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1、高中数学函数知识点梳理高中数学函数知识点梳理1.1.函数的单调性函数的单调性(1)设x1 x2a,b,x1 x2那么f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数；x1 x2f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是减函数.(x1x2)f(x1)f(x2)0 x1 x2(2)设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)为增函数；如果f(x)0，那么f(x)为减函数.注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,那么在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数y f(u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数,那么复合函数y fg(x)是增函数.(x1x2
2、)f(x1)f(x2)02.2.奇偶函数的图象特征奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：假设函数y f(x)是偶函数，那么f(x a)f(x a)；假设函数y f(x a)是偶函数，那么f(x a)f(x a).注：对于函数y f(x)(xR),f(x a)f(b x)恒成立,那么函数f(x)的对称轴是函数x 称.注：假设f(x)f(x a),那么函数y f(x)的图象关于点(,0)对称;假设a ba b;两个函数y f(x a)与y f(
3、b x)的图象关于直线x 对22a2f(x)f(x a),那么函数y f(x)为周期为2a的周期函数.nn13.3.多项式函数多项式函数P(x)anx an1x a0的奇偶性的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数y f(x)的图象的对称性(1)函数y f(x)的图象关于直线x a对称 f(a x)f(a x)f(2a x)f(x).(2)函数y f(x)的图象关于直线x ab对称 f(amx)f(bmx)2 f(abmx)f(mx).4.4.两个函数图象的对称性两个函数图象的对称
4、性(1)函数y f(x)与函数y f(x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称.(2)函数y f(mxa)与函数y f(bmx)的图象关于直线x(3)函数y f(x)和y f1ab对称.2m(x)的图象关于直线 y=x 对称.y f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f(x a)b的图象；假设将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x a,y b)0的图象.5.5.互为反函数的两个函数的关系互为反函数的两个函数的关系f(a)b f1(b)a.y f(kx b)存 在 反 函 数,那 么 其 反 函 数 为y y f111 f(x)b,并 不 是k(kx b),而函数
5、y f1(kx b)是y 1 f(x)b的反函数.k6.6.几个常见的函数方程几个常见的函数方程(1)正比例函数f(x)cx,f(x y)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)a,f(x y)f(x)f(y),f(1)a 0.(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a 0,a 1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sin x，f(x y)f(x)f(y)g(x)g(y)，xf(0)1,limx0g(x)1.x7.7.几个函数方程的周期几个函数方程的周期(约定约定 a0)
6、a0)1f(x)f(x a)，那么f(x)的周期 T=a；2f(x)f(x a)0，1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),那么f(x)的周期 T=2a；21(f(x)0)，那么f(x)的周期 T=3a；(3)f(x)1f(x a)f(x1)f(x2)(4)f(x1 x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1 x2|2a)，那么1 f(x1)f(x2)f(x)的周期 T=4a；(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),那么f(x)的周
7、期 T=5a；(6)f(x a)f(x)f(x a)，那么f(x)的周期 T=6a.或f(x a)8.8.分数指数幂分数指数幂(1)a(2)amn1nmnam1mna 0,m,nN，且n 1.a 0,m,nN，且n 1.a9.9.根式的性质根式的性质n1(na)a.2当n为奇数时，nan a；.a,a 0当n为偶数时，a|a|.a,a 0nn10.10.有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质(1)a a arsrrsrs(a 0,r,sQ).(2)(a)a(a 0,r,sQ).(3)(ab)a b(a 0,b 0,rQ).p注：假设 a0，p 是一个无理数，那么 a 表示一个确定的实数上述有
8、理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.rrrslogaN b ab N(a 0,a 1,N 0).34.对数的换底公式logmN(a 0,且a 1,m 0,且m 1,N 0).logmann推论logamb logab(a 0,且a 1,m,n 0,且m 1,n 1,N 0).mlogaN 11.11.对数的四那么运算法那么对数的四那么运算法那么假设 a0，a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaM logaN;M logaM logaN;Nn(3)logaM nlogaM(nR).(2)loga22注：设函数f(x)logm(ax bx c)(a 0),记 b 4ac.假设f(x)的定义域为R,那么a 0，且 0;假设f(x)的值域为R,那么a 0，且 0.对于a 0的情形,需要单独检验.12.12.对数换底不等式及其推论对数换底不等式及其推论假设a 0,b 0,x 0,x 1,那么函数y logax(bx)a(1)当a b时,在(0,)和(,)上y logax(bx)为增函数.(2)(2)当a b时,在(0,)和(,)上y logax(bx)为减函数.推论:设n m 1，p 0，a 0，且a 1，那么1logm p(n p)logmn.2logamlogan loga21a1a1a1amn.2.