义（面面平行线面（面面平行线线平两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线相互垂直；线面垂直：假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面名师归纳总结 - - -

15、 - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载垂直； L p 平面和平面垂直：假如两个平面相交,所成的二面角（从一条直线动身的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角）,就说这两个平面垂直；（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面；性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行；面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直；性质定理：假如两个平面相互垂直,那么在

16、一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面；8、空间角问题（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为 0 ；两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角；名师归纳总结 两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b 平行的直线第 10 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a ,b,形成两条相交直线,优秀学习资料欢迎下载这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角；（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为 0 ； 平面的垂线与平面所成的角：规定为

17、 90 ；平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角；求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“ 一作,二证,三运算”；在“ 作角” 时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,留意挖掘题设中两个主要信息：（ 1）斜线上一点到面的垂线；（ 2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线；（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个

18、射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角；直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角；面内分别作 垂直于棱的两条两相交平面假如所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,假如两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上挑选有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载为二面角的平面角9、空间直角坐标系（1）定义 ：如图,OBCD D A B

19、 C 是单位正方体 . 以 A 为原点, , , ,分别以 OD,O A ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 ,x轴.y 轴.z 轴 ；这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1）O叫做坐标原点 2 ）x 轴, y 轴,z 轴叫做坐标轴 . 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面；（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置；大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指指向就为 z 轴正向,这样也可以打算三轴间的相位置；（3）任意点坐标表示：空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 , , x y z 来表示,有序实数组 , , 叫做点 M在此空间直角坐标系中的

20、坐标,记作 M x y z （ x 叫做点 M的横坐标,y 叫做点 M的纵坐标, z 叫做点 M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：dx2x12y 2y 12z2z 12题型分类名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载题型一：点、直线、平面的位置关系例 1（2022 四川） l 1,l2,l 3 是空间三条不同的直线,就以下命题正确选项 Al 1l 2,l2l3. l1 l 3 Bl 1l 2,l2 l3. l1l 3 Cl 1 l 2 l3. l 1, l2,l 3共面 Dl 1,l 2,l3

21、 共点 . l 1,l2,l3 共面解： B. 对于 A,直线 l 1 与 l 3可能异面；对于C,直线 l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D,直线 l 1、l 2、l 3 相交于同一个点时不肯定共面. 所以选 B. 例 2（2022 宁波二模 ）已知 a, 表示两个相互垂直的平面,就 ab 的一个充分条件是 Aa ,b Ba ,b Ca,b Da,b解：例 3（2022 浙江 ）如直线 l 不平行于平面a ,且 la ,就a,b 表示一对异面直线,A a 内存在直线与异面l 平行B a 内不存在与 l 平行的直线C a 内存在唯独的直线与D a 内的直线与 l

22、 都相交解： B例 4（2022 杭二模 ）设a b c 是三条不同的直线,是两个不同的平面,就ab 的一个充分条件为（） B ,abAac bcCa,b/Da,b解： C 题型二：空间几何体例 1（2022 浙江卷 ）如某几何体的三视图如图 是 11 所示,就这个几何体的直观图可以图 11 解： B. 由正视图可排除 A,C；由侧视图可判定该该几何体的直观图是 B.例 2（2022 浙江）如某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,就此几何体的体积是名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载BFD 1

23、E 在A3523 cm3B3203 cm3 224Ccm 33D1603 cm3例 3如图, E、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面 BCC 1B1 的中心,就四边形该正方体的面上的射影可能是图的（要求：把可能的图的序号都填上） . 例 4 2022 北京 某四棱锥的三视图如下列图,该四棱锥的表面积是A32 B 16162 C 48 D 16322 解： B. 由题意可知,该四棱锥是一个底面边长为4,高为2 的正四棱锥,所以其表面积为 4 441 2 4 2216162,应选 B. 例 52022 安徽 一个空间几何体的三视图如图 11 所示,就该几何体的表面积为图 11 A 48 B3

24、28 17 C488 17 D80 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解： C. 由三视图可知此题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱 如下列图 ,所 以该直四棱柱的表面积为S21 2 2 4 44 42 42116 448 817.例 62022 杭二模 如图,已知等腰 ABC 的底边 BC一点, 且 BD 1 . 把 ADC 沿 AD 折起,使得平面 CADC ABD 求证： AC平面 ABD； 求 三 棱 锥 C-ABD 的 体 积 ； 求 AC 与 平 面 BCD 所 成 的

25、角 的 正 弦 值 . 解 ： 由 已 知 得 ,B C 30,3,顶角为 120 , D 是 BC 边上平面 ABD,连接 BC形成三棱锥ABAC332 13 cos 30=1, （第 20 题）在 ABD 中 , 由 BD=1 , 得 AD=1在 ACD 中 , AC2 + AD2=4 = CD2, AC AD. 平 面 ADC 平 面 ABD, AC 平 面 ABD. AC 平 面 ABD, VC- ABD=1 3SABDAC =1 313 1 sin30 31. AE=3. 24 由BD1,得 CD = 2 ,在平面内作等腰ABC 底边上的高线AE ,点 E 为垂足,就2在 三 棱 锥

26、 C-ABD 中 , 连 接 CE, 作 AH CE 于 点 H, BD AC, BD AE, BD 平 面 ACE, AH平 面 ACE, BD AH, AH 平 面 BCD, ACH 是 直 线 AC 与 平 面 BCD 所 成 的 角 . 在 Rt ACE 中 , 得 CE 15,AH AC AE = 15,（第 20 题）2 CE 5sin ACH 5,即直线 AC与平面 BCE所成的角的正弦值为 55 5例 7 2022 浙江 如图,在三棱锥 P ABC 中, AB AC , D 为 BC 的中点, PO 平面 ABC ,垂足 O 落在线段 AD 上. 名师归纳总结 （）证明：AP

27、BC ；4,AO3,OD2.求 二 面第 15 页,共 17 页（）已知BC8,PO角 BAPC 的大小 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载练习： 1. 2022 湖南 设右图是某几何体的三视图,就该几何体的体积为 9 9A9 42 B 36 18 C. 2 12 D. 2 18 【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为 3 的球,下面是一个长、宽都为 3 高为 2 的长方体所构成的几何体,就其体积为：VV1V24 3 32 33 3 2 9 2 18,应选 D. 2. 2022 全国 在一个几何体的三视图中,正视

28、图和俯视图如图12 所示,就相应的侧视图可以为 图 12 图 13 【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的,如图,故侧视图选 D. 3. 2022 天津 一个几何体的三视图如图 14 所示 单位：m,就该几何体的体积为 _ m 3. 图 14 【解析】依据三视图仍原成直观图,可以看出其是由两个外形一样的,底面长和宽都为 1,高为 2 的长方体叠加而成,故其体积 V2 111124. 4.2022 陕西 如图 18,在 ABC中, ABC45 , BAC90 , AD是 BC上的高,沿名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习

29、资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载AD把 ABD折起,使 BDC90 .1 证明：平面 ADB平面 BDC；2 如 BD1,求三棱锥 DABC的表面积图 18 【解答】 1 折起前 AD是 BC边上的高,当 ABD折起后, AD DC,ADDB. 又 DBDC D. AD平面 BDC . 平面 ABD,平面 ABD平面 BDC. 2 由1 知, DADB,DBDC,DC DA,DBDADC1. 名师归纳总结 AB BCCA2. 第 17 页,共 17 页从而 S DABS DBCS DCA1 2 1 11 2. S ABC1 222 sin60 3 2 . 表面积 S1 2 33 233 . 2- - - - - - -