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1、优秀学习资料欢迎下载高考复习之立体几何（一）【主干内容】点、直线、平面、空间几何体三个公理、三个推论平面的基本性质平行直线异面直线相交直线公理 4 及等角定理异面直线的定义异面直线的判定直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念、判定与性质概念、判定与性质垂直斜交直线在平面的射影及三垂线定理空间直线与平面空间两个平面柱、锥、台、球 的 结 构 特征两个平面平行两个平面相交两个平面平行的定义两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质两个平面垂直的定义构成几何体的基本元素直线、平面间平行与垂直的直观认识直观图和三视图的画法柱、锥、台、球的表面积和体积平行投影与中心投影正多面体空
2、间的角、距离异面直线所成的角、 距离直线与平面所成的角、距离两个平面所成的角、距离点、直线、平面的位置关系空间几何体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载基础知识1、 柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 ：用各顶点字母， 如五棱柱EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征 ：两底面是对应边平行的全等
3、多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载何体分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之
4、间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母，如五棱台EDCBAP几何特征 ：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：
5、上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右） 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体
6、上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h为斜高， l 为母线）chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式精选学习资料 - - - - -
7、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载VSh柱，2VShr h圆柱，13VSh锥，hrV231圆锥1()3VSSSS h台2211()()33VSSSS hrrRR h圆台（4）球体的表面积和体积公式：34=3VR球；24SR=球面5、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念： A. 描述性说明； B. 平面是无限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母、 表示，如平面 （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。 点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点A的
8、直线l上，记作：Al；点A在直线l外，记作A l；直线与平面的关系：直线l在平面 内，记作l；直线l不在平面 内，记作l。（2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用： 检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：AL BL = L AB（3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论： 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线
9、确定一平面。公理 2 及其推论作用： 它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使 A、B、C。（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号： 平面 和相交，交线是a，记作 a。符号语言：,PABABl Pl公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行LA C B A P L精选学习资料 - - - - - - - - - 名
10、师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载符号表示为：设 a、b、c 是三条直线ab cb 强调： 公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用： 判断空间两条直线平行的依据。（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线判定： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线a、b是异面直线， 经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，则把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面
11、直线所成角的范围是（0， 90 ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明 ： （1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点=a c精选学习资料 - - - - -
12、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载三种位置关系的符号表示：a aA a（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点； 相交有一条公共直线。b 6、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行。简记为：线线平行线面平行符号表示：a b = a ab 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行符号表示：aa =a b = b 作用： 利用该定理可解决直线间的平行问题
13、。（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载符号表示：a b ab = P =ab（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交
14、，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）符号表示：= a =ab = b 作用： 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载垂直。 L p 平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说
15、这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。8、空间角问题（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为0 。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两
16、条异面直线a，b平行的直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载ba ,，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为0。 平面的垂线与平面所成的角：规定为90。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在
17、解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（ 2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这
18、个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载为二面角的平面角9、空间直角坐标系（1）定义 ：如图，,OBCDD A B C是单位正方体. 以 A为原点，分别以 OD,O,A,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 1）O叫做坐标原点 2 ）x 轴， y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法
19、：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组( , , )x y z来表示，有序实数组( , , )x y z叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标，记作( , , )M x y z（ x 叫做点 M的横坐标，y 叫做点 M的纵坐标， z 叫做点 M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(zzyyxxd题型分类精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
20、12 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载题型一：点、直线、平面的位置关系例 1 （2011 四川） l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是Al1l2，l2l3? l1l3Bl1l2，l2l3? l1l3Cl1l2l3? l1， l2，l3共面Dl1，l2，l3共点 ? l1，l2，l3共面解： B. 对于 A，直线 l1与 l3可能异面；对于C，直线 l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D，直线 l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面. 所以选 B. 例 2 （2011 宁波二模 ）已知 a，表示两个互相垂直的平面，a，b 表示一对异面直线，则
21、ab 的一个充分条件是() Aa ，bBa ，bCa ，bDa ，b解：例 3 （2011 浙江 ）若直线l不平行于平面a，且la，则Aa内存在直线与异面Ba内不存在与l平行的直线Ca内存在唯一的直线与l平行Da内的直线与l都相交解： B例 4 （2011杭二模 ）设, ,a b c是三条不同的直线，,是两个不同的平面，则ab的一个充分条件为（）A,ac bc B,abC,/abD,ab解： C 题型二：空间几何体例 1 （2011 浙江卷 ）若某几何体的三视图如图11 所示，则这个几何体的直观图可以是() 图 11 解： B. 由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B.例
22、2 （2010 浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载A33523cmB33203cmC32243cmD31603cm例 3如图， E、F 分别为正方体的面ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是图的（要求：把可能的图的序号都填上） . 例 4 (2011 北京 ) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A32 B 16162 C 48 D 16322 解： B. 由题意可知，该四
23、棱锥是一个底面边长为4，高为2 的正四棱锥，所以其表面积为 44412 42216162，故选 B. 例5(2011 安徽 ) 一个空间几何体的三视图如图11 所示，则该几何体的表面积为( ) 图 11 A48 B328 17 C488 17 D80 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载解： C. 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示 )，所以该直四棱柱的表面积为S212 (2 4)444242116 448 817.例 6(2011 杭二模 ) 如图，已知等腰A
24、BC的底边3BC，顶角为120，D是BC边上一点， 且1BD. 把ADC沿AD折起，使得平面CAD平面ABD，连接 BC形成三棱锥CABD( ) 求证： AC 平面ABD ；求 三 棱 锥 C-ABD 的 体 积 ；( ) 求 AC 与 平 面 BCD 所 成 的 角 的 正 弦 值 . 解 ： ( ) 由 已 知 得 ，30BC，3ABAC在 ABD 中 ， 由 BD=1 ， 得 AD=132 13 cos 30=1, 在 ACD 中 ， AC2 + AD2=4 = CD2, AC AD. 平 面 ADC 平 面 ABD， AC 平 面 ABD. AC 平 面 ABD， VC- ABD=13
25、ABDSAC=111(3 1 sin30 )3324. ( ) 由1BD，得 CD = 2 ，在平面内作等腰ABC 底边上的高线AE，点 E 为垂足，则AE=32. 在 三 棱 锥 C-ABD 中 ， 连 接 CE， 作 AH CE 于 点 H， BD AC， BD AE， BD 平 面 ACE， AH平 面 ACE， BD AH， AH 平 面 BCD， ACH 是 直 线 AC 与 平 面 BCD 所 成 的 角 . 在Rt ACE中 ， 得152CE，AC AEAHCE=155，5sin5ACH，即直线 AC与平面 BCE所成的角的正弦值为55例 7 (2011 浙江 ) 如图，在三棱锥
26、PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上. （）证明：APBC；（）已知8BC，4PO，3AO，2OD.求 二 面角BAPC的大小 . （第 20 题）（第 20 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载练习： 1. (2011 湖南 ) 设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( ) A9 42 B 3618 C.92 12 D.9218 【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3 高为 2 的长方体所构成的几何体
27、，则其体积为：VV1V2433233329218，故选 D. 2. (2011全国 ) 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图12 所示，则相应的侧视图可以为( ) 图 12 图 13 【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D. 3. (2011 天津 )一个几何体的三视图如图14所示 ( 单位： m)， 则该几何体的体积为_ m3. 图 14 【解析】根据三视图还原成直观图，可以看出其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为 2 的长方体叠加而成，故其体积V2 1 11 1 24. 4.(2011陕西 ) 如图 18，在 ABC中
28、， ABC 45， BAC 90， AD是 BC上的高，沿精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载AD把 ABD折起，使 BDC 90.(1) 证明：平面ADB 平面 BDC ；(2) 若 BD 1，求三棱锥DABC的表面积图 18 【解答】 (1) 折起前AD是 BC边上的高，当 ABD折起后， AD DC ，AD DB. 又 DB DC D. AD 平面 BDC . 平面 ABD ，平面 ABD 平面 BDC. (2) 由(1) 知， DA DB，DB DC ，DC DA ，DB DA DC 1. AB BC CA 2. 从而 SDABSDBCSDCA121112. SABC1222sin60 32. 表面积S12332332. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页