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1、高中数学函数知识点梳理1.函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数)(xgfy是增函数 . 2.奇偶函
2、数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. 注：对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 注：若)()(axfxf, 则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称 ; 若)()(axfxf, 则函数)(xfy为周期为a2的周期函
3、数 . 3.多项式函数110( )nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零 . 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零 . 23. 函数( )yf x的图象的对称性(1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxfx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - (
4、2) 函数( )yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 4.两个函数图象的对称性(1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . (3) 函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . 25. 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象 . 5.互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1.
5、27. 若 函 数)(bkxfy存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为)(11bxfky, 并 不 是)(1bkxfy, 而 函 数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数 . 6.几个常见的函数方程(1) 正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)f xyf xfyfc. (2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x f yfa. (3) 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xf yf aaa. (4) 幂函数( )f xx,()( ) ( ),(1)f xyf x f yf. (5) 余弦函数(
6、)cosf xx, 正弦函数( )sing xx，()( )( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，0( )(0)1,lim1xg xfx. 7.几个函数方程的周期(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 或21( )( )
7、(),( )0,1 )2f xfxf xaf x, 则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1( ()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 8.分数指数幂(1)1
8、mnnmaa（0,am nN，且1n）. (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 9.根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 10.有理指数幂的运算性质(1)(0, ,)rsrsaaaar sQ. (2)()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.34. 对数的换底公式logloglogmam
9、NNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 11.对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; (2)logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 注：设函数)0)(log)(2acbxaxxfm, 记a
10、cb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要单独检验 . 12.对数换底不等式及其推论若0a,0b,0 x,1xa, 则函数log ()axybx(1) 当ab时, 在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数 . (2)(2)当ab时, 在1(0,)a和1(,)a上log ()axybx为减函数 . 推论 :设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -