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1、第二章函数一函数1、函数的概念：1定义： 设 A、B是非空 的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个 数x，在集合B中都有 唯一确定 的数)(xf和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合 B的一个函数 记作：y=)(xf，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 )(xf| xA 叫做函数的值域 2函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3相同函数的判断方法：表达式相同 与表示自变量和函数值的字母无关；定义域一致 ( 两点必须同时具备) 2、定义域：1定义域定义：函数)(xf的自变量x的取值范围。2确定函数定
2、义域的原则：使这个函数 有意义的实数的全体构成的集合。3确定函数定义域的常见方法：假设)(xf是整式，则定义域为全体实数假设)(xf是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数例 :求函数xy111的定义域。假设)(xf是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1 求函数2143432xxxy的定义域。例2 求函数02112xxy的定义域。对数函数的真数必须大于零指数、对数式的底必须大于零且不等于1 假设)(xf为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定指数为零底不可以等于零，如)0(10 xx实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 4求抽象函数复合函数的
3、定义域已知函数)(xf的定义域为 0,1 求)(2xf的定义域已知函数) 12( xf的定义域为 0,1 求)31 (xf的定义域3、值域 : 1值域的定义：与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2确定值域的原则：先求定义域3常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数正余弦、正切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页4确定函数值域的常见方法：直接法 ：从自变量x的范围出发，推出( )yf x的取值范围。例：求函数1yx的值域。解：0 x，11x，函数1yx的值域
4、为1,)。配方法： 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。形如2( )( )( )F xafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。例：求函数242yxx 1,1x的值域。解：2242(2)6yxxx， 1,1x，2 3, 1x，21(2)9x23(2)65x，35y函数242yxx 1,1x的值域为 3,5。别离常数法 ：分子、分母是一次函数得有理函数，可用别离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例：求函数125xyx的值域。解：177(25)112222525225xxyxxx，72025x，12y，函数125xyx的值域为1|2y y。换元法 ：运用代数代换， 奖所给函数化成值
5、域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxda、b、c、d均为常数， 且0a的函数常用此法求解。例：求函数212yxx的值域。解：令12tx0t ，则212tx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页22151()24yttt当12t，即38x时，max54y，无最小值。函数212yxx的值域为5(,4。判别式法： 把函数转化成关于x的二次方程( , )0F x y； 通过方程有实数根， 判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xcya xb xc1a、2a不同时为零 的函数的值
6、域，常用此方法求解。例：求函数2231xxyxx的值域。解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；当1y时，xR，2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，1113y函数2231xxyxx的值域为11|13yy值域为| 11yy练习：求函数22221xxyxx的值域4、函数的表示方法1解析法、列表法、图象法2求函数解析式的常见方法：换元法例：已知34) 13(xxf, 求)(xf的解析式 . 例：假设xxxf1)1(, 求)(xf. 例：已知(1)23,fxx求)(xf. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
7、- - - - - -第 3 页，共 11 页解方程组法例：设函数)(xf满足)(xf+2 f x1= xx0 ，求)(xf函数解析式 . 一变：假设( )f x是定义在R 上的函数，(0)1f，并且对于任意实数, x y，总有2()( )(21),f xf xyxyy求( )f x。 令 x=0 ，y=2x 待定系数法例：已知)(xf是一次函数，并且34)(xxff求)(xf解：设bkxxf)(，则34)()()(2xbkbxkbbkxkbxkfxff则342bkbk，解得12bk或32bk故所求一次函数解析式12)(xxf或32)(xxf配变量法例：已知221)1(xxxxf, 求)(xf
8、的解析式 . 例：假设xxxf2)1(, 求)(xf. 特殊值代入法取特殊值法例：假设)()()(yfxfyxf,且2) 1(f，求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(ffffffff. 例：设)(xf是R上的函数，且满足1)0(f并且对任意实数yx,有) 12()()(yxyxfyxf求)(xf的表达式解：设yx则1)12()()0(xxxxff即1)(2xxxf或设0 x则) 1(1)1()0()(yyyyfyf1)1(1)(2xxxxxf利用给定的特性奇偶性周期性求解析式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
9、-第 4 页，共 11 页例 ： 对x R, )(xf满 足) 1()(xfxf, 且 当x 1,0时 , xxxf2)(2求当x9,10时)(xf的表达式 . 解析：)1()(xfxf，则)() 1(xfxf则)2()(),1()1(xfxfxfxf，T=2 5、分段函数(1) 定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。(2) 注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；分段函数是一个函数，而不是几个函数；写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。6、复合函数如果)(),(),(),(AxxguMuufy则),(),()(A
10、xxFxgfy称为f、g的复合函数。7、函数图象问题1熟悉各种基本初等函数的图象如：0y，)( 为常数ccy，xy，xy1，xy1，2xy2图象变换平移：个单位长度向右平移)0()(aaxfy)(axfy个单位长度向上平移)0()(bbxfybxfy)(对称：轴对称关于 xxfy)()(-xfy轴对称关于y)(xfy)( xfy关于原点对称)(xfy)(-xfy翻折：)(,)(xfyxfy注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法*课堂习题 * 1. 求以下函数的定义域：221533xxyx211()1xyx2. 设函数fx( )的定义域为01，则函数f x()2的定义域为
11、 _ _ 3. 假设函数(1)f x的定义域为23，则函数(21)fx的定义域是4. 函数22(1)( )( 12)2 (2)xxf xxxx x，假设( )3f x，则 x = 5. 求以下函数的值域：223yxx()xR223yxx1,2x(3)12yxx (4)245yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页二函数的性质1. 函数的单调性 ( 局部性质 ) 1增减函数和单调区间设函数)(xfy的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量21, xx，当21xx时，都有)()(21xfxf
12、，那么就说)(xf在区间 D上是增函数. 区间 D称为)(xfy的单调增区间 . 如 果 对 于 区 间D 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值21,xx当21xx时 ， 都 有)()(21xfxf， 那么就说)(xf在这个区间上是减函数.区间 D称为)(xfy的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质；2图象的特点如果函数)(xfy在某个区间是增函数或减函数，那么说函数)(xfy在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3函数单调区间与单调性的判定方法重点(A) 定义法：1任取21,xxD，且21xx；
13、2作差)()(21xfxf；3变形通常是因式分解和配方；4定号即判断差)()(21xfxf的正负；5下结论指出函数)(xf在给定的区间D上的单调性(B) 图象法 ( 从图象上看升降) (C) 复合函数的单调性复合函数)(xgf的单调性与构成它的函数)(xgu，)(ufy的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 例：是否存在实数a使函数)(log)(2xaxxfya在闭区间 4,2上是增函数？如果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，说明理由。解：当a1 时，为使函数)(log)(2xaxxfya在闭区间4
14、, 2上是增函数只需xaxxg2)(在闭区间4, 2上是增函数，故024)2(221agax得21a，又由a1，得a1 当 0a0=00二次函数的图象) 0(2acbxaxy一元二次方程）的根（002acbxax有两不等实根aacbbxx24,22121xx有两相等实根abxxx221 没有实根一元二次不等式的解 集）（002acbxax21xxxxx或abxRxx2,且 实数集 R ）（002acbxax21xxxx 空集空集5、一元二次方程)04,0(022acbacbxax的实根分布比较标准一元二次方程的分布）的实根（212,00 xxacbxax充要条件二次函数的图象)0(2acbxa
15、xy方程两根与实数K比较Kxx210)(20KfKab21xxK0)(20KfKab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页21xKx0)(Kf方程两根与区间21,KK比较2211KxxK0)(0)(202121KfKfKabK2211xKKx0)(0)(21KfKf),(),(212211KKxKKx或0)()(21KfKf6、函数的零点与二分法1函数零点的定义如果)(xfy在实数a处的值等于零，即0)(af，则a叫做这个函数的零点。一般地，函数)(xfy的零点就是方程0)(xf的实数根， 也就是函数)(xfy的图象
16、与x轴的交点的横坐标。所以，方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点。注意：并不是每个函数都有零点2函数零点的判断零点存在性定理如果函数)(xfy在区间,ba上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即0)()(bfaf，则这个函数在区间),(ba上至少有一个零点，即存在一点),(0bax使得0)(0 xf，这样的零点叫做变号零点，有时曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做不变号零点。3二分法的概念对 于 区 间,ba上 连 续 且 满 足0)()(bfaf的 函 数)(xfy通 过 不 断 地 把 函 数)(xfy的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法叫做二分法。4用二分法求函数零点近似值的一般步骤略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页